2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之二次根式

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之二次根式

選擇題（共10小題）

月+何的運算結(jié)果應(yīng)在（）

1.（2025?官渡區(qū)校級模擬）估算同X、

A.6至!I7之間B.7至U8之間C.8到9之間D.9到10之間

2.（2025?秦淮區(qū)校級模擬）當(dāng)xWl時，在實數(shù)范圍內(nèi)一定有意義的式子是（）

111,____

A.1----B.-----C.?D.7x—1

11-Xx2-l

3.(2025?方山縣一模)當(dāng)a=V^+l,b=/一1時，撩b_a鏟的值為（）

A.1B.2V2C.4V2D.4

4.（2025?鄭州模擬）下列運算正確的是()

a+11

A.J(-2)2=—2B.-----——=a(aH0)

aa

C.2V3-V3=2D.(〃2)3=〃6

5.（2025?婁底模擬）下列計算正確的是()

A〃4.〃2=8B.(-Gb)3=-/戶

C.-(〃-/?)2=-〃2一2ab~廿D.=(Va)2(a>0)

6.（2025?重慶模擬）估計gx電+VIU+&的運算結(jié)果應(yīng)在（）

A.2至U3之間B.3至IJ4之間C.4至1）5之間D.5至IJ6之間

.________V

7.（2025?徐州模擬）已知尸歸+店6+3'則泮值為（）

8.(2025?大東區(qū)模擬)下列計算正確的是()

A.a3+a5=tz6B.a64-a3=a2C.(-a)2=a2D.Va^=a

9.（2025?光山縣二模）已知一等腰三角形的周長為12班，其中一邊長24，則這個等腰三角形的腰長為

A.2V5B.5V5C.2b或5逐D.無法確定

10.（2025?重慶模擬）己知恒等式（百％-&）"=即尤"++與_2工"-2------1-arx+a0,其中n

為正整數(shù)，下列說法：

①山＞1；

aO

②當(dāng)〃=4時,1*1+1的1+\a2\+|a/=49+20V6；

2

③當(dāng)n為奇數(shù)時，(ccn+ct-n-2+…+的)2—(an_1+an_3+…+a0)=1；

④當(dāng)W為偶數(shù)時，(斯+斯一2+-，+°0)*(碗-1+即一3+~，+41)<-24.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

填空題（共5小題）

11.（2025?方山縣一模）寫出一個能與g合并的實數(shù)：.

12.（2025?蠡縣一模）如圖，數(shù)軸上的點/表示實數(shù)標(biāo)、且標(biāo)與魚的積為有理數(shù)，則整數(shù)機的值為

????%一

-101234

13.（2025?鎮(zhèn)坪縣一模）計算：V3XV6-V32=.

14.（2025?山東一模）請寫出一個二次根式,使它滿足只含有一個字母無，且當(dāng)

了22時有意義.

15.（2025?越秀區(qū)校級一模）要使有意義,則實數(shù)尤的取值范圍是.

x-2---------------

三.解答題（共5小題）

16.（2025?合肥一模）計算：|百一2|一（一|）。+或x限

17.（2025?陜西校級二模）計算：|2&一3|+（—》-3+乃X%.

18.（2025?西安二模）計算：（―x+（―—3|.

19.（2025?烏魯木齊模擬）化簡或計算：

（1）4x—（2—V3）0+|4—V8|；

⑵（一鏟嚼一兒

20.（2025?交口縣一模）（1）計算：g-38X（|尸+J（-3）2.

（2）化簡：（2m+n）（2m—n）—（2m—n）2+4mQ—n）.

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之二次根式

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BBCDDCCCBB

選擇題（共10小題）

1.（2025?官渡區(qū)校級模擬）估算聞xJI+癡的運算結(jié)果應(yīng)在（）

A.6到7之間B.7到8之間C.8到9之間D.9到10之間

【考點】二次根式的混合運算；估算無理數(shù)的大小.

【專題】實數(shù)；二次根式；運算能力.

【答案】B

【分析】先根據(jù)二次根式的混合運算法則計算，再利用夾逼法估算無理數(shù)的大小即可.

【解答】解：V45xJ|+V20

=V9+V20

=3+720.

VVT6<V20<V25,

.?.4<V20<5,

.?.7<3+V20<8,

即估算同xJ|+回的運算結(jié)果應(yīng)在7到8之間，

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?秦淮區(qū)校級模擬）當(dāng)XTM時，在實數(shù)范圍內(nèi)一定有意義的式子是（）

【考點】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件.

【專題】分式；二次根式；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分別解答判斷即可.

