2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合題（二）

微專題45二次函數(shù)綜合題

類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問題

1.綜合與探究

如圖，拋物線y=；x2-|x-4與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C

42

(0,—4),作直線AC,BC,P是直線下方拋物線上一動點.

(1)求A,5兩點的坐標(biāo)，并求出直線AC,的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過點P作PQ〃7軸，交直線于點Q,交直線AC于點T,當(dāng)P為線段TQ的中點時,

求此時點P的坐標(biāo).

第1題圖

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(4W0)與拋物線yuad+c(a#0)交于A(8,

6),3兩點，點3的橫坐標(biāo)為一2.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸是直線A3下方拋物線上一動點，過點P作x軸的平行線，與直線A3交于點C,連

接PO,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.若點P在無軸下方，求^POC周長的最大值，并求此時m的值.

第1頁共33頁

3.如圖，拋物線y=ax1+bx—4-與x軸交于A(—3,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C,

P是直線BC下方拋物線上一點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AC,過點P作PD〃AC,交BC于點D,求線段PD的最大值.

第3題圖

4.如圖，拋物線y=。(%—1)2+2的對稱軸交x軸于點A,且拋物線分別交y軸于點3(0,

1),交直線A3于點C,頂點為。，P是對稱軸右側(cè)拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，連接。P,OP與直線3c交于點當(dāng)。般時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)如圖②，過點P作軸，軸，分別交直線CD于點E,丘若胃=2，求點P

的坐標(biāo).

第4題圖①第4題圖②備用圖

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類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問題

[2022.23(2)]

1.(2024揚(yáng)州)如圖，已知二次函數(shù)y=—r+bx+c的圖象與x軸交于A(—2,0),B(1,

0)兩點.

(1)求Zbc的值；

(2)若點尸在該二次函數(shù)的圖象上，且的面積為6,求點尸的坐標(biāo).

第1題圖

2.如圖，拋物線yuar+bx+c與x軸交于A(—1,0),B(3,0)兩點，與y軸的正半軸

交于點C,且0c=3.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)連接AC,BC,P為拋物線上一點，當(dāng)SAABC=2SAPBC時，求點P的坐標(biāo).

第2題圖

3.(2022廣東23題12分)如圖，拋物線(。，c是常數(shù))的頂點為C,與x軸

交于A,3兩點，A(1,0),A3=4,點P為線段A3上的動點，過P作PQ〃3C交AC于點

Q-

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標(biāo).

第3題圖

4.如圖，拋物線y=—x2—4x+5與x軸交于點A,3(點A在點3的左側(cè))，與y軸交于點

C,連接AC.

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(1)求點A,3的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式；

(2)過點C作CAC,交拋物線于點P,連接0P交AC于點。，連接AP,求△PAD的面

積.

第4題圖

5.如圖，拋物線ynar+a+c與x軸交于A(-1,0),3兩點(點A在點3的左側(cè))，

與y軸交于點C(0,2),點。是拋物線上異于點A的一個動點，直線AD與直線3C交于點

E.

(1)求直線的函數(shù)解析式；

(2)在點。運動的過程中，當(dāng)NAEC=45°時，求AABE的面積；

(3)當(dāng)點。在第一象限拋物線上運動時，連接3D,設(shè)ABDE的面積為Si,AABE的面積為

S2,求普的最大值.

S2

第5題圖

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類型三二次函數(shù)與特殊圖形存在性有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

方法解讀

二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題：

1.找點：兩圓一線

①若AD=AC,以點A為圓心，AC長為半徑畫圓；

②若CD=AC,以點C為圓心，AC長為半徑畫圓；

③若AD=CD,作AC的垂直平分線；

2.求點：設(shè)出點。的坐標(biāo)，根據(jù)點A,C,。的坐標(biāo)，表示出線段AC,CD,AD的長度，由

等量關(guān)系分別列方程求解即可.

例如圖，已知拋物線丁二1—%—4與x軸交于點A,B(點A在點3的左側(cè))，與y軸交

于點C.

