勾股定理全章導學案

課題：勾股定理（一）1、直角△ABC的主要性質是：∠C=90°（用幾何語言表示）（1）兩銳角之間的關系：（2）若D為斜邊中點，則斜邊中線（3）若∠B=30°，則∠B的對邊和斜邊：2、（1）、同學們畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的長。（2）、再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長問題：你是否發(fā)現(xiàn)+與，+和的關系，即+，+，3、完成65頁的探究，補充下表，你能發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C的關系嗎？A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位面積）圖1圖2由此我們可以得出什么結論？可猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么。（二）、勾股定理的證明1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證：證明：4S△+S小正=S大正=根據(jù)的等量關系：由此我們得出：勾股定理的內容是：。（三）隨堂練習1、在Rt△ABC中，，（1）如果a=3，b=4，則c=________；（2）如果a=6，b=8，則c=________；（3）如果a=5，b=12，則c=________；第4題圖S第4題圖S1S2S32、下列說法正確的是（）A.若、、是△ABC的三邊，則B.若、、是Rt△ABC的三邊，則C.若、、是Rt△ABC的三邊，，則D.若、、是Rt△ABC的三邊，，則3、一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是（）A．斜邊長為25B．三角形周長為25C．斜邊長為5D．三角形面積為204、如圖,三個正方形中的兩個的面積S1＝25，S2＝144，則另一個的面積S3為________．5、一個直角三角形的兩邊長分別為5cm和12cm,則第三邊的長為。注意：在用勾股定理求第三邊時，分不清直角三角形的斜邊和直角邊；另外不論是否是直角三角形就用勾股定理；為了避免這些錯誤的出現(xiàn)，在解題中，同學們一定要找準直角邊和斜邊，同時要弄清楚解題中的三角形是否為直角三角形．（四）當堂檢測：1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則SRt△ABC=________。2、一直角三角形的一直角邊長為6，斜邊長比另一直角邊長大2，則斜邊的長為。3、一個直角三角形的兩邊長分別為3cm和4cm,則第三邊的為。4、已知，如圖在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是邊BC上的高．求①AD的長；②ΔABC的面積．課后練習：1、在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知a=b=5,求c。（2）已知a=1,c=2,求b。北南北南A東第4題圖（4）已知a：b=1：2,c=5,求a。（5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。2、已知，AB=17AC=10,BC邊上高AD=8，則BC長為。3、以直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形，他們它們面積分別是6和3.則斜邊長是。4、已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距。5、若直角三角形三邊存在關系，則最長邊是。6、在，∠C＝90°AB=34,并且AC:BC=8:15,則AC=BC=7、直角三角形的兩直角邊的長分別是5和12，則其斜邊上的高的長為．8、已知甲往東走了4km，乙往南走了3km，這時甲、乙倆人相距．9、一直角三角形的斜邊長比一條直角邊長多2，另一直角邊長為6，則斜邊長為．10、直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形的面積為7，8，則以斜邊為邊長的正方形的面積為____．11、一種盛飲料的圓柱形杯，測得內部底面半徑為2.5㎝，高為12㎝，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，問吸管要做_____？12、已知直角三角形一個銳角60°，斜邊長為1，那么此直角三角形的周長是_____13、如圖所示，以的三邊向外作正方形，其面積分別為,且；14、等邊三角形的邊長為2，則該三角形的面積為15、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，則a的長為16、如圖，為修通鐵路鑿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天鑿隧道0.3公里，問幾天才能把隧道AC鑿通？17、如圖所示,有一條小路穿過長方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,則這條小路的面積是多少?18、如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。CACABD(2)求AB的長。利用列方程求線段的長19、如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？AADEBC20、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長BC為10cm．當小紅折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE）．想一想，此時EC有多長？課題：勾股定理（二）例1分析：⑴注意勾股定理的使用條件，即門框為長方形，四個角都是直角。⑵圖中有幾個直角三角形？圖中標字母的線段哪條最長？⑶指出薄木板在數(shù)學問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？⑷轉化為勾股定理的計算，采用多種方法。在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理AC=+因為AC=≈2.236因此AC木板寬，所以木板從門框內通過課堂練習1、在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深是________m。第3題2．小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是米。第3題2．如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC=50米，∠B=60°，則江面的寬度為。3．有一個邊長為1米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這個洞口，則圓形蓋半徑至少為米。第4題4．一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，則RQ=厘米。第4題當堂檢測1．一架25分米長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距離墻底端7分米.如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑動2．山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，則這兩株樹之間的垂直距離是米，水平距離是米。2題圖3題圖5題圖3、如圖12米高的電線桿兩側各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是。4、小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度5、如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術攻關，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元，隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費用是多少？6、如圖，在海上觀察所A,我邊防海警發(fā)現(xiàn)正北6km的B處有一可疑船只正在向東方向8km的C處行駛.