【解答】解：A、若1-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無?0,故此選項不符合題意；

B、若二一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則1-xWO,即故此選項符合題意；

1-x

1

C、若^在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則/-1W0,即xW±l,故此選項不符合題意；

x2-l

D、若正二T在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則尤-1N0,即故此選項不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，熟練掌握這兩個知識點是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?方山縣一模)當(dāng)&=/+1,6=/—1時，窟匕-a/的值為()

A.1B.2V2C.4V2D.4

【考點】二次根式的化簡求值.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】C

33

【分析】先對ab-ab因式分解，提取公因式ab得ab-/),再用平方差公式進(jìn)一步分解為ab(a

-b)(a+b).接著代入a=魚+Lb=y/2—1,分別計算(a+6),(a-b),ab的值，最后相乘得出結(jié)

果.

【解答】解：：a=&+l,b=V2-1,

ab=(V2+1)(V2—1)=1,a+b—V2+1+V2—1=2V2,a-b—(V2+1)-(V2-1)=2,

a%-ab3

=ab(a2-b2),

=ab(a+b)(a-b),

當(dāng)a=V2+1,b=V2—1時，

原式=1X2V2X2=4vL

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵.

4.(2025?鄭州模擬)下列運算正確的是()

I--------Cl+l1

A.J(-2)2=-2B.------——=a(aW0)

aa

C.2V3-V3=2D.(a2)3=a6

【考點】二次根式的加減法；塞的乘方與積的乘方；分式的加減法；二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】整式；分式；二次根式；運算能力.

【答案】D

【分析】利用二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減法則，分式的加減法，募的乘方逐項判斷即可.

【解答】解：正可=2,則A不符合題意；

——--="I1=-=1(aWO),貝I]B不符合題意；

aaaa

2g-g=百，則C不符合題意；

(C?2)3=“6,則￡)符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減，分式的加減法，幕的乘方，熟練掌握相關(guān)運算法

則是解題的關(guān)鍵.

5.(2025?婁底模擬)下列計算正確的是()

4,28253

A.flci=aB.(-?Z?)3=-ab

C.-(a-b)2=-cr-2ab-b1D.=(Va)2(a>0)

【考點】二次根式的乘除法；同底數(shù)塞的乘法；暴的乘方與積的乘方；完全平方公式；二次根式的性質(zhì)

與化簡.

【專題】計算題.

【答案】D

【分析】根據(jù)同底數(shù)暴的乘法，暴的乘方，完全平方公式，二次根式的性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答】解：A、。4./=/+2=/，原選項計算錯誤，不符合題意；

B、(-^b)3=-心/，原選項計算錯誤，不符合題意；

C、-(a-6)2=-(a2-2ab-b2)--a2+2ab-b2,原選項計算錯誤，不符合題意；

D、=(Va)2(a>0),原選項計算正確，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方，完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握運算法則

是解題的關(guān)鍵.

6.(2025?重慶模擬)估計屆xJ|+VTU+魚的運算結(jié)果應(yīng)在()

A.2到3之間B.3到4之間C.4到5之間D.5到6之間

【考點】二次根式的混合運算；估算無理數(shù)的大小.

【專題】計算題.

【答案】C

【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行計算.

【解答】解：原式=2舊X號+VTU+魚=2+遮=2+2.236=4.236,故選C.

【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，在進(jìn)行此類運算時一般先把二次根式化為最簡二次根式的

形式后再運算.最后估計無理數(shù)的大小.

7.（2025?徐州模擬）已知y=斤兆+V^^+3,則一的值為（）

x

4A33

A.—B.--QC.—D.--7

3344

【考點】二次根式有意義的條件.

【答案】c

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出X、y的值，計算即可.

【解答】解：由題意得，4-x20,x-420,

解得x=4,

貝！1y=3,

,y3

則一=一，

X4

故選：C.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件,掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?大東區(qū)模擬）下列計算正確的是（）

35663222

A.a+a=aB.a4-?=aC.（-a）=ciD.=a

【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡；合并同類項；同底數(shù)塞的除法.

【專題】計算題.

【答案】C

【分析】根據(jù)這些運算法則依次判斷即可.

【解答】解：A、/與/不是同類項，不能合并，選項錯誤，不符合題意；

B、a6-^a3=a3,選項錯誤，不符合題意；

C、（-a）2=a2,選項正確，符合題意；

。、=a,當(dāng)a20時，V^=a,當(dāng)a<0時，，次=—a,選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題主要考查合并同類項、同底數(shù)暴的除法、積的乘方運算、二次根式的化簡，掌握以上性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?光山縣二模）已知一等腰三角形的周長為12百，其中一邊長2西，則這個等腰三角形的腰長為

（）

A.2V5B.5V5C.2有或5有D.無法確定

【考點】二次根式的應(yīng)用；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】B

【分析】由題意知，分一邊長2擊為腰，一邊長2愿為底邊兩種情況求解，然后對兩種情況進(jìn)行判斷作

答即可.