(1)如圖①，連接AC,若點。為x軸上的動點，當(dāng)△ACD是等腰三角形時，求點。的坐標(biāo);

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方法解讀

二次函數(shù)中的角度問題：

1.角度相等：常與線段的平行或特殊三角形結(jié)合，最終將角度問題轉(zhuǎn)化為線段問題；

2.角度固定值：常見的角度有15°,30°,45°,60°,90°,常放在特殊三角形中，利用

三角形三邊關(guān)系或三角函數(shù)求解；

3.角度的倍數(shù)關(guān)系：利用三角形的內(nèi)外角關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)求解.

(2)如圖②，連接3C,若點P為拋物線上的動點，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；

方法解讀

二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題：

1.找點：分情況討論：

①當(dāng)5c為平行四邊形的邊；

②當(dāng)3c為平行四邊形的對角線，根據(jù)平行四邊形一組對邊平行且相等確定點的位置;

2.求點：①通過點的平移，構(gòu)造全等三角形求點坐標(biāo)；

第7頁共33頁

②由中點坐標(biāo)公式求頂點坐標(biāo).

(3)如圖③，連接BC,若E,R分別為拋物線和x軸上的動點，是否存在點R使以點3,C,

E,R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;

例題圖③

方法解讀

二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題：

1.找點：兩線一圓

①若NM3C=90°,過點3作3c的垂線；

②若NMC3=90°,過點C作3c的垂線；

③若/3〃。=90°,以3C為直徑作圓；

2.求點

方法一：代數(shù)法：設(shè)出點”的坐標(biāo)，根據(jù)點3,C,M的坐標(biāo)，表示出線段3C,BM,CM的

長度，再根據(jù)對應(yīng)情況，由勾股定理分別列方程求解即可；

方法二：幾何法：作垂線，構(gòu)造一線三垂直模型，表示出線段長用勾股定理或相似建立等量關(guān)

系.

(4)連接BC,若點般在拋物線的對稱軸上.

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①如圖④，是否存在點“，使以點3,C,〃為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點

〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;

方法解讀

二次函數(shù)中全等三角形存在性問題：

1.找等角（邊）：根據(jù)相對應(yīng)的字母找到已存在隱含的等角（邊）；

2.表示邊長：明確全等后需相等的對應(yīng)邊，直接或間接設(shè)出所求點的坐標(biāo)，再表示線段長；

3.建立關(guān)系式并計算：利用全等三角形對應(yīng)邊相等列等式，其中對于對應(yīng)關(guān)系不確定的三角

形全等，需分情況討論.

②如圖⑤，若點〃為對稱軸與x軸的交點，連接CM,點。是坐標(biāo)平面內(nèi)的點（不與點〃重

合），是否存在點。，使得ABCQ與全等，若存在，求出所有滿足條件的點。，若不

存在，請說明理由.

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方法解讀

二次函數(shù)中相似三角形的存在性問題：

1.找等角：其中直角三角形找對應(yīng)的直角，一般三角形中會存在隱含的等角；

2.表示邊長：直接或間接設(shè)出所求的點的坐標(biāo)，然后表示出線段長；

3.建立關(guān)系式并計算：對于對應(yīng)關(guān)系不確定的三角形相似，需要按照等角的兩邊分別對應(yīng)成

比例列比例式，分情況討論，然后進(jìn)行計算求解.

③如圖⑥，若點”為對稱軸與的交點，連接AC,點N為x軸上的動點，是否存在點N,

使△BMN與AABC相似？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

二階綜合訓(xùn)練

1.(2024梅州市一模)如圖所示，已知二次函數(shù)yuar+foc+c的圖象經(jīng)過點A(5,0),B

(—1,0),C(0,15).

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（1）求二次函數(shù)yuar+fct+c的解析式；

（2）直線x=f（0</<5）交二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖象于點尸，交直線AC于點Q,是否

存在實數(shù)/，使△CPQ為等腰三角形，若存在，請求出這樣的/值；若不存在，請說明理由.

第1題圖

2.（2021廣東25題10分）已知二次函數(shù)y=af+fet+c的圖象過點（一1,0）,且對任意

實數(shù)x,都有4x—IZWad+fcc+cWZx2—8x+6.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C,點“是（1）中二

次函數(shù)圖象上的動點.問在x軸上是否存在點N,使得以A,C,M,N為頂點的四邊形是平行

四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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3.如圖，拋物線y=—f+2x+3與x軸交于A,3兩點（點A在點3的左側(cè)），與y軸交于

點C,拋物線的對稱軸交x軸于點。，連接AC,BC.

