2025年中考數(shù)學模擬卷4（浙江專用）解析版

備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學模擬卷（浙江專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。

4.回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請

將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：（本大題共10題，每題3分，共30分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的,

選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應位置上.）

1.如果a與-2024互為相反數(shù)，那么a的值是（)

1

D.2024

2024

【分析】符號不同，并且絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求得答案.

【解答】解：??力與-2024互為相反數(shù)，

：.a+（-2024）=0,

Aa=2024.

故選：D.

【點評】本題考查相反數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

2.我國神舟十九號載人飛船身高58.4米，捆綁了四個2.25米直徑的助推器，起飛的重量已經(jīng)達到了約

480000千克，是我國第一型垂直轉(zhuǎn)運火箭，于10月30日4時27分在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功.其

中480000用科學記數(shù)法表示為（）

A.48X104B.4.8X104C.4.8X105D.0.48X106

【分析】把一個大于10的數(shù)記成aX10〃的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，w是正整數(shù)，這種

記數(shù)法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案.

【解答】解：480000=4.8X105,

故選：C.

【點評】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

3.如圖，用力轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙的指針，則哪個轉(zhuǎn)盤的指針停在白色區(qū)域的概率大()

轉(zhuǎn)盤甲轉(zhuǎn)盤乙

A.轉(zhuǎn)盤甲B.轉(zhuǎn)盤乙C.無法確定D.一樣大

【分析】讓陰影部分的面積除以總面積得到相應的概率，比較即可.

【解答】解：雖然兩圓面積不同，但是陰影部分均占去

故指針指向黑色部分的概率相同.

故選：D.

【點評】考查了概率公式的知識，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比.

4.將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋

果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個.若小朋友的人數(shù)為x,則下列正確的是()

A.0W5x+12-8(x-1)<8B.0<5.r+12-8(x-1)W8

C.lW5x+12-8(x-1)<8D.l<5x+12-8(x-1)W8

【分析】由“每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果，且小朋友的人數(shù)為x”,可得出這箱蘋果共(5尤+12)

個，結(jié)合“若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個”，即可列出關于x的一元一

次不等式組，此題得解.

【解答】解：???每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果，且小朋友的人數(shù)為x,

，這箱蘋果共(5x+12)個.

???每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，

；.0W5x+12-8(x-1)<8.

故選：A.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組，根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次

不等式組是解題的關鍵.

5.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊連接AE、AC,則/CAE的大小為(

C.60°D.75°

【分析】由正方形的性質(zhì)得出AD=OC,ZAZ）C=90°,ZBAC=ZDAC=45°,由等邊三角形的性質(zhì)

得出CO=OE=CE,ZCDE=60°,從而求出的度數(shù)，于是可求出NCAE的度數(shù).

【解答】解：???四邊形A8C。是正方形，

：.AD=DC,ZADC=90°,ZBAC=ZDAC=45°,

叢CDE是等邊三角形，

:.CD=DE=CE,ZCDE=60°,

：.AD=DEf/ADE=900+60°=150°,

180°-150°.

ZDAE=ZDEA=一2一曰5

：.ZCAE=ZDAC-ZZ)AE=45°-15°=30°,

故選：A.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握這兩個圖形的性質(zhì)是解題的關鍵.

.返+1日

已知，元二次方程？-x+%=0的一個根，則方程的另外一根為（）

6.27H

V5-13-V51-V5V5-3

A.-------B.-------C.-------D.-------

2222

【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求出兩根之和，把已知解代入求出另一根即可.

【解答】解：???雪^是一元二次方程f-x+m=0的一個根，另一根設為a,

75+1

2

解得：0=1一等L即01-75

2

故選：C.

【點評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及一元二次方程的解，熟練掌握根與系數(shù)的關系

是解本題的關鍵.

