八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊《分式與分式方程》專項(xiàng)練習(xí)

專題5.4分式與分式方程

1.（23-24八年級(jí)下.全國.課后作業(yè)）在①？b==ab，②？b=稱bz③？b=詈be，④?b=b?（-l-吟mz）中,從左到右的變形

正確的是（）

A.①②B.②④C.③④D.①②③④

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為。的整式，分式的值不變，熟

練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)分式的基本性質(zhì)依次判斷即可.

【解題過程】

解:①當(dāng)a70時(shí)，才有？=與，

bab

故該變形錯(cuò)誤；

②???分式初8力0,

b

.a_ab

?6=拓'

故該變形正確；

③當(dāng)C不。時(shí)，才有1=

bbe

故該變形錯(cuò)誤；

@V-1-m2<0,

???—1—m20

,a_a（-l-m2）

9'b~b（-l-m2y

故該變形正確；

綜上，正確的有②④.

故選:B

2.（23-24八年級(jí)下?河南鶴壁?期中）若乃y的值均擴(kuò)大到原來的5倍，則下列分式的值保持不變的是（）

A.—B.C.D.名

x-yxz（x-y）z2xz

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可.

【解題過程】

解：A、言;。言，故A不符合題意；

B、篝=熊美，故B不符合題意；

c、言等=卷券=號(hào),選項(xiàng)C符合題意；

＞翳=壽？=翳。翳故口不符合題意;

故選：C.

3.(23-24八年級(jí)下.山西臨汾.期中)當(dāng)竺=；時(shí)，代數(shù)式+)x(^2—聲)的值為()

n3\mz-mnm^+mnj

A.-6B.6C.-12D.12

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了分式的化簡求值，先計(jì)算先把分母分解因式，再利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行加法運(yùn)算,

整體代入即可得答案.

【解題過程】

解：(一一+J—)X(m2-n2)

\m￡-mnm￡+mn/

/21\

=-7---------H-----7---------x(m4-n)(m—ri)

\m(m—n)m(m+n)J

21

=------------rx(m+n)(m—n)4----；--------rx(m+n)(m—n)

m(m—n)m(m+n)

2m+2nm—n

=-------------1----------

mm

3m+n

m

3mn

=-----1—

mm

n

=3+—

m

..m_1

?—二，

n3

,n

>.—=3o

m

原式=3+3=6

故選：B

4-(2024?山東?一模)已知￡+看=清黑，則4B的值分別為()

A.3,-15B.-15,3C.-3,15D.15,-3

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了分式的加減和二元一次方程組的解法，先對(duì)等號(hào)右邊的分式進(jìn)行加減，根據(jù)等號(hào)左右兩邊相等，

得到關(guān)于B的二元一次方程組，求解即可，根據(jù)分式方程的左右兩邊相等，得到關(guān)于4、B的方程組是解

題的關(guān)鍵.

【解題過程】

角刀??4+3_-3)?3(%-2)_-3)+3(%-2)_(/+3)%-(34+6)

X—2X—3(X—2)(X—3)(X—2)(%—3)(X—2)(%—3)(%—2)(%—3)

丁一7??436x+B

乂,----1-----------T---------77-------

X—2X—3(X—2)(%—3)

?04+3)%-(3幺+6)_6X+B

(X—2)(%—3)(X—2)(%—3)

.(4+3=6

?,(-(3Z+6)=8，

解得：KU5,

故選：A.

5.(23-24八年級(jí)下.山西晉城.階段練習(xí))已知關(guān)于x的分式方程2-｝的解為正數(shù)，貝心的取值范圍

x-55-x

是()

A.k>—9B.kV—9

C.fc>一9且kW6D.fc>6且kW9

【思路點(diǎn)撥】

解分式方程==2-白，根據(jù)“解為正數(shù)”得到等>0,解不等式，求出k范圍，令X-5H0,求出增根,

x-55-x3

進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的k的值，即可求解，

本題考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解題的關(guān)鍵是：熟記分式方程的增根.

【解題過程】

解：彳=2—六

x-55-x

去分母,得：k—1=2(x—5)+x,

解得：％二等，

???解為正數(shù)，

???x>0,

解得：k>—9,

％—5W0,

?，?％W5,

3

1?k豐6,

??.k的取值范圍是k>一9且kW6,

故選：C.

6.(22-23八年級(jí)上?湖北武漢?期末)已知/一3%+1=0,則爐一5尤+尚的值為()

A.4B.5C.±4D.±5

【思路點(diǎn)撥】

將一一3%+1=0,進(jìn)行變形得到：%2=3%—1,x2—3x=—1,%+工=3,利用整體思想，將爐—5汽+與

XX2

變形為：(x+》2-4,再代值計(jì)算即可.

【解題過程】

解：VX2-3%+1=0,

Ax2=3x—1,x2—3x=—1,

—Sx4—-=x(x^—5)H--

X2X2

1

=x(3x—1—5)d——

X乙

1

=3x27—6%+—=■

1

=2x72—6%+7%2+f

X乙

1

=2(x2—3%)+/+r

xz

1

=-2+x29+—

心

=u

=(尤+y_4；

*.*x2—3x+1=0,當(dāng)％=0時(shí)，1H0,方程不成立，

0,

.??方程兩邊同除以x得：x-3+-=0,

X

?I1D

X

??.(％+()—4=32—4=5,即：式3—5%+3=5；

故選B.