【解答】解：由題意知，分一邊長2聲為腰，一邊長2遍為底邊兩種情況求解；

①當(dāng)一邊長2曲為腰時，則底邊長為124一2x2時=8西，

2有+2逐=4V5<8V5,

此時不能構(gòu)成三角形，舍去；

②當(dāng)一邊長2代為底邊時，則腰長為I?"2近=5?；

綜上所述，腰長為5代，

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的加減運算，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì).熟練掌握二次根式

的加減運算，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?重慶模擬）已知恒等式（遮光—魚尸=a/"+cin-i久"T+與_2--2H----Fa1x+a0,其中n

為正整數(shù)，下列說法：

①幺>1；

aO

a

②當(dāng)n=4時,|a4|+1的1+\2\+|%J=49+20V6；

③當(dāng)n為奇數(shù)時，（a九+an-2+…+%.）2—（%i-i+a九一3+…+劭產(chǎn)=1;

④當(dāng)〃為偶數(shù)時，（〃〃+〃〃-2+…+”（））?（〃〃-1+劭-3+…+〃1）<-24.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點】二次根式的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】B

【分析】利用整式的乘法法則，當(dāng)〃=1時，ar=V3/a0=-V2,—=—<1,可判斷①錯誤；當(dāng)

〃=4時，(8％-企尸=9/一12e工3+36/一8乃1+4,經(jīng)過計算，可判斷②錯誤；

nnnn

當(dāng)〃為奇數(shù)時，令1=1,則(遍%-V2)=(V3-V2),(V3x+V2)=(V3+V2),得(an

nn

。1)2—(cin_i4~<xn-3+…+a。)?=(V3—V2)(V3+V2)=1,可判斷③正確；

當(dāng)"為偶數(shù)時，當(dāng)〃=2時，

A-

(cin+ccn-2+…+口。),(。九一1+。九-3+…+。1)=(3+2),(―2/^)=10V6V—24；

當(dāng)九=4時，(<1rl+ccn-2+…+口。),(。九一1+a九一3+…+%)=(9+36+4),(―12V6—8V6)=—980V6；

-980V6<-24,依此類推，可判斷④正確；即可判斷出有幾個正確的.

【解答】解：①當(dāng)n=\時，的=V3/a=—V2,—=-7=<1，

0a。—V2

故①錯誤，不符合題意；

②當(dāng)〃=4時，(8％-V2)4=9x4-12V6%3+36x2-8V6x+4,

4—

a4=(V3)=9,%=12V6,〃2=36,%=-8A/6,〃o=4,

I(I41+1^31+\^21+l^iI=9+12A/6+36+8A/6=45+20V6,

故②錯誤，不符合題意；

③當(dāng)〃為奇數(shù)時，令x=l,

則(遮工—魚尸

nn-2

=anx+a九_1%九_1+an_2x4---Farx+a0

=(V3-V2)n,

(V3x+V2)n

nn=2

=anx++an_2x4----F+a0

=l+〃〃-2+…+QI+QO

=(V3+V2)n,

(an+an-2■1----1-al)2一(an-l+an-3---a0)2

=(即+〃〃-1+即一2+…+Q1+40)(an-an-l+an-2-…+m-40)

=(V3-V2)n(V3+V2)n

=1,

故③正確，符合題意；

④當(dāng)w為偶數(shù)時，

當(dāng)”=2時，（舊一企）2=3—2乃+2,

=

((ln+Un-2+…+Go),(Gn-1+^-n-3+…+口1)(3+2),(—2^/6)——10V6<-24;

當(dāng)〃=4時，(值一企)4=9-12巡+36-8乃+4,

(an+an_2+…+QQ),(fin-1+^n-3+…+cii)=(9+36+4),(-12>/6—8'\/6)=-980V6；

-980V6<-24,

依此類推，

(tzw+o/j-2+-+ao)?(-1+a?-3+-+?i)<-24,

故④正確，符合題意；

故答案為：B.

【點評】本題主要考查了整式的乘法的應(yīng)用及實數(shù)的運算，考查分析問題解決問題的能力，熟練掌握以

上知識點是關(guān)鍵，屬于中檔題.

