八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第17章《勾股定理》重難點(diǎn)（含答案）

第17章勾股定理——重難點(diǎn)

內(nèi)容范圍：17.1?17.2

?重難點(diǎn)知識(shí)導(dǎo)航

勾股定理

勾股定理勾股定理勾股定理

勾股定理

的應(yīng)用與折疊的逆定理

?重難點(diǎn)知識(shí)剖析

知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理

i.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么。2+〃=/.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。斗〃=。2的變形有：a=,6=朽方及c=

（4）由于。2+〃=°2>/,所以C〉。，同理即直角二角形的斜邊大于該直角二角形中

的每一條直角邊.

2.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法,

然后再利用面積相等證明勾股定理.（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一

個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理.

3.勾股定理簡(jiǎn)單應(yīng)用形式

（1）已知直角三角形任意兩邊，求第三邊；

（2）已知直角三角形任意一邊，確定另外兩邊的數(shù)量關(guān)系；

（3）構(gòu)造方程或方程組計(jì)算與直角三角形有關(guān)的長(zhǎng)度、高度、距離、面積等問(wèn)題；（4）證

試卷第1頁(yè)，共10頁(yè)

明含有平方關(guān)系的幾何問(wèn)題;

典例精講例L

1.如圖，在△4BC中，4=90。，分別以”，8c為邊在△4BC外側(cè)作正方形NADE和正

方形BCFG,再以NC為斜邊在△/3C外側(cè)作RM/C”,若/8=1,CH=2a,則圖中陰

A.10B.5+V6C.25+V6D.5+2指

例2.

2.如圖，在△/BC中，AD1BC.

(2)當(dāng)48=8,BC=6,NC=2而時(shí)，求的值.

Q變式訓(xùn)練

3.如圖，△4BC和AERC為等腰直角三角形，NACB=NECF=90°,已知點(diǎn)￡在48上,

連接B尸.

(1)若不添加輔助線，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形并證明其全等;

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

(2)若4E=1,//EC=105。，求BE的長(zhǎng).

4.(1)如圖1是著名的趙爽弦圖，用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖的大正方形ABCD和

小正方形EFGH.已知較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為。，較短的直角邊長(zhǎng)為匕，斜邊長(zhǎng)為c,利用面積

法等可以推導(dǎo)出勾股定理，請(qǐng)寫出推理過(guò)程.

(2)如圖2,在一條公路48的一側(cè)有一村莊C,公路邊有兩個(gè)停靠站/,B,在公路邊再

建一個(gè)?？空?。，使村莊C到?？空?。的距離最短.經(jīng)測(cè)量/C=5km,CD=4km.

①求?？空続與。之間的距離?？空続與。之間的距離；

②經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)?？空?到村莊C和?？空続的距離相等，求?？空?到村莊。的距離.

圖2

知識(shí)點(diǎn)二：勾股定理的應(yīng)用

1.勾股定理的應(yīng)用

(1)在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

(2)在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，

關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)

用.

(3)常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線

段的長(zhǎng)度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊

為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題.

解決問(wèn)題的思路：畫圖一尋找或構(gòu)造直角三角形一用勾股定理求解.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)

正整數(shù)的直角三角形的斜邊.

2.平面展開-最短路徑問(wèn)題

(1)平面展開-最短路徑問(wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之

試卷第3頁(yè)，共10頁(yè)

間的最短路徑.一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

(2)最短路徑問(wèn)題的方法

①解決立體圖形中最短距離問(wèn)題的關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線

展開，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題后，借助“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，進(jìn)而構(gòu)造直角三角

形，借助勾股定理求解.

②平面圖形的最短路徑通常是作軸對(duì)稱變換，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的模型來(lái)解決問(wèn)

題.

③最短路徑常見的模型：

常見的有圓柱體的展開、長(zhǎng)方體的展開、樓梯的展開、繞繩的展開和將軍飲馬模型、“造橋

選址”模型、費(fèi)馬點(diǎn)等，如圖.

在典例精講

例1.

5.如圖，教室墻面尸與地面/8CD垂直，點(diǎn)尸在墻面上，若尸/=舊米，”=2米,

點(diǎn)尸到/尸的距離是3米，一只螞蟻要從點(diǎn)尸爬到點(diǎn)B,它的最短行程是()米

C.V13D.3

例2.