7.如圖，在平行四邊形A3。中，CD=2AD,M是4?的中點，連接QM,MC.下列結(jié)論：①DM_LCM；

②AD+BC=CD；③A/C平分/OC&④若。M=3,CM=4,則平行四邊形ABC。的面積為24.其中正

確的個數(shù)為（）

D

C

AMB

A.1B.2C.3D.4

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AO=8C,AB=2AD=2BC,ZA+ZB=180°,貝l」AD+5C=C。，故

180。一乙4180°-zB

②正確，由等腰三角形的性質(zhì)可得,ZBMC=ZBCM=，可得N

22

AMD-^ZBMC=90°,貝!jDM1CM,故①正確；由平行線的性質(zhì)可得NZ)CM=N3MC=N5CM,則

MC平分NDC5,故③正確，由三角形的面積公式可求先ABCZ)=12,故④錯誤，即可求解.

【解答】解：???四邊形A5CO是平行四邊形，CD=2AD9

：.AD=BC,AB=2AD=2BC,ZA+ZB=180°,

???M是A5的中點,

：.AM=BM,

：.AD^AM^BM=BC,

180。一乙4180°-zB

???ZADM=ZAMD=,ZBMC=ZBCM=，AD+BC=CD故②正確,

22f

AZAMD+ZBMC=90°,

：.DM±CMf故①正確;

'JAB//CD,

：.NDCM=/BMC,

???NDCM=NBCM,

???MC平分NOC3,故③正確,

U：DM=3,CM=4,DM工CM,

??SADMC=6,

S^\ABCD=12,故④錯誤,

故選：C.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運用這些性質(zhì)解決

問題是解題的關鍵.

8.在同一平面直角坐標系中，正比例函數(shù)y=Rx(Z1W0)的圖象與反比例函數(shù)y==。)的圖象有交

點，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.kik2<0B.kik2>0C.ki+k2<0D.ki+k2>0

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題進行解答即可.

【解答】解：???正比例函數(shù)y=h尤的圖象與反比例函數(shù)的圖象有公共點，

防、上同號，

/.klk2>0.

故選：B.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的

關系是解答此題的關鍵.

9.已知一組數(shù)據(jù)xi,Xi,X3,x4,X5的平均數(shù)是2,方差是3,那么另一組數(shù)據(jù)3xi-2,3x2-2,3x3-2,

3X4-2,3尤5-2的平均數(shù)和方差分別是（）

A.2,3B.2,9C.4,18D.4,27

【分析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)直接求解.

【解答】解：?..數(shù)據(jù)XI,XI,X3,X4,X5的平均數(shù)是2,方差是3,

.?.數(shù)據(jù)3回-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均數(shù)為：3X2-2=4,方差為：32X3=27.

故選：D.

【點評】本題主要考查方差和算術平均數(shù)，解題的關鍵是掌握若數(shù)據(jù)尤1,尤2,……，物的平均數(shù)是禮

方差為小，則新數(shù)據(jù)ori+b,axi+b,........,的平均數(shù)為。元+b,方差為a2s2.

10.已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWc）,且a-b+c=0,a>0.下列四個結(jié)論，正確的有

（）個.

①拋物線與x軸一定有兩個交點；

②當尤>-1時，y隨x的增大而增大；

③若a+6=0,則不等式a?+fe+c<0的解集是-l<x<2；

④一元二次方程a（x-2）2+6x=2x-c有一■個根x=l.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷②；根據(jù)拋物線y=

在x軸下方的部分對應的尤的取值范圍判斷③；若④成立，則a+b+c=2,判斷現(xiàn)有條件能否

得出這一結(jié)論即可.