（1）求A,B,C三點的坐標(biāo)；

（2）若點尸為x軸上一動點，當(dāng)點P以每秒3個單位長度的速度從點。出發(fā)，沿x軸正方向

勻速運動，連接CP,設(shè)點P運動的時間為3當(dāng)以C,。，P為頂點的三角形與△AOC相似時

（不包含全等），求才的值；

（3）若點Q是直線3c上一動點，試判斷是否存在點。，使得以C,D,。為頂點的三角形是

直角三角形.若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問題

1.解：(1)當(dāng)y=0時,%告一4=0,解得X1=—2,X2=8.

42

?.?點A在點3的左側(cè)，

/.A(-2,0),3(8,0),

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b(k^Q),

(b=14

將A(—2,0),C(0,一4)分別代入得,

1―2/c+b=0

b=-4

解得

k=~2

直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=—2x—4,

,：B(8,0),C(0,~4),

???同理可得直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=1x—4；

(2)設(shè)P(m,\rr——4),

：QT〃丁軸，

1

??Q(機(jī),-m—4),-2m-4),

_-2--2

?;P2=|m4(^m|m4)=-^m+2m?

1311

PT=-m2--m一(一2m2

42—'47-44)=-m2+-m,

???P為線段TQ的中點，

：.PQ=PT,

22

--m4+2m=4-m+2-m.

解得加=0(舍去)，帆2=3,

??.P(3,-3

2.解：(1)將A(8,6)代入;y=京，得以=6,解得％=三,

4

...直線A3的解析式為y=，，

當(dāng)x=-2時，y=-X(-2)=-|,

42

???3(—2,

將A(8,6),3(—2,—|)分別代入丁=。/+c(aW0),

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<

64a+c=6a=-

得?3,解得8，

4a+c=~-[c=~2

???拋物線的解析式為y=?2—2；

8

(2)設(shè)P(機(jī)，ri),則當(dāng)層一2=幾,

8

當(dāng)點P在入軸下方時，一2〈機(jī)V4,n<0,

n),

OC=—j/i,OP=Jm2+n2=Jm2+(^m2—2)2=^m2+2,

VPC=m--n,-m2—2=n,

38

???OP+PC+OC=-m2+2+m--n--n

833

=-1mo+]m—3n+I2

8

=-m2+m-3(-m2-2)+2

88

=-i(m-2)2+9,

?；—工<0,.?.當(dāng)m=2時，△POC的周長最大，最大值為9.

4

3.解：(1)將4—3,0),5(4,0)分別代入丁二④^+樂一4中,

得產(chǎn)—3L4=0,解得卜=5,

(16a+4b—4=0IZ)=--

???拋物線的解析式為尸32—3—4；

(2)在/二，2一1x—4中，令龍=0,得y=-4,

."(0,-4).

VA(-3,0),3(4,0),

.?.OA=3,OB=OC=49AB=1,

AAC=5.

如解圖，過點尸作x軸的平行線，交于點

'：PM//AB,

：.ZPMD=ZABC.

'：PD//AC,

：.ZPDM=ZACB,

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:?八PMDS^ABC,

?PMPDmPM—PD

**ABAC975'

：.PD=-PM.

7

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d(k^O),

將3(4,0),C(0,—4)分別代入，

曙T。,解得｛二,

???直線BC的解析式為尸工—4.