二.填空題(共5小題)

11.(2025?方山縣一模)寫出一個能與合并的實數(shù)：W(答案不唯一)..

【考點】同類二次根式.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】V3(答案不唯一).

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出答案即可.

【解答】解：把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同

類二次根式，同類二次根式才能合并.

VV12=2V3,

，能與g合并的實數(shù)可以為舊，

故答案為：V3(答案不唯一).

【點評】本題考查了同類二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，能熟記同類二次根式的定義(幾個二次

根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式)是解此題的關(guān)

鍵.

12.(2025?蠡縣一模)如圖，數(shù)軸上的點M表示實數(shù)標(biāo)、且標(biāo)與魚的積為有理數(shù),則整數(shù)m的值為8.

???.一

-101234

【考點】分母有理化；實數(shù)與數(shù)軸；二次根式的乘除法.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】8.

【分析】先求出4＜機＜9,再根據(jù)標(biāo)與魚的積為有理數(shù)求解即可.

【解答】解：由條件可知2V標(biāo)＜3,

：.4＜m＜9,

:標(biāo)與魚的積為有理數(shù)，且2企又聲=8,

??加=8,

故答案為：8.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的計算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸及二次根式

的乘法運算.

13.（2025?鎮(zhèn)坪縣一模）計算：V3xV6-V32--V2.

【考點】二次根式的混合運算.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】-迎.

【分析】先計算二次根式的乘法，再算加減，即可解答.

【解答】解：V3xV6—V32

=3V2-4V2

=—V2,

故答案為：-五.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?山東一模）請寫出一個二次根式VI（答案不唯一），使它滿足只含有一個字母羽且

當(dāng)x22時有意義.

【考點】二次根式有意義的條件；二次根式的定義.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：A/7^2（答案不唯一）滿足條件，

故答案為：/口（答案不唯一）.

【點評】本題考查二次根式有意義的條件、二次根式的定義，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵.

?Vx4~1

15.（2025?越秀區(qū)校級一模）要使一丁有意義，則實數(shù)%的取值范圍是12-1且122.

X-2-------------

【考點】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件.

【專題】分式；二次根式；符號意識.

【答案】X2-1且XW2.

【分析】直接利用二次根式有意義則被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，再利用分式有意義的條件，其分母不為零，進(jìn)

而得出答案.

【解答】解：要使在g有意義，貝h+1>0且X-2W0,

X-2

解得：X，-1且xW2.

故答案為：X2-1且％W2.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，注意分式有意義的條件是解題

關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?合肥一模）計算：|百一2|一（一|）。+&*用

【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)幕.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】1+V3.

【分析】先根據(jù)絕對值、零指數(shù)累的意義和二次根式的乘法法則運算，然后合并即可.

【解答】解：原式=2-W-\+聲,x短xW

=2-V3-1+2V3

=1+V3.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和零指數(shù)募

是解決問題的關(guān)鍵.

17.（2025?陜西校級二模）計算:|2V2-3|++V6XV3.

【考點】二次根式的混合運算；負(fù)整數(shù)指數(shù)累.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】V2-5.

【分析】先化簡絕對值、計算負(fù)整數(shù)指數(shù)塞和二次根式的乘法，再計算二次根式的加減法即可得.

【解答】解：原式=3—2A/2+（—8）+V18

=3-2V2-8+3V2

=V2—5.

【點評】本題考查了化簡絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、二次根式的乘法，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

-1

18.(2025?西安二模)計算：(-V8)XV3+(-i)-2-|V6-3|.

【考點】二次根式的混合運算.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】一連+1.

【分析】先化簡負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對值，然后算乘法，最后算加減.

【解答】解：原式=一2在+(—2》一(3-n)

=-2V6+4—3+V6

=-V6+1.

【點評】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及二次根式的乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)累及實數(shù)的絕對值，掌握相關(guān)

運算法則是解題的關(guān)鍵.

19.(2025?烏魯木齊模擬)化簡或計算：

(1)4XJ|-(2-V3)°+|4-V8|:

⑵(一鏟一/一?

【考點】二次根式的混合運算；分式的混合運算.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】(1)3；

3

(2)-b.

【分析】(1)先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答；

(2)先算乘方，再算除法，后算加減，即可解答.

【解答】解：(1)4xJj-(2-V3)°+|4-V8|

=4x^-l+4-2V2

=2V2-1+4-2V2

=3；

（2）r--V上空一°

a25b3

=F-7—匕

b22a2

Sb,

=-2~b

=%

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，分式的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

20.(2025?交口縣一模)(1)計算：g-3百x(|)T+5(一3)2.