6.閱讀下列材料，回答問(wèn)題.

社區(qū)公園里新安裝了一架秋千，小白對(duì)秋千的高度產(chǎn)生了興趣，星期天他和朋友一起帶著卷

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

尺到公園測(cè)量秋千的高度，他設(shè)計(jì)如下的測(cè)量方案：

步驟一：測(cè)得秋千靜止時(shí)的底端E與地面的距離BE=0.8m；

步驟二：如圖，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的繩索被拉直，測(cè)得此時(shí)秋千底端

離地面的高度CD=l.lm,再測(cè)得小白站立處與秋千靜止時(shí)的水平距離5C=1.5m.

(1)若設(shè)秋千的高度=則m(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)根據(jù)上述測(cè)量方案和數(shù)據(jù)，求秋千的高度

Q變式訓(xùn)練

7.在海平面上有B,C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，C為燈塔，港口/在燈塔C的北偏西55。方向上,

港口/與燈塔C的距離是40海里；港口3在燈塔C的南偏西35。方向上，港口8與燈塔C

的距離是30海里，一艘貨船將從/港口沿直線向港口8運(yùn)輸貨物，貨船的航行速度為10

海里/小時(shí).

(1)貨船從港口A航行到港口B需要多少時(shí)間；

(2)為了保障航行的安全，C處燈塔將向航船發(fā)送安全信號(hào)，信號(hào)有效覆蓋半徑為25海里,

這艘貨船在由港口N向港口8運(yùn)輸貨物過(guò)程中，為保證安全航行，貨船接收燈塔的安全信

號(hào)時(shí)間不低于1小時(shí)才符合航行安全標(biāo)準(zhǔn).請(qǐng)問(wèn)這艘貨船在本次運(yùn)輸中是否符合航行安全標(biāo)

準(zhǔn)，并說(shuō)明理由？

8.【問(wèn)題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別

為20、3、2,A和8是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).

試卷第5頁(yè)，共10頁(yè)

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到8點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿

著臺(tái)階爬到8點(diǎn)的最短路程是多少？

（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開成平面圖形，可得到長(zhǎng)

為20.寬為15的長(zhǎng)方形，連接42,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到長(zhǎng)度為,就是最短路程.

【變式探究】

（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是30cm,高是8cm,若螞蟻從

點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)3,則螞蟻爬行的最短距離為

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm,底面周長(zhǎng)為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處

有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)8處，則螞

蟻從外壁3處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）（畫出示意圖并進(jìn)行

計(jì)算）

知識(shí)點(diǎn)三：勾股定理與折疊問(wèn)題

1.解決折疊問(wèn)題的基本思路：

①注意尋找折疊前后不變的量一邊與角；

②已知與所求的量一般集中在一個(gè)直角三角形中；

③利用勾股定理構(gòu)建方程求解.

2.折疊問(wèn)題中常見的幾何模型：

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

立典例精講

例1.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是。(。期，40,4),5(6,0),

點(diǎn)C、。分別在邊。4、AB上,將A/。沿直線C￡＞折疊，點(diǎn)A恰好落在08邊的中點(diǎn)H處,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

例2.

10.如圖1,四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大正方形，中間空白部分也是正方形.已知直

角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為。，以斜邊長(zhǎng)為J課堂上，老師結(jié)合圖形，用不同的方式表

示大正方形的面積,證明了勾股定理/+62=02.

ab

b

a

ba

圖1

(1)現(xiàn)將圖1中的兩個(gè)直角三角形向內(nèi)翻折，得到圖2.若a=4,6=6,則空白部分的面積

為

⑵如圖3,長(zhǎng)方形/BCD沿/￡折疊，使點(diǎn)。落在邊2C上的點(diǎn)尸處.若3=5,AB=3,

試卷第7頁(yè)，共10頁(yè)

求斯的長(zhǎng).

o變式訓(xùn)練

11.如圖，在中，ZC=90°,AC=12,48=15,將邊8c沿翻折，點(diǎn)B落在

點(diǎn)E處，連接CE交4B于點(diǎn)R則斯的最大值為()

12.學(xué)完了勾股定理相關(guān)知識(shí)，王老師帶領(lǐng)大家研究長(zhǎng)方形紙片的折疊問(wèn)題.大家知道，長(zhǎng)

方形的對(duì)邊相等，對(duì)邊平行，四個(gè)角都是直角，即長(zhǎng)方形/BCD中，

ZA=/4BC=NC=/4DC=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,AB//CD.