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(帆，|m2—|m—4),0<m<4,

?力彳/1911n1八

機(jī)—5機(jī)',機(jī)一與機(jī)—4),

PD=-X(--m2+-m)=——(m-2)2-F—,

7'33721、721

V--<0,

21

?,.當(dāng)m=2時，線段PD有最大值，最大值為第

第3題解圖

4.解：⑴?.?拋物線尸必―1>+2交y軸于點8(0,1)，

，將點3(0,1)代入y=a(x—1>+2中，得l=a(0—1>+2,解得。=—1,

拋物線的解析式為y=—(x—1/+2=-x2+2x+1；

(2)如解圖①，過點M,P分別作軸于點N,PQ，x軸于點Q,則MN〃尸。,

由(1)得A(l,0),

設(shè)直線AB的解析式為丁=日+伙左W0),

將點A(l,0),3(0,1)分別代入產(chǎn)質(zhì)+6中，得3+"二°,

解得代=—1,

5=1

...直線AB的解析式為y=—x+1,

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■:MN〃PQ,:小MNOs叢PQO,

?MN_0N_0M

**PQOQOP9

ii

\9OM=-MP,：.OM=-OP,

23

?MN_0N_0M_1

**PQOQOP3，

：.MN=^PQ,ON=^OQ,

設(shè)P(p,—/?2+2/?+l)(p>l),則A/g,—^+1)

：.PQ=~p1+2p+\,MN=~^+\,

1=|(-p2+2/7+1),

整理，得22—3p+2=0,解得pi=1(舍去)，p2=2,

―/72+2/?+1=1>

點尸的坐標(biāo)為(2,1)；

(3)【思路點撥】一般遇到線段成比例，可考慮三角形相似，求出線段長，利用平行關(guān)系得到

點坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過點在直線或拋物線上確定點坐標(biāo).

如解圖②，③過點C作CGLAD,交D4延長線于點G.

聯(lián)立,=—%+1

(y=—%2+2%+1

=3=0

解得

”=—2=1'

.?.3(0,1),C(3,-2),

.\CG=3-1=2,

：PE〃x軸，PR〃丁軸，

ZPEF=ZGCD,ZPFE=ZGDC,

：.△PEFS^GCD,

:=竺即￡￡=三

'*GCCD'216

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...y

*.*y=—(x—1)2+2,

/.D(l,2),

設(shè)直線CD的解析式為y=kix+bi(ki^O),

將C(3,-2),D(l,2)分別代入3WO)中，得［一之一兌1+瓦，解得］勺=—2,

(2=心+瓦1瓦=4

??.直線CD的解析式為y=-2x+4.

設(shè)P(K—於+21+1),

①如解圖②，當(dāng)點尸在點石的右側(cè)時，

則EQ—三，一尸+2/+1),1<?<3,

8

?點E在直線CD上，

-產(chǎn)+2/+1=—2(/—$+%

整理，得4F—16/+15=0,

解得力=3,fe=|>

.?.點P的坐標(biāo)為信今或3T；

2424

第4題解圖

②如解圖③，當(dāng)點P在點E的左側(cè)時,

則—P+2/+1),/>3.

:點E在直線CD上,

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-?+2r+l=-2(z+-)+4,整理,得4尸一⑹+9=0,

8

解得△=竽,三馬舍去),

?4=

3+4V7

...點P的坐標(biāo)為(竽,)，

4

綜上所述，點P的坐標(biāo)為(|,今或(|,—4或("/—立馬

，4，4Z4

類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問題

1.解：(1)將點A(—2,0),B(L0)分別代入y=-d+fcr+c,

得「4—2b+c=0,解得p=T,

(―1+b-\-c=0(C=2

???b的值為一1,c的值為2；

(2)由(1)可知，二次函數(shù)的解析式為y=—一一x+2,

設(shè)P(m,ri),

?.?點P在二次函數(shù)的圖象上，

.".n=一nr—m+2.

VA(-2,0),B(l,0),

/.AB=3,

又,：XPAB的面積為6,

.*.|XABX|nI=6,解得九=±4,

當(dāng)〃=4時，即一機(jī)2—機(jī)+2=4,化簡得加2+m+2=0,該方程無實數(shù)解，不符合題意;

當(dāng)〃=一4時，即一加2一根+2=—4,化簡得〃/+機(jī)-6=0,解得加=2,m2=-3,

綜上所述，點尸的坐標(biāo)為(2,—4)或(一3,-4).