我邊防海警即刻派船前往C處攔截.若可疑船只的行駛速度為40km/h，則我邊防海警船的速度為多少時，才能恰好在C處將可疑船只截?。緾ACAB8km6km6km課后作業(yè)1、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長為2、如圖，學校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內走出了一條“路”．他們僅僅少走了步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草．3、如圖，已知一根長8m的竹桿在離地3m處斷裂，竹桿頂部抵著地面，此時，頂部距底部有m；第3題第2題第3題第2題4、有一只小鳥在一棵高4m的小樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高20m的一棵大樹的樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以4m/s的速度飛向大樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達大樹和伙伴在一起？5、已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的長。6、“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h.如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方30m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？AA小汽車小汽車BC觀測點1209012090第4題OA第4題OAB9、如圖，小明在廣場上先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米.求小明到達的終止點與原出發(fā)點的距離.1010402040出發(fā)點70終止點10、如圖一個圓柱，底圓周長6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點，則最少要爬行多少cm？課題：勾股定理（三）（一）、課前預習：復習勾股定理的內容。（二）、例題講解例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，求線段AB的長。解答過程：例2：已知：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。解答過程：小結：不規(guī)則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉化為三角形面積之差。例3（教材探究3）分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應的理論。如圖，已知OA=OB，(1)說出數(shù)軸上點A所表示的數(shù)（2）在數(shù)軸上作出對應的點課堂練習：1.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（）ABABCD7cmABC第4題圖第2題圖第4題圖第2題圖第2題圖第1題圖第4題圖第2題圖第1題圖第4題圖2.如圖所示，在△ABC中，三邊a,b,c的大小關系是（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.b＜a＜c3．等邊△ABC的高為3cm，以AB為邊的正方形面積為.4．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為_______當堂檢測：1、如圖，數(shù)軸上的點A所表示的數(shù)為x，則x2-10的立方根為（）（A）-10（B）--10（C）8（D）-122．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,則BC=，S△ABC=。3．△ABC中，若∠A=∠B=∠C，AC=10cm，則∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。4．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D，則AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。課后作業(yè)：1.已知一個直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，那么這個直角三角形斜邊上的高為.2．三角形的兩邊長分別為3和5．要使這個三角形是直角三角形，則第三條邊長是.3．△ABC中，AB=10，BC=16．BC邊上的中線AD=6．則AC=.4．如圖所示，一個梯子AB長5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C間的距離為3米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得DB的長為1米，則梯子頂端A下落了米.5．如圖將一根長24的筷子，置于底面直徑為5，高為12的圓柱形水杯中．設筷子露在杯子外面的長度是為。則的取值范圍是.6．在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蝸牛從C點出發(fā)，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路徑再回到C點，需要_______分的時間.7.若△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,則BC的長是.8、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是；9.如圖．四邊形中，AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且∠ABC=90°，則四邊形的面積是()A.84B.36C.D.無法確定.10.如圖，已知矩形沿著直線BD折疊．使點C落在C′處,BC′交AD于E，AD=8，AB=4．則DE的長為()A．3B.4C.5D.611．有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.CDAB第12題圖12．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CDAB第12題圖13．有一個長方體盒子，它的長是70cm，寬和高都是50cm．在A點處有一只螞蟻，它想吃到B點處的食物．，那么它爬行的最短路程是多少課題：勾股定理逆定理（一）課前預習問題一：1、怎樣判定一個三角形是直角三角形？2、下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a.b.c5、12、137、24、258、15、17（1）這三組數(shù)滿足嗎？（2）分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？猜想命題2：如果三角形的三邊長、、，滿足，那么這個三角形是三角形問題二：命題1：命題2：命題1和命題2的和正好相反，把像這樣的兩個命題叫做命題，如果把其中一個叫做，那么另一個叫做由此得到勾股定理逆定理：例題講解例1說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？⑴同旁內角互補，兩條直線平行。⑵如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。⑶線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。⑷直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。例2已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，，（n＞1）求證：∠C=90°。課堂練習1．判斷題。⑴在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角。（）⑵命題：“在一個三角形中，有一個角是30°，那么它所對的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}是真命題。