請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決下

圖2

面的問(wèn)題：

(1)如圖1,長(zhǎng)方形紙片ABC。中，48=5,AD=12,將紙片折疊，使N8落在對(duì)角線/C

上，折痕為/￡(點(diǎn)￡在邊8c上)，點(diǎn)3落在點(diǎn)夕處，求CE的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,有一張長(zhǎng)方形紙片48。，AB=6,AD=U,尸為邊上一點(diǎn)，AF=3,E

為5c上一點(diǎn).將紙片折疊，折痕為斯，使點(diǎn)8恰好落在線段初上的點(diǎn)"處，點(diǎn)/落在

點(diǎn)H處.求線段WD的長(zhǎng)度.

知識(shí)點(diǎn)四：勾股定理的逆定理

An

勾股定理的逆定理

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,C滿足。2+〃=02,那么這個(gè)三角形就是

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

直角三角形.

說(shuō)明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

2、運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其

他已知條件來(lái)解決問(wèn)題.注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三

條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角

三角形；否則不是.

3、勾股定理逆定理應(yīng)用形式

(1)已知三角形三邊的長(zhǎng)度，判斷三角形的形狀；

(2)在圖形中尋找與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)；

(3)在網(wǎng)格中判斷直角或直角三角形；

(4)求某些不規(guī)則圖形的面積.

在典例精講

例1.

13.如圖，已知△NBC中，的垂直平分線交8c于點(diǎn)。，/C的垂直平分線交于點(diǎn)

，DE=2,sc=|,則NC的長(zhǎng)為（）

C3A/5D3屈

'~2~'2

例2.

14.如圖，正方形網(wǎng)格中的△4BC,若小方格邊長(zhǎng)為1,

試卷第9頁(yè)，共10頁(yè)

(1)判斷△4BC是否為直角三角形？

(2)求△/BC最長(zhǎng)邊上的高？

Q變式訓(xùn)練

15.如圖，在中，Z5=9O°,/C=12,點(diǎn)。為邊NC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊8C上,

連接。E.

(1)若DE=2。,CE=4小,求ACDE的面積；

(2)若N8=6,EDA.AC,求CE的長(zhǎng).

16.如圖，在一條河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)B.其中=因

建設(shè)新農(nóng)村需要，由C到8的道路另作他用，不再通行.該村為方便村民取水決定在河邊

新建一個(gè)取水點(diǎn)P(4P,3在一條直線上)，并新修建一條道路CP,建成后經(jīng)測(cè)量得到相

關(guān)數(shù)據(jù)/C=26km,CP=24km,4P=10km.某校數(shù)學(xué)項(xiàng)目式小組嘗試解決以下問(wèn)題，請(qǐng)你

(1)任務(wù)一：在每千米道路造價(jià)相同的前提下，試說(shuō)明道路CP設(shè)計(jì)方案的成本最低;

(2)任務(wù)二：求修建后的路線CP比原來(lái)的路線縮短了多少千米.

試卷第10頁(yè)，共10頁(yè)

1.c

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理可得/。2=/爐+82=25,即得

S正方物BDE+S正方形BCFG=+BC~=25,進(jìn)而由S陰影=S正方形0B0E+S正方形BCFG+^^ACH即可求解，

掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?/”=90,AH=\,CH=2屈,

222

：.AC=AH+CH'=1+(2n『=25,S^ACH=^AHCH=|xlx276=a,

"ABC=90°,

■■AB2+BC2=AC2=25,

,正方私曲+$正方形BCFG=4B-+BC?=25,

S陰影=S正方物皿E+S正方形BCFG+S：=25+V6,

故選：C.

2.(1)證明見解析；

⑵ND=46；

【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關(guān)證明和計(jì)算及解二元一次方程組，熟練掌

握和運(yùn)用勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

(1)在和R"。。中，分別運(yùn)用勾股定理可得/京=43+臺(tái)加，

AC2=AD2+CD2,利用/。邊相等，聯(lián)立兩式移項(xiàng)即得證.