2.解：(1)..,拋物線牝=加+自+。與龍軸交于A(—1,0),3(3,0)兩點,

???可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)(x—3)(aW0),

'：OC=3,.,.C(0,3),

將點C(0,3)代入y=a(x+D(x—3)中，得一3a=3,解得a=—1,

???拋物線的解析式為y=—(x+l)(x—3)=一—+2%+3；

(2)VA(-1,0),5(3,0),

：.AB=3-(~1)=4,

11

SAABC=-AB-OC=-X4X3=6,

22

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"."SAABC—2SAPBC=6,?*.SAPBC=3>

由3(3,0),C(0,3)可得BC所在直線的解析式為y=—x+3,

①如解圖①，當(dāng)點尸位于3C上方時，過點尸作交y軸于點”,

...SAPBC=SAMBC=3=—,

2

：.CM=2,M(0,5),

直線PM的解析式為y=—x+5,

聯(lián)立L%+5,

(,y=-x2+2x+3

解得Xl=l,X2=2,

.?.點P(l,4)或(2,3)；

②如解圖②，當(dāng)點P在3C下方時,

同理可得，M(0,1),

直線PM的解析式為y=—x+1,

聯(lián)立L”+i

\y=—x2+2%+3

ATJZB3-V173+V17

斛得％1=-------,X2=-------

V17—1-4X3+717

...點尸(上產(chǎn),^―X)或Z(一^

綜上所述，點尸的坐標(biāo)為(1,4)或(2,3)或(十，鳥二)或(一，等二).

3.解：(l)VA(l,0),AB=4,

.?.3(—3,0).

1+b+r=0

(9—3b+c=0

解得仁二

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...拋物線的解析式為y=/+2x—3；

(2)由(1)知拋物線的解析式為y=/+2x—3=(x+l)2—4,

C(—L—4).

設(shè)直線BC的解析式為y=%%+加1(%W0),

—3k~I-77T-Q

11—

—k1+m1=-4

k=一2

解得r

7nl=-6

直線BC的解析式為y=-2x—6,

設(shè)直線AC的解析式為>=k2%+根2（左2二0）,

k?I^^2—0

將點A（l,0）,C（-l,一4）代入機(jī)2中，得

-k2+m2=—4

左2=2

解得

m2=-2,

...直線AC的解析式為y=2x—2.

,JPQ//BC,

設(shè)直線PQ的解析式為y=—2x~\-n,

令尸0,得x=］，

0），

v=2x-2

'一

(y=-2x+n

n+2

%=——

解得《4

n~2

y=---

，2

???點P在線段AB上,

???一3OW1,

2

即一6W〃W2,

...SACPQ=SACP4—SAQ%=3X(1—§X4—1x(l一9X(—9)=—?(〃+2)2+2,

ZZZZZo

*?—-<0,—6W〃W2,

8

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???當(dāng)m=—2時，SACPQ取得最大值，最大值為2,此時點P的坐標(biāo)為(一1,0).

4.解：(1)令,=-x2—4x+5中y=0,得一x2—4x+5=0,

解得％1=—5,X2=l,

：.A(~5,0),B(l,0).

令x=0,得y=5,

/.C(0,5),

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為丁=履+伙左WO),將A(—5,0),C(0,5)的坐標(biāo)代入,

得歸—5k+b,解得U

???直線AC的函數(shù)解析式為y=x+5；

(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(如-m2—4m+5)>

VA(-5,0),C(0,5),

AAC2=50,CP2=(m-0)2+(-m2-4m+5-5)2^m2+(-m2-4m)2,AP2=(m+5)2+(-m2~

4機(jī)+5產(chǎn)

'：PC±AC,

：.ZPCA=90°,：.AC1+CP~=AP2,

?*.50+m2+(—m2-4m)2=(m+5)2+(—m2—4m+5)2,解得機(jī)=-3或根=0(舍去),

，P(—3,8).