（）⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（）⑷△ABC的三邊之比是1：1：，則△ABC是直角三角形。（）2．△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（）A．如果∠C－∠B=∠A，則△ABC是直角三角形。B．如果，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°。C．如果（c＋a）（c－a）=，則△ABC是直角三角形。D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形。3．下列四條線段不能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)=8，b=15，c=17B．a(chǎn)=9，b=12，c=15C．a(chǎn)=，b=，c=D．a(chǎn)：b：c=2：3：44．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？（）(A)、a=，b=，c=；（B）、a=5，b=7，c=9；（C）、a=2，b=，c=；（D）、a=5，b=，c=1。當堂檢測：1、任何一個命題都有，但任何一個定理未必都有。2、“兩直線平行，內錯角相等。”的逆定理是。3、一個三角形的三邊之比為3；4：5，這個三角形的形狀是__________.4、將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù),得到的三角形是__________.5、適合下列條件的△ABC中,直角三角形的個數(shù)為()①②∠A=450;③∠A=320,∠B=580;④⑤A.2個;B.3個;C.4個;D.5個.6、三角形的三邊長為,則這個三角形是()A.等邊三角形;B.鈍角三角形;C.直角三角形;D.銳角三角形課后練習：1．敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。⑴如果＞0，那么＞0；（）⑵如果三角形有一個角小于90°，那么這個三角形是銳角三角形；（）⑶如果兩個三角形全等，那么它們的對應角相等；（）⑷關于某條直線對稱的兩條線段一定相等。（）2．在△ABC中，，b=2mn，，則△ABC是三角形。3．若三角形的三邊是⑴1、、2；⑵；⑶32，42，52⑷9，40，41；⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；則構成的是直角三角形的有（）A．2個B．3個Ｃ．4個Ｄ．5個4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=，c=4；⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。5.已知,則由此為三邊的三角形是三角形.6..閱讀下列解題過程：已知、、為△ABC的三邊．且滿足，試判斷△ABC的形狀解：∵，①∴②∴③∴△ABC為直角三角形.問:(1)上述解題過程,從哪一步開始出現(xiàn)錯誤?請寫出該步的代號；(2)錯誤的原因是；(3)本題正確的結論是。7、如圖，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，△DBC是直角三角形嗎？8、三角形的三邊長分別為，，（都是正整數(shù)），試判斷三角形的形狀課題：勾股定理逆定理（二）（一）、課堂引入創(chuàng)設情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學知識和數(shù)學方法。（二）、例題講解例1閱讀課本分析：⑴了解方位角，及方位名詞；⑵依題意畫出圖形例2、一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。（三）課堂練習1.分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能構成直角三角形的有（）A.4組B.3組C.2組D.1組2.三角形的三邊長分別為a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整數(shù)），則這個三角形是（）A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．不能確定3．如果把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，那么斜邊擴大到原來的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍4.下列各命題的逆命題不成立的是()A.兩直線平行,同旁內角互補B.若兩個數(shù)的絕對值相等,則這兩個數(shù)也相等C.對頂角相等D.如果a=b,那么a2=b25．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）ABCD6、下列定理中,沒有逆定理的是（）A：兩直線平行，內錯角相等B：直角三角形兩銳角互余C：對頂角相等D：同位角相等，兩直線平行7、已知a、b、c是三角形的三邊長，如果滿足，則三角形的形狀是（）A：底與邊不相等的等腰三角形B：等邊三角形C：鈍角三角形D：直角三角形FEFEACBD當堂檢測：1．一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為，此三角形的形狀為。2．小強在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是3.在ΔABC中,若AB2+BC2=AC2,則∠A+∠C=0.4．如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長為1米，則A、B、C三點能否構成直角三角形？為什么？課后練習：1．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向？2．如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90。3、已知在△ABD中，AB=13，BC=10，BC邊上的中線AD=12，求證：AB=AC4、已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5,BD=2.5,求AC的長.CCDAB第4題圖課題：勾股定理逆定理（三）學習過程：例1、如圖，南北向MN為我國領域，即MN以西為我國領海，以東為公海.上午9時50分，我反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇C以13海里/時的速度偷偷向我領海開來，便立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B.已知A、C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里；反走私艇測得離C艇的距離是12海里.若走私艇C的速度不變，最早會在什么時間進入我國領海？分析：為減小思考問題的“跨度”，可將原問題分解成下述“子問題”：（1）△ABC是什么類型的三角形？AMAMENCB（3）走私艇C最早會在什么時間進入？例2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷△ABC的形狀。分析：⑴移項，配成三個完全平方；⑵三個非負數(shù)的和為0，則都為0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形。例3已知：如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD。求證：△ABC是直角三角形。課堂練習：1．若△ABC的三邊a、b、c，滿足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，則△ABC是（）A．等腰三角形；B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。2.如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是()A.7,24,25B.3,4,5C.3,4,5D.4,7,83．在下列說法中是錯誤的（）