【解答】解：：a-6+c=0,

??bQ+C,

令y=0,得力+女+―。，

/.△=序-4ac=(。+。)2-4ac=(a-c)2,

?“Wc,

A=(a-c)2>0,

...a，+bx+c=o有兩個不相等的實數(shù)根，

，拋物線y=ar+bx+c與x軸一定有兩個交點，

故①正確；

a-b+c=Q,

，拋物線丁=〃/+人工+。與％軸交于(-1,0)點，

V?x2+Z?x+c=0兩根之積為一，

a

：.拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為(-泉0),

V?>0,

，拋物線開口向上，

...若—1>—2則當x>-l時，y隨x的增大而增大，

???不能比較-1與/的大小，

，不能得出結(jié)論②，

故②錯誤；

Va-^-b=0,

??〃=-bi

拋物線的對稱軸為直線X=---黑另，

Zu-ZDZ

V2x1-(-1)=2,

...拋物線與x軸的另一個交點為(2,0),

，拋物線y=ax2+bx+c在x軸下方的部分對應的x的取值范圍為-l<x<2,

，不等式以2+8+。<0的解集是-l<x<2,

故③正確；

若一元二次方程a(x-2)2+6x=2x-c有一個根x=l,

貝I]a(1-2)2+6=2-c,即a+b+c=2,

現(xiàn)有條件不得能出a+b+c=2,

故④錯誤；

綜上可知，正確的有①③，共2個，

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)與不等式（組），拋物線與尤軸的交點，解題的關鍵是熟練應用數(shù)形結(jié)合思

想.

二、填空題：（本大題共6題，每題3分，共18分.）

11.若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是無29.

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答案.

【解答】解：,.”-920,

；.x29.

故答案為：x29.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵.

12.分解因式：/+2x+l=（x+1）2.

【分析】本題中沒有公因式，總共三項，其中有兩項能化為兩個數(shù)的平方和，第三項正好為這兩個數(shù)的

積的2倍，直接運用完全平方公式進行因式分解.

【解答】解：f+2x+l=（x+l）2.

故答案為：（x+1）2.

【點評】本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式的結(jié)構是解題的關鍵.

（1）三項式；

（2）其中兩項能化為兩個數(shù)（整式）平方和的形式；

（3）另一項為這兩個數(shù)（整式）的積的2倍（或積的2倍的相反數(shù)）.

13.如圖，點C、。分別在的半徑。4、OB的延長線上，且。4=6,AC=4,CD平行于AB,并與A8

1

相交于兩點.若則的長為逐

MNtan/Cz=,CN—4+—4.

【分析】過。作OFLCZ）于尸，交于E,連接OM,根據(jù)解直角三角形和勾股定理求出OE、AE,

根據(jù)相似得出比例式，求出CF、OF,根據(jù)勾股定理求出FM,即可求出答案.

【解答】解：過。作?？贚C。于R交A3于連接0M,

'：AB//CD,

：.OE±ABfZOAB=ZC,

1

VtanZC=2，

1OF

tanAOAB=

設OE=x,AE=2x,

在Rtz\OEA中，由勾股定理得：62=/+(2x)2,

解得；x=誓，

HillCZ76底47712若

則0E=-g-,AE=—g—,

*：AB//CD,

:?△OAEs^OCF,

.AEOAOE

"CF~OC~OF'

12^56V5

._6_~

CF~6+4―OF'

ACF=4V5,OF=2^5

在RtZ\OM尸中，由勾股定理得：MF=Ie2-(2V5)2=4,

?：OFLCD,。尸過O,

:.NF=MF=4,

：.CN=CF+NF=4近+4,

故答案為：4V5+4.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形，垂徑定理的應用，題目是一

道比較好的題目，但是有一定的難度.

113ab1

14.定義新運算：a十61若a十(-6)=3,則-----的值是—2.

ab2a-2b~2—

【分析】根據(jù)a十b=[+本a?(-6)=3,可以得到。6和b-。的關系，然后將所求式子變形，再

計算即可.

11

【解答】解：十b=(+小??(-&)=3,

11

=3,

??a+工

b-a

=3,

ab

??34。=。

3ab

2a-2b

b-a

2(a—b)

故答案為：-子

【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

15.如圖，一段東西向的限速公路長500米，在此公路的南面有一監(jiān)測點P,從監(jiān)測點尸觀察，限速

公路MN的端點M在監(jiān)測點尸的北偏西60°方向，端點N在監(jiān)測點尸的東北方向，那么監(jiān)測點P到限

速公路MN的距離是（250B一250）米（結(jié)果保留根號）.