(2)根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論，可求出的值，利用平方差公式，結(jié)合8C=3D+CD=6,

可求得3O-C。，而2￡>+CD=6,由此可求得3D、CD,由勾股定理即可求出4D.

【詳解】(1)證明：??,AD1BC,

在RtZUBD和Rt“DC中，根據(jù)勾股定理得，

AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2,

AB2-BD2=AD2=AC2-CD2,

移項(xiàng)得：AB2-AC2=BD2-CD2.

^AB2-AC2=BD2-CD2.

(2)解：???AB2-AC2=BD--CD2,AB=%,AC=2屈

BD2-CD2=AB2-AC2=82-(2V13)2=64-52=12,

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

BD2-CD2=(BD+CD^BD-CZ>)=12,

BC=6,^BD+CD=6,

：.BD-CD=2,

\BD+CD=6[BD=4

"[BD-CD=1'解得jcD=2，

■■■/r>2=4g2一切=82-42=64-16=48,

AD=4日

3.("AEC咨ABFC,證明見解析

⑵百

【分析】(1)由ZUgC和AEFC為等腰直角三角形，ZACB=ZECF=90°,得/C=3C,

EC=FC,ZACE=ZBCF=90°-ZBCE,即可根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明

A.AEC^ABFC；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EGLNC于點(diǎn)G,則NGEN=NN=45。，ZGCE=1800-ZAEC-ZA=30°,

所以/G=EG,CE=2EG,根據(jù)勾股定理求得NG,CE的長(zhǎng)，再由勾股定理求得CG,AC

的長(zhǎng)，從而得到48,利用8￡=48-/E求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：圖中附48尸C,證明如下：

VdBC和AEFC為等腰直角三角形，NACB=ZECF=90°,

:.AC=BC,EC=FC,ZACE=ZBCF=90°-ZBCE,

在△4EC和△2FC中，

'AC=BC

<NACE=NBCF,

EC=FC

:."EC咨ABFC(SAS)；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EGL/C于點(diǎn)G,

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

則//GE=/CG￡=90。，

vAAEC=105°,/A=/CBA=45。，

ZGEA=ZA=45°,ZGCE=180°-NAEC-ZA=30°f

:.AG=EG,CE=2EG,

222

\-AG+EG=AE9AE=1,

2AG2=12,

/.AG=EG=---

2

CE=2x=\pl,

2

AC=AG+CG當(dāng)+當(dāng)

AB=^AC2+BC2=yj2AC2=42AC=收x（近46}=1+6,

122J

:.BE=AB-AE=l+M-l=6

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中

30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題

的關(guān)鍵.

25

4.(1)見解析；(2)①停靠站A與。之間的距離為3km；@—km

o

【分析】本題考查勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用：

(1)根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個(gè)直角三角形的面積即可得證；

(2)①直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；②設(shè)N8=3C=x,在RMHDC中利用勾股定理

進(jìn)行求解即可.

71

【詳解】解：(1)由圖可知：c2=(a-by+4x-ab=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2；

(2)①村莊。到?？空?。的距離最短，

：.CDLAB,

vAC=5km,CD=4km,

???AD=ylAC2-CD2=3km；

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

答：停靠站A與。之間的距離為3km；

②設(shè)/8=8C=xkm,貝!J：BD—(x—3)km,

在RtACDB中，BC2=BD2+CD2,

則:X2=(X-3)2+42,

25

解得：x=1；

6

25

答：?？空?到村莊C的距離為rkm.

6

5.A

【分析】本題考查平面展開一最短路徑問(wèn)題及勾股定理的應(yīng)用，可將教室的墻面/DE尸與

地面展開，連接尸3,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可.正確利用立

體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過(guò)P作PGJ.5尸于G,連接尸3,

此時(shí)PB的長(zhǎng)為這只螞蟻從點(diǎn)P爬到點(diǎn)3的最短行程,

?.?尸9=布米，月3=2米，點(diǎn)尸到/月的距離是3米,

.?.PG=3米，

■■AG=ylPA2-PG2=J[V13)2-32=2(米)，

：.BG=GA+AB=2+2=4(米)，

；?PB="笈+PG?="2+32=5(米)，

??.這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是5米.

故選：A.

6.(l)(x-0.8)

(2)秋千的高度為4.7m

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：

(1)根據(jù)40=NE=4B-BE即可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。尸_L/8,利用勾股定理解RtA/DF即可.