設(shè)直線。尸的解析式為y=%x(%WO),將P(—3,8)的坐標(biāo)代入，

得8=—3k1,?*.ki=—

???直線OP的解析式為y=一

令一|x=%+5,解得%=一彌

311

'11li7

140120

SAPA。=SAPA。一SADA。三X5X(8一爭=詈

5.⑴：?拋物線y=af+|x+c與x軸交于點A(—1,。)，與y軸交于點C(0,2),

???將點A(—1,0),C(0,2)代入拋物線y=a/+|x+c中，

得卜—,+。=°，解得卜=一5，

1c=21c=2

???拋物線的解析式為y=-|X2+|X+2,

第21頁共33頁

令y=0，解得x=-1或尤=4,

??.點3的坐標(biāo)為(4,0),

設(shè)直線的解析式為丁=依+雙左W0),將點3,C的坐標(biāo)代入，

得［4k+匕=0,解得卜=一￡

???直線BC的函數(shù)解析式為y=—$+2；

(2)如解圖，連接AC,

VA(-1,0),3(4,0),C(0,2),

：.OA=1,OB=4,OC=2,AB=5,

.,.在RtA。4c中，AC=JoA2+OC2=J12+22=V5,在RtAOCB中，BC=

OB2+OC2

2

J42+2=2V5,

：.AC2+BC2=(V5)2+(2V5)2=25=AB2,

.'.△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

XVZAEC=45°,

：.CE=AC=V5,

：.S^ABC=-AB-OC=-X5X2=5,5AACE=-AC-CE=-XV5XV5=-,

22222

①如解圖①，當(dāng)點E在線段3C上時，

SAABE=S&ABC-SAACE=5-

22

②如解圖②，當(dāng)點E在線段BC的延長線上時，

C

5AABE=S^ABC+5AACE=5+-=—,

22

...△ABE的面積為|或當(dāng)；

第22頁共33頁

圖②

第5題解圖

(3)如解圖③，過點3作于點G,過點。作。/〃y軸，交直線3C于點/,過點A作

AH〃丁軸，交直線3c于點H,則。/〃AH,

:小EDIs^EAH,

AEAH

VA(-1,0),

將x=—1代入y=—|x+2中，得y=—|x(—1)+2=|,

.?.點”的坐標(biāo)為(一1,|),

AH=~,

.?點。在第一象限的拋物線上，

,.設(shè)。(/n,1|m2+|m+2),則/(機(jī)，一|m+2)(0<m<4),

,.D/=(-|m2+|m+2)-(-|m+2)=-|m2+2m,

z

Si-DEBGDEDI—~m+2m|m2+^m=_^(m_2)2+1,

S2-AEBGAEAH

--<0,

當(dāng)機(jī)=2時，令的最大值為占

5

第5題解圖③

類型三二次函數(shù)與特殊圖形存在性有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

例解：(I)：?拋物線的解析式為y=#—x—4,

當(dāng)y=0時，jx2—%—4=0,解得xi=-2,X2=4,

?點A在點3的左側(cè)，

/.A(-2,0),3(4,0),

當(dāng)x=0時，y=—4,C(0,-4).

：.OA=2,0c=4,

第23頁共33頁

...由勾股定理得AC=AO2+OC2=2V5.

...當(dāng)△ACD是等腰三角形時，分以下三種情況：

①當(dāng)AD=AC時，如解圖①，點。位于點Di或。2處，止匕時AD=AC=2店,

???點D的坐標(biāo)為(一2一2瓶，0),點。2的坐標(biāo)為(2遍一2,0)；

②當(dāng)CD=AC時，如解圖①，點。位于點。3處，

'：OC±AD3,：.OA=ODi=2,

點。3的坐標(biāo)為(2,0)；

③當(dāng)AD=CD時，如解圖①，點。位于點。4處，

22

設(shè)點。4的坐標(biāo)為(a,0),則A￡>4=a+2,CD4=Ja+4,

/.a+2=Ja2+42,解得a=3,

...點。4的坐標(biāo)為(3,0).

綜上所述，點。的坐標(biāo)為(一2—2而，0)或(2北一2,0)或(2,0)或(3,0)；

(2)由⑴得A(—2,0),8(4,0),C(0,-4),

：.OA=2,OB=OC=4,

：.ZOBC=45°,

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(〃，4),

當(dāng)NPABu/ABC時，分以下兩種情況：

①當(dāng)點P在x軸上方時，如解圖②，過點A作APi〃3C交拋物線于點Pi,過點Pi作PiQLx

軸于點Qi,

：.ZPiAB=ZABC=45°,此時點尸位于點Pi處，

**?PiQi=AQ\,

'：AQi=OA+OQi=2+n,PiQi=^rr-n-4,

—n—4=2+〃，解得”=-2(舍去)或〃=6,

第24頁共33頁

當(dāng)”=6時，-2rr-n-4=8,

.?.點P的坐標(biāo)為(6,8)；

②當(dāng)點尸在x軸下方時，如解圖②，過點A作AP2,3c交拋物線于點P2,過點P2作P2Q，X

軸于點。2,

同理可得AQ=2+〃，PiQi=—(-H2—n—4),

'：ZP2AB=ZABC=45°,

.".AQ2=P1Q2,

.?.2+〃=—()2—4),解得“=一2(舍去)或〃=2,

當(dāng)片2時，療一4=一4,

...點尸2的坐標(biāo)為(2,-4).