MN

PI

【分析】過點P作用，MN于點A,則N%M=NB4N=90°,設B4=x米，證△BIN是等腰直角三角

形，得乂4=出=苫米，再由銳角三角函數(shù)定義得MA=每：米，然后由求出x=250V3-250,

即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點P作B4LMN于點A,

則/唐M=/B4N=90°,

設PA=x米，

由題意可知，ZME4=60°,Z7VB4=45°,

...△B4N是等腰直角三角形,

'.NA—PA—x米，

,/tanZA7M==tan60°=V3

：.MA=^PA=（米），

'：MA+NA^MN^50Q,

/.V3x+x=500,

解得：尤=250^-250,

即監(jiān)測點P到限速公路MN的距離是（250V3-250）米，

故答案為：（250V3-250）.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用一方向角問題,正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

16.已知二次函數(shù)>=蘇+6尤+°（°<0）圖象的對稱軸為直線x=3該二次函數(shù)圖象上存在兩點A（尤1,yi）,

B（X2,券），若對于1<XI<2<X2<3,始終有yi<”，則，的取值范圍是后2.5.

【分析】。<0,根據(jù)離對稱軸越近的點的縱坐標越大，1<XI<2<X2<3,始終有yi<”，所以|3-t|W|f

-2|,解不等式，可求f的取值范圍.

【解答】解：a<0,1<X1<2<X2<3,始終有yi<*,

.力-3|W|f-2|,

①當f23時，

t~3Wf-2,

...當f23時，|f-3|W|f-2|,始終有yi<”.

②當2Wf<3時，

3-tWf-2

.,心2.5,

...當2.5Wf<3時，|t-3|W|L2|,始終有

③當f<2時，

3-/W2-t,

；.3<2,

3|W|r-2|不成立.

所以a<0,1<XI<2<X2<3,始終有尹<”,則/22.5.

故答案為：r22.5.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的增減性.關鍵是掌握a<0,圖象上離對稱軸越近的點的縱坐標越大.

三、解答題（本大題共8個小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.已知x、y為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運算※，滿足%※丁=孫+1.

(1)求(-2)派4的值；

(2)求(1X4)※(-2)的值；

(3)探索〃※(b+c)+1與?！??+〃※。的關系，并用等式把它們表達出來.

【分析】(1)將％=2、y=4代入x*y=盯+1計算即可；

(2)將x=14、y=-2代入%*y=孫+1計算即可；

(3)先計算出。*(A+c)=ab+ac+l,〃*/?+〃*c=〃Z?+〃c+2,繼而得出答案.

【解答】解：(1)(-2)※4=(-2)義4+1=-8+1=-7；

(2)(1X4)※(-2)

=(1X4+1)※(-2)

=5派(-2)

=5X(-2)+1

=-10+1

=-9；

(3)(b+c)+l=〃*0+a*c,

Va*(Z?+c)

=a(b+c)+1

—ab+〃c+1,

a^b+a^c

=ab+1+ac+1

—a0+〃c+2,

「?a*(/?+c)+l=a*A+a*c.

【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則.

18.某校為了了解初一學生長跑能力，從初一1200名學生中隨機抽取部分學生進行1000米跑步測試，并

將得分情況繪制成如下統(tǒng)計圖(如圖，部分信息未給出).

所抽取學生“1000米跑步”

測磁績的頻數(shù)分布直方圖

6分7分8分9分10分成績（分）

由圖中給出的信息解答下列問題:

（1）抽取學生的總?cè)藬?shù)為50A,并補全頻數(shù)分布直方圖;

（2）如果該校全體初一學生都參加測試，請你根據(jù)抽樣測試的結(jié)果估計該校初一學生獲得9分及以上

的人數(shù);

（3）根據(jù)測試結(jié)果，請對該學校初一學生“1000米跑步”情況作出評價，并向?qū)W校提出一條合理的建

議.