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】（1）解：由題意得，AD=AE=AB-BE=（x-0.8）m,

故答案為：（x-0.8）；

（2）解：過(guò)點(diǎn)。作。尸，4B,垂足為尸，

則。尸=8C=1.5,BF=CD=1.1,

AF+BF=AB,

/.AF=AB-BF=x-\A,

在R3/。尸中,N4FD=90。，

AF2+DF2=AD2,

即(龍一Liy+l.52=(x-0.8『，

解得：x=4.7,

答：秋千的高度43為4.7m.

7.（1）5小時(shí)

（2）符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及方位角的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確掌

握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

（1）先得出/8。4=180。-35。-55。=90。，結(jié)合勾股定理列式/g=J/C?+&<=50（海

里），因?yàn)樨洿暮叫兴俣葹?0海里/小時(shí)，貝/=4=2.5（小時(shí)），即可作答.

（2）先在AB上取兩點(diǎn)N使得CM=CN=25海里，S^c=^AC-BC=^AB-CD,

分別算出CD,。州的長(zhǎng)度，然后結(jié)合等腰三角形的三線合一，得出九亞=2。河=14海里，

因?yàn)樨洿暮叫兴俣葹?0海里/小時(shí)，則％=需=1.4（小時(shí)），即可作答.

【詳解】（1）解：???港口N在燈塔C的北偏西55。方向上，港口/與燈塔C的距離是40海

里；港口3在燈塔C的南偏西35。方向上

ZBCA=180°-35°-55°=90°,

?.?港口/與燈塔C的距離是40海里，港口5與燈塔C的距離是30海里

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

AB=y]AC2+BC2-50(海里),

???貨船的航行速度為10海里/小時(shí)

1=5（小時(shí)）,

答：貨船從/港口到2港口需要5小時(shí);

（2）答：這艘船在本次運(yùn)輸中符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，理由如下:

如圖：過(guò)C作CD_L48交N8于。,

在43上取兩點(diǎn)M,N使得CM=CN=25海里

?;S?=-AC-BC=-AB-CD,

△HAOC227

iACBC40x30

CD=-----------=----------=24（海里）,

AB50

??DM=4CM1-CD1=7(海里),

CM=CN,

.?.△CMN是等腰三角形

CD1AB

：.MN=2DM=

MN一/3、

???4=工^-=1.4(小時(shí))

二這艘貨船在本次運(yùn)輸中符合航行安全標(biāo)準(zhǔn).

8.(1)25(2)17cm(3)10cm

【分析】本題考查了平面展開圖一最短路徑問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思

想解決問(wèn)題.

（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可;

（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可;

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

(3)從玻璃杯側(cè)面展開，作8關(guān)于EG的對(duì)稱點(diǎn)C,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知NC的長(zhǎng)度

即為所求，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：(1)由題意得4g=J152+202=25，

故答案為：25；

(2)將圓柱體展開，由題意得

AB=M+15?=17cm>

故答案為：17cm；

(3)如圖，

從玻璃杯側(cè)面展開，作8關(guān)于EG的對(duì)稱點(diǎn)C,作交/￡延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接NC

交EG于點(diǎn)尸，

BF=CF,OE=CG=BG=lcm,

AF+BF=AF+CF=AC,

'：AD=9-4+DE=5+1=6cm,CD=16+2=8cm

AC=y/CD2+AD2=A/82+62=10cm，

???螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是10cm.

【分析】本題考查圖形與坐標(biāo)，涉及折疊性質(zhì)、勾股定理及解方程等知識(shí)，先由折疊性質(zhì)得

到C4=C4，，設(shè)OC=x,則C/'=C4=4-x,在Rt^COH中，由勾股定理列方程求解即可

得到答案，熟記折疊性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將沿直線CD折疊，點(diǎn)A恰好落在02邊的中點(diǎn)4處，

，由折疊性質(zhì)可知，CA=CA',

???4(0,4),2(6,0),

:.OA=4,OA'=-OB=3,

2

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

設(shè)OC=x,貝i|C4'=C4=4-x,

在Rt^CCW中，由勾股定理可得=即/+32=（4-x『，

7

/.8x=7,角牟得x=7，

o

,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

故答案為：

10.（1）28

⑵EF=：

【分析】本題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)空白部分的面積=邊長(zhǎng)為c的正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積

=c2-2x-ab,即可求解；

2

（2）根據(jù)勾股定理求得出?=斤2_&g2=4,進(jìn)而設(shè)￡F=x,則。E=￡F=x,

CE=CD-DE=3-x,在RtZ\CE尸中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解.