綜上所述，點尸的坐標(biāo)為(6,8)或(2,-4)；

*

例題解圖②

⑶存在.

由⑴知8(4,0),Cg,-4),

：.OC=4,

以點3,C,E,R為頂點的四邊形是平行四邊形時，分以下兩種情況:

①當(dāng)3c為平行四邊形的邊時，如解29③，點E位于點E1或石2或扇處，點口相應(yīng)的位于點

或尸2或F3處，

???四邊形BCFiEi為平行四邊形，

：.BC//EiFi,BC=EiFi,

?.?點八在X軸上，

.??點百到x軸的距離為4,

令y=4,即夕2—%—4=4,

解得xi=1+?7(舍去)，X2—1—V17,

第25頁共33頁

點Ei的坐標(biāo)為(1—VT7,4),

同理可得點E2的坐標(biāo)為(1+V1q4),

,.?3(4,0),C(0,-4),

???由平移的性質(zhì)得點E的坐標(biāo)為(一3—g,0),點八的坐標(biāo)為(g—3,0)；

???四邊形BCE3F3為平行四邊形，

.".BF3//CE3,BF3=CE3,

.??點田與點c關(guān)于直線％=—二4=1對稱，

2X5

...等=],解得庇=2,

.?.點E3的坐標(biāo)為(2,-4),

：.CE3=2,

：.OF3=OB+CE3=6,

.?.點F的坐標(biāo)為(6,0)；

②當(dāng)3C為平行四邊形的對角線時，如解圖③，點E位于點E4處，點R相應(yīng)的位于點F4處,

連接以居交3C于點G,

,：四邊形BE4CF4為平行四邊形，

:.點、G為BC,E4居的中點，

：.—2=2,2—=-2,

.?.點G的坐標(biāo)為(2,—2),

,/BF4//CE4,/.點七4與點石3重合，

：.E4(2,-4),

...等=2,解得》=2,

?.?點產(chǎn)在x軸上,點尸4的坐標(biāo)為(2,0).

綜上所述，點R的坐標(biāo)為(一3—舊，0)或(舊一3,0)或(6,0)或(2,0)；

例題解圖③

第26頁共33頁

(4)①存在.

???拋物線的解析式為尸L4=|(L1)2—￡

拋物線的對稱軸為直線X=l.

設(shè)點M(Lt),則3M2=(1—4)2+(7—0)2=於+9,3=(1—0)2+?+4)2=產(chǎn)+4+17,3G=(4

—0)2+(0—4)2=32,

以點5,C,M為頂點的三角形為直角三角形時，分以下三種情況：

⑴當(dāng)NMBC=90°時，如解圖④，點”位于點Mi處，

由勾股定理得3。2+3〃2=°“2,即32+戶+9=戶+8/+17,解得f=3,...點Mi的坐標(biāo)為(1,

3);

(ii)當(dāng)NMC3=90°時，如解圖④，點M位于點跖處，

由勾股定理得5c2+皿2=3“2,即32+戶+8/+17=好+9,解得/=—5,

???點跖的坐標(biāo)為(1,-5)；

(iii)當(dāng)N3MC=90°時，如解圖⑤，點M位于點或點“4處，

由勾股定理得5/2+0“2=502,即「+9+?+8/+17=32,解得A=-2一夕，廿于一2,

???點跖的坐標(biāo)為(1,夕—2),點“4的坐標(biāo)為(1,-2-V7).

綜上所述，點”的坐標(biāo)為(1,3)或(1,—5)或(1,夕一2)或(1,-2-V7)；

圖⑤

例題解圖

②存在.