【分析】（1）用8分的人數(shù)除以所占的比例求出總?cè)藬?shù)，進而求出7分的人數(shù)，補全條形圖即可;

（2）利用樣本估計總體的思想進行求解即可；

（3）根據(jù)統(tǒng)計圖，提出建議即可.

【解答】解：（1）抽取學生的總?cè)藬?shù)為20?40%=50（人）；

，7分的人數(shù)為：50-4-20-12-6=8,補全條形圖如圖：

所抽取學生“1000米跑步”

測磁績的頻數(shù)分布直方圖

(2)1200=432(人)；

.?.根據(jù)抽樣測試的結(jié)果估計該校初一學生獲得9分及以上的人數(shù)為432人；

(3)由統(tǒng)計圖可知，8分段的人數(shù)最多，建議學校加強初一學生“1000米跑步”的練習，提升學生的

成績(合理即可).

【點評】本題考查條形圖與扇形圖的綜合應用，從統(tǒng)計圖中有效的獲取信息是解題的關鍵.

19.如圖1,廣場上有一盞高為9機的路燈AO,把燈?？醋饕粋€點光源，身高1.5機的女孩站在離路燈5機

的點8處.圖2為示意圖，其中AOL4O于點A,CB_LA。于點8,點。，C,。在一條直線上，已知

OA=9m,AB=5m,CB=1.5m,

(1)求女孩的影子2。的長.

(2)若女孩以5根為半徑繞著路燈順時針走一圈(回到起點)，求人影掃過的圖形的面積.(豆取3.14)

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到的長，即可得出答案.

(2)根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)'：BC±AD,AO±AD,

J.BC//AO,

.BCBD

??~,

AOAD

.1.5BD

?.=_9

9BD+5

：.BD=\,

答:女孩的影子BD的長為1米；

(2),?,女孩以5根為半徑繞著路燈順時針走一圈(回到起點)，

???人影掃過的圖形的面積62TI-52TI=11TI.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式是解題的關鍵.

一”

20.如圖，反比例函數(shù)y=彳。＜0)與一次函數(shù)y=-2x+m的圖象交于點A(-1,4),軸于點

分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象于點3,C.

(1)求左與機的值.

(2)當OD=1時，

①求線段BC的長；

②點尸為反比例函數(shù)y=5。V0)圖象上一動點，若△P2C面積為，，直接寫出尸點坐標：_(—8,》更

【分析】(1)將A(-1,4),分別代入y=py=-2x+m,計算求解可得k,m,進而可得函數(shù)表達式;

(2)①由題意知，B,。的縱坐標為1.將y=l代入y=-*y=-21+2,求5,。的橫坐標，然后求

A1949

線段長度即可；②設P(a,-勺，則:；x：；x|---1|=、，計算求解，然后作答即可.

a22a8

【解答】解：(1)將A(-1,4)代入y=(得，4=等，

解得，k=-4,

將A(-1,4)代入y=-2x+m得,4=-2X(-1)+m,

解得，m=2,

，反比例函數(shù)為y=-p一次函數(shù)為y=-2x+2；

(2)①???5C，y于點，

???8C〃x軸.

9

：OD=lf

：.B,C的縱坐標為1.

將y=l代入y=一］得,1=一*

解得，x=-4,

：.B(-4,1)；

將y=1代入y=-2x+2得，1=-2x+2,

解得，％=

1

?,.出，i),

19

:?BC=2—(-4)=2；

②解：設P(a,—》，

9

-

8

o

解得，a=-S或a=-于

1QQ

?'?P點坐標為(—8,2)或(一可，2)?

【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與幾何綜

合.熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與幾何綜合是解題的關鍵.

21.如圖，四邊形ABCQ中，AB//CD,尸為AB上一點，。尸與AC交于點E,DE=FE.

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)若CD=2同,BC=6CE=12,BCLAC,求BE的長.