【詳解】（1）解：空白部分的面積=邊長(zhǎng)為c的正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積

2,1,

=c-2x—ab,

2

,.,?=4,6=6,

???空白部分的面積=42+62-2x（x4x6=28；

故答案為：28.

（2）解：?.?折疊，

AF=AD=5,在中AF=5,AB=3,

BF=y/AF2-AB2=4

:.CF=BC-BF=AD-BF=5-4=1,

設(shè)所=尤，貝！=CE=CD-DE=3-x

在RtACEF中，EF2=CE2+CF2

.-.X2=（3-X）2+12

解得：x=g

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

IP￡F=|

11.C

【分析】本題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題、垂線段最短，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.先利用勾股定理可得8C=9,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CE=8C=9,從而可得

EF=9-CF,則當(dāng)CF的值最小時(shí)，跖取得最大值，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)

時(shí)，C尸的值最小，利用三角形的面積公式可求出CF的最小值，由此即可得.

【詳解】解：???在Rt/X/BC中，ZC=90°,AC=12,AB=15,

???BC=ylAB2-AC2=9，

由折疊的性質(zhì)得：CE=BC=9,

：.EF=CE-CF=9-CF,

當(dāng)CF的值最小時(shí)，EF取得最大值，

由垂線段最短可知，當(dāng)CFLN8時(shí)，CF的值最小，

此時(shí)=

「廠

Cr=-A--C--B--C--=--1-2-x--9=——36,

AB155

369

???￡尸的最大值為9-

故選：C.

26

⑵(1)T

⑵5

【分析】本題主要考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，勾股定理與折疊的問(wèn)題，等角對(duì)等邊等知識(shí).

(1)由長(zhǎng)方體形的性質(zhì)可知/。=5。=12,NB=90°,由勾股定理得出/C,由折疊的性

質(zhì)可得出48'=/B=5,BE=B'E=n-CE,NAB'E=NB=90。,進(jìn)一步可得出

B'C=AC-AB'=13-5=S,ZEB'C=90°,再利用勾股定理可得出夕序+39?=CE?,代入

求解即可得出CE.

(2)由長(zhǎng)方體形的性質(zhì)可知48=CD=6,AD=BC=13,AD//BC,ZC=90°,

。尸=4D-/斤=13-3=10,進(jìn)而可得出=由折疊得/D斯=/BE尸，

B'E=BE,等量代換可得出ND底￡=由等角對(duì)等邊可得出DE=。尸=10,由勾股

定理可得出CE,進(jìn)一步可得出2Z,最后根據(jù)線段的和差即可得出答案.

【詳解】(1)解：???四邊形488是長(zhǎng)方形，48=5,AD=12,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

；.4D=BC=12,ZB=90°,

???AC=>]AB2+BC2=A/52+122=13，

由折疊得NB'=/B=5,BE=B'E=n-CE,AAB'E=AB=90°,

.■.B'C=AC-AB'=13~5=8,ZEB'C=90°,

在Rt△即C中，B'E2+B'C2=CE2,

即(12-CE)2+82=C￡2

解得：CE=y

??.CE的長(zhǎng)是

(2)解:?.?四邊形是長(zhǎng)方形，AB=6,4D=13,AF=3,

AB=CD=6fAD=BC=T3,AD〃BC,ZC=90°,DF=AD-AF=13-3=10f

???NDFE=/BEF,

由折疊得NOE尸=/BE尸，B'E=BE,

???ZDFE=/DEF,

/.DE-DF=10,

在RtAEC。中，

CE=ylED?-CD。=A/102-62=8

:.B'E=BE=BC-CE=13-8=5,

:.B'D=DE-B'E=l0-5=5,

???87的長(zhǎng)是5

13.D

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，根據(jù)線段垂直平分線的

性質(zhì)得出ND,NE的長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理得出△/￡>￡是直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理

解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接NDAE,

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

■■AB的垂直平分線交8C于點(diǎn)D,A