???拋物線的對稱軸為直線x=L

0),

第27頁共33頁

由⑴知8(4,0),C(0,-4),

.*.BM2=(4-1)2=9,CM2=(l-0)2+(0+4)2=17,

設(shè)點Q的坐標(biāo)為(加,n),

則3。2=(4—m)2+〃2,

。。2=*+(—4—力2,

當(dāng)^BCQ與△3G0全等時，

分兩種情況：

⑴當(dāng)3航=BQ,CM=CQ,即△3C般咨△BCQ時，

BM2=BQ2,即9=(4-m)2+n2,

CM2=CQ1,即17=川+(—4解得加=1—〃，

2

代入9=(4一機(jī)產(chǎn)+〃得，m=o,n2=—3,

?,?加1=1,加2=4,

,??點。不與點航重合，

??.點Q的坐標(biāo)為(4,—3)；

(ii)當(dāng)BM=CQ,CM=BQ,即時，

BM2=CQ1,即9=m2+(—4—〃產(chǎn)，

CM2=BQ2,即17=(4—機(jī)產(chǎn)+〃2,解得加=一〃—1,

代入17=(4—m)2+〃2得，儂=-1,〃4=-4,

??m3=0,OT4=3,

.?.點。的坐標(biāo)為(0,—1)或(3,-4).

綜上所述，點。的坐標(biāo)為(4,—3)或(0,—1)或(3,-4)；

③存在.

由⑴得A(—2,0),3(4,0),C(0,-4),AC=2V5,

設(shè)3C所在直線的解析式為丁=丘+雙女WO),

將3(4,0),C(0,—4)分別代入，

得陰+匕=0

[b=—4

ABC所在直線的解析式為y=x—4,

當(dāng)x=l時，y=~3,

???點M的坐標(biāo)為(1,—3),

第28頁共33頁

V0B=0C=4,.,.BC=4V2,

同理易得5〃=3/，

當(dāng)^BMN與AABC相似時，

分以下兩種情況：

⑴當(dāng)△BMNs^BCA時，如解圖⑥，點N位于點Ni處，

.BM_BN1

**BCBA"

t：BA=OA+OB=6,

???著=等，解得3M=；,

4V262

i

：.ONi=BNi~OB=-,

2

...點Ni的坐標(biāo)為(一點0)；

(ii)當(dāng)時，如解圖⑥，點N位于點M處,

.BM_BN

??2,

BABC

.,.乎=翳，解得3N2=4,

64V2

：.BN2=OB,此時點M與點。重合，

.,.點M的坐標(biāo)為(0,0).

綜上所述，點N的坐標(biāo)為(一50)或(0,0).

例題解圖⑥

二階綜合訓(xùn)練

1.解：(1)二?二次函數(shù)y=o?+法+c(aW0)的圖象經(jīng)過點A(5,0),B(-l,0),

二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=o(x-5)(%+l)=a(x2—4x~5),

將點C(0,—5)代入，

得-5a=-5,解得a=l,

二次函數(shù)的解析式為丁=——4x—5；

⑵存在.

第29頁共33頁

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k^O）,

將點A,C代入,得產(chǎn)十八°,解得憶1,

b=-51b—5

直線AC的解析式為y=x—5,

設(shè)點尸。，尸一書一5）,則點Q。，t~5）,

：.PQ2=（-t2+5t）2,PC2=?+（?-4?）2,CQ1=2t2,

當(dāng)PQ=CQ時，△CPQ為等腰三角形，

PQ2=CQ2,即（一/2+5/）2=2/2,解得/=0（舍去）或5—/或5+魚（舍去）；

當(dāng)尸。=PC或PC=C。時，△CPQ為等腰三角形，

PQ2=PC1,即（一戶+5/）2=戶+（產(chǎn)-4f）2,解得r=0（舍去）或r=4,PC1=CQ1,

P+（P—4/）2=2/，

解得/=0（舍去）或t=3或/=5（舍去）.

綜上所述，存在實數(shù)/,使△CPQ為等腰三角形，/的值為5—a或3或4.

2.解：（1）令4工一12=2%2—8%+6,解得制=及=3,

.,.當(dāng)x=3時，4x—12=2x2—8x+6=0,

...丁=G2+加;+c的圖象必過點（3,0）,

又,.,y=ax2+6x+c的圖象過點（一1,0）,

(a-b-\~c—0,

19a+3b+c=0,