【分析】(1)由AB〃C￡>,得NEDC=NEFA,ZECD=ZEAF,[fffDE=FE,可根據(jù)“44S”證明△￡(7￡)

^△￡AF,得CD=AF,即可根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形ART。是

平行四邊形；

(2)由BC=6CE=12,得CE=2,由平行四邊形的性質(zhì)得AE=C￡=2,AF=CD=2y/10,所以AC=4,

由勾股定理求得AB=y/AC2+BC2=4同，則BF=AB-AF=2V10.

【解答】(1)證明：：人夕〃。，

：.ZEDC=ZEFA,ZECD=ZEAF,

在△￡(?￡)和△EAF中，

Z.EDC=/.EFA

乙ECD=LEAF,

DE=FE

:.AECDmAEAF(A45),

：.CD^AF,

?：CD//AF,CD=AF,

四邊形AFCD是平行四邊形.

(2)解：'：BC=6CE=12,

：.CE=2,

?：四邊形AFC。是平行四邊形，

:.AE=CE=2,AP=C￡)=2"U,

：.AC=2AE=4,

\'BC±AC,

：.ZACB=90°,

：.AB=>JAC2+BC2=V42+122=4V10,

：.BF=AB-AF=4V10-2V10=2V10,

.?.BE的長是2aU.

【點評】此題重點考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理

等知識，證明△ECD四△耳!/是解題的關鍵.

22.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=/-

(1)求拋物線的頂點坐標(用含f的代數(shù)式表示)；

(2)點尸(xi,ji),Q(尤2,”)在拋物線上，其中L2<肛<注1,X2=l-t.

①若yi的最小值是-2,求”的值；

②若對于xi,xi,都有yi<y2,求f的取值范圍.

【分析】(1)將拋物線的解析式配成頂點式，即可寫成答案；

(2)①先確定出當x=f時，yi的最小值為f,進而求出f,再判斷出當x=f+2時，yi取最大值，即可求

出答案；

②先由yi<y2得出(%2-xi)(x2+xi-2?)>0,最后分兩種情況，利用r-2WxiWf+l,X2=l-t,即可

求出答案.

【解答】解：(1)''y=J?-2tx+P-t=(x-t)2-t,

拋物線的頂點坐標為(f,-r)；

(2)①?.,y=_r2-2tr+P-t=(x-Z)2-t,

...拋物線的對稱軸為犬=/,

Vl>0,

拋物線開口向上，

■:t-2WxiWf+l,

當x=f時，yi的最小值為-3

Vji的最小值是-2,

??/=2,

\-t=-1,拋物線表達式為y=W-4x+2,

.'.y2=l2-4X(-1)+2=7；

②?點尸(xi,yi),Q(工2,y2)在拋物線>=(x-z)2-r_b,

22

.??yi=(xi-r)-tfy2=(x2-t)-t,

???對于xi,xi,都有yi〈y2,

.,.^2-yi—(X2-r)2-t-(XI-z)2+t=(X2-t)2-(XI-z)2=(X2-XI)(X2+X1-2t)>0,

.卜2-久1>0或竹-乂1<0

l%2+%i—2t>0l%2+%i-<0

I、當『一%>°時，

1%2+%i-2t>0

Vx2-XI>0,

.*.X2>X1,

Vr-2<xi<r+l,x2=l-1,

Al-

???后0,

*.*x2+xi—2f>0,

.*.x2+xi>2r,

Vz-2<xi<r+l,x2=l-1,

-1<X2+X1<2,

：.2W-1,

???仁一審

i

即t<-2；

II、當事一久】<0時，

1%2+%i-2t<0

由X2-XIV0得：X2<X1,

Vr-2<xi<r+l,x2=l-1,

1-tWt-2,

I,

由x2+xi-2r<0知，x2+xi<2r,

Vr-2<xi<r+L&=1一

-1<X2+X1<2,

???2/22,

即t>

即滿足條件的t的取值范圍為t<-4或t>f.