3

(2)化簡：(2m+n)(2m—n)—(2m—n)2+4m(^—n).

【考點】二次根式的混合運算；整式的混合運算；負(fù)整數(shù)指數(shù)哥.

【專題】整式；二次根式；運算能力.

【答案】(1)3；

(2)3m-2M2.

【分析】(1)利用二次根式的性質(zhì)及運算法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞計算即可；

(2)利用完全平方公式，平方差公式，單項式乘多項式法則展開后再合并同類項即可.

【解答】解：⑴原式=2b-3遍X,+3

=2V3-2V3+3

=3；

(2)原式=4渥--(4m2-4mn+n2)+3m-4mn

=4m2-n2-4m2+4mn-n2+3m-4mn

=3m-2幾2.

【點評】本題考查二次根式的混合運算，整式的混合運算，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，熟練掌握相關(guān)運算法則是解

題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.實數(shù)與數(shù)軸

(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系.

任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).數(shù)軸上的任一點表

示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是

在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點左側(cè)，絕對值大的反而小.

2.估算無理數(shù)的大小

估算無理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

3.合并同類項

(1)定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

(2)合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

(3)合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項；

字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)會減少，達(dá)到化

簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字母和字母的指數(shù)

不變.

4.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識

的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)

量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運算，從而得出通項公式.

(2)利用方程解決問題.當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為無，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)

出其他未知數(shù)，然后列方程.

5.同底數(shù)塞的乘法

（1）同底數(shù)累的乘法法則：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

am-an=am+n（m,”是正整數(shù)）

（2）推廣：am-an-aP=am+n+P（加，n,p都是正整數(shù)）

在應(yīng)用同底數(shù)幕的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（/廬）3與（/廬）%（x-y）2

與（x-y）3等；②。可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)

相加.

（3）概括整合：同底數(shù)暴的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運算的關(guān)鍵.在運用時要抓

住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當(dāng)變形為同底數(shù)幕.

6.易的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

n=0nm（m,〃是正整數(shù)）

注意：①暴的乘方的底數(shù)指的是累的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是暴的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這

里注意與同底數(shù)幕的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

（加〃=4%"（力是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計

算出最后的結(jié)果.

7.同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)累的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

am^an=amn（a^O,m,〃是正整數(shù)，機＞〃）

①底數(shù)aWO,因為0不能做除數(shù)；

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應(yīng)用同底數(shù)幕除法的法則時，底數(shù)a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什

么.

8.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±6）2=a2±2ab+b2'.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項

分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同.

(3)應(yīng)用完全平方公式時，要注意：①公式中的a,6可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和(或

差)的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方

公式.

9.整式的混合運算

(1)有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順

序相似.

(2)“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，

此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來.

10.分式有意義的條件

(1)分式有意義的條件是分母不等于零.

(2)分式無意義的條件是分母等于零.

(3)分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號.

(4)分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號.

11.分式的加減法

(1)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

(2)異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異

分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

說明：

①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把

分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘.

②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式;

通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形

式.約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的.

12.分式的混合運算

(1)分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，

有括號的先算括號里面的.

(2)最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

(3)分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進(jìn)行靈活

運算.

【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題

1.注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的.

2.注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分

式或整式.

3.注意運算律的應(yīng)用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法

的運算律運算，會簡化運算過程.

13.零指數(shù)塞

零指數(shù)幕：a°=lQWO）

由+或"小心=心一，"=/可推出J=1（a#0）

注意：O°W1.

14.負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

負(fù)整數(shù)指數(shù)暴：ap=^（aWO,p為正整數(shù)）

注意：①a#。；

②計算負(fù)整數(shù)指數(shù)累時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義計算，避免出現(xiàn)（-3）2=（-3）X（-2）

的錯誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

15.二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如6QN0）的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a（a》0）是一個非負(fù)數(shù)；

學(xué)習(xí)要求：

理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被

開方數(shù)中的字母取值范圍.

16.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如仿（a》0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式具有非負(fù)性.VHQ20）是一個非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負(fù)性解決相關(guān)問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是

非負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

17.二次根式的性質(zhì)與化簡

（1）二次根式的基本性質(zhì)：

?Va>0；心0（雙重非負(fù)性）.

②（迎）2=。QN0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）.

a（a>0）

0（a=0）（算術(shù)平方根的意義）

{—a（a<0）

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

Vab=(a20,620)6>0)

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開

得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都

小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果.

（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式.

18.二次根式的乘除法

(1)積的算術(shù)平方根性質(zhì)：Va-b=Va9Vb(〃20,Z?NO)

(2