【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了配方法，函數(shù)極值的確定，用分類討論的思想解決問題是

解本題的關鍵.

23.在學習《等腰三角形》后，劉老師帶領數(shù)學興趣小組的同學對等腰三角形的拓展進行研究.

【特例分析】

(1)如圖1,等邊三角形ABC中，點M為射線CA上一個動點，連接MB,將MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn),

AM

旋轉(zhuǎn)角為等邊三角形頂角NA4C的度數(shù)，得到線段MN,連接3N,CN,則嬴的值為1,ZMCN

的度數(shù)為60°

【變形探究】

(2)如圖2,等腰直角三角形ABC中，AB=AC,點M為射線CA上一個動點，連接MB,將MB繞點

M逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為等腰三角形頂角N54C的度數(shù)，得到線段MN,連接8N,CN,則翳的值與

NMCN的度數(shù)是否變化？請說明理由;

【拓展延伸】

(3)如圖3,等腰三角形ABC中，ZBAC=120°,A8=AC,點M為射線CA上一個動點，連接MB,

將"8繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為等腰三角形頂角的度數(shù)，得到線段MN,連接BN,CN.若

AB=8,BM=1,請直接寫出點N到AC的距離.

圖1圖3

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC,/A8C=NBAC=NACB=60°,求得/BAM=120°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NBMN=NBAC=60°,推出是等邊三角形，得到3河=8M

NMBN=60°,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NABC=NACB=45°,求得/8AM=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

到BM=MN,NBMN=90°,求得NMBN=NMNB=45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NMAB=/BCN,

AMABV2

求得/MCN=45°；

CNBC

(3)過A作A8_LBC于H,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/ABC=/AC3=30°,ZBAM=60°,BH=^-AB

=4百，求得8。=8舊，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/BMN=12?！?，求得/MBN=/MNB=30°,

AMABV3

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到一=一=一，NBAM=/BCN=60：過M作過N作NE_L

CNBC3

AC于設AM=V5X,CN=3X,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)???△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

：.ZBAM=120°,

??,將MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為等邊三角形頂角ZBAC的度數(shù)，

；.MB=MN,ZBMN=ZBAC=60°,

???△5MN是等邊三角形，

:.BM=BN,ZMBN=60°,

???/ABM=NCBN,

:?△ABM沿MBN(SAS),

:?AM=CN,ZBAM=ZBCN=18Q°-ZBAC=1SQ°-60°=120°,

AZMCN=120°-ZABC=120°-60°=60°；

AM

---=],

CN

故答案為：1,60。；

一、AMV2

(2)變化，一二一，/MCN=A5°；

CN2

理由：*：AB=AC,NA4c=90°,

AZABC=ZACB=45°,

：.ZBAM=90°,

??,將MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為等邊三角形頂角ZBAC的度數(shù),

：.BM=MN,ZBMN=90°,

：?NMBN=NMNB=45°,

NABM=NCBN,

BM_AB_四

BN-BC-2'

AABMs^CBN,

AMABV2

ZMAB=ZBCN,

CN-BC-2

ZMCN=45°；

(3)過A作A〃_L5C于H,

VZBAC=120°,AB=AC=8f

：.ZABC=ZACB=30°,ZBAM=60°,BH=*B=4?

ABC=8V3,

??,將MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為等腰三角形頂角N3AC的度數(shù),

：?BM=MN,ZBMN=120°,

ZMBN=ZMNB=30°,

,:BM=1,

同理得3N=7百，

/MBN=/ABC/BMN=NBAC,

：.NMBA=NCBN,

，八MBNSAABC,

eBMABV3

??BN-BC一3'

???△ABMsMBN,

AMABV3

----=—=—,NBAM=/BCN=60°,

CNBC3

過M作過N作NE_LAC于E,

設CN=3X,

'：ZMAB=60°,

AF=AM=堂x,FM=^-AM=卓Xy/3x=

乙