7.(23-24八年級(jí)下?四川宜賓?階段練習(xí))如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長為7n(zn>l)的正方形去掉

一個(gè)邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長為(6-1)的正方形，兩塊試

驗(yàn)田的小麥都收獲了九kg.設(shè)“豐收1號(hào)”小麥和“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量分別為Pkg/n?和Qkg/n?.則

下列說法正確的是()

A?尸》QB.P=QUP〈QD.P是Q的一倍

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，

再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.先利用平均數(shù)的定義得到P=告，QP再計(jì)算P-Q

m2-l=T(m-iy

和，，從而可得到正確答案.

【解題過程】

解:根據(jù)題意得尸=+，<2=廠上，

m2-l(m-iy

p_0=」------J=啊二A也板=n-----二一

m2-l(?71-1)2(m+l)(?n-l)2(?n+l)(?n-l)2

m>1,

(m+l)(m—l)2>0,

P—QV0,

即P<Q,所以選項(xiàng)C正確；

,P_n.n_n(m-l)2_m-1

Qm2-l(m-1)2(m+l)(7n-l)nm+l，

.?.P=FQ,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.(22-23七年級(jí)下?浙江寧波?期中)已知實(shí)數(shù)a,b、c滿足a+b=ab=c,有下列結(jié)論：①若cH0,則

：一：?+：：=--②若a=3,則力+c=6；③若cW0,則(1-a)(l-b)=-+^；④若c=4,則M+b2=

5a+7ab+5b12ab

8.其中正確個(gè)數(shù)有()個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)所給條件，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行變形，利用整體代入、解方程、通分、完全平方式進(jìn)行計(jì)算即可驗(yàn)證.

【解題過程】

解：a+b=ab=c

2a—3ab+2匕2(a+b)-3ab—ccb

二①當(dāng)c*0時(shí),-2，故①結(jié)論正確;

5a+7ab+5b5(a+b)+7ab12ab

②當(dāng)a=3時(shí)，

???3+b=3b=c

解得：力=|‘c=(

6+c=|+j=6,故②結(jié)論正確；

③,?，(1—。)(1—b)—1—(a+b)+ctb—1—ab+ab=1,

1.1a+b.

a+b=^=1

??.(1—a)(l—b)=(+],故③結(jié)論正確；

④當(dāng)c=4,

則a+b=ab=4

/+/=g+爐—2ab=42—2x4=8,故④結(jié)論正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有4個(gè)；

故選：D.

9.(23-24八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí))若a=3b且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程七-七|=1的解為整數(shù)

2x+3X-5

時(shí)，所有符合條件的b的值和為()

A.277B.240C.272D.256

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了分式方程的解的含義，正確的計(jì)算與檢驗(yàn)是解本題的關(guān)鍵.把a(bǔ)=3b代入方程，再解方程可得

%=若親=18-含;，且支力-3,XK5；b彳一10,再分類討論即可得到答案.

匕+10b+102

【解題過程】

解：：三一2=1，a=36,

ZX-r3X~5

.3bb-xd

??=1J

2x+3x~5

兩邊都乘以(2%+3)(%-5),得

3b(x—5)—(2%+3)(fa-x)=(2%+3)(%—5),

ATIZ|=J18匕-15Yc195r-r3LYc

角牛付%=----=18，且％W—，%W5；bT豐-10,

匕+10匕+102

?18/7-15,3018匕-15_

..-----H——且------H5,

匕+102匕+10

解得：b中弟"5,

?；正整數(shù)b使關(guān)于％的分式方程七-二=1的解為整數(shù),

2x+3X-5

：.b+10>10,

：.b+10=13或15或39或65或195,

即b=3或5或29或55或185,

其中6=5不符合題意，

.?.3+29+55+185=272,

故選C.

10.(23-24八年級(jí)上.山東泰安?期中)若關(guān)于的不等式組|工’意無解，且關(guān)于y的分式方程守-1=

%+->—2-y

I22

々有整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的值為()

A.2或3B.2或7C.3或7D.2或3或7

【思路點(diǎn)撥】

本題考查一元一次不等式組的解，分式方程的解，先解不等式組，再解分式方程，從而確定a的取值，進(jìn)而

解決此題.

【解題過程】

解：解不等式組工；星，得di

、T22

???不等式組無解，

「?a—1N1,

a>2,

分式方程式-1=上,

方程的兩邊同時(shí)乘(y-2),

得，ay—5—y+2=3,

整理得，(a—l)y=6,

6

v=—

ci-l

???方程有整數(shù)解,

a-1=±1或±2或±3或±6,

???a=2或a=0或a=3或a=—1或a=4或a=—2或a=7或。=—5,

a>2,yW2,

???aW4,

???a=2或a=3或a=7,

故選：D.

11.(22-23八年級(jí)上?山東淄博?期末)若關(guān)于久的分式方程。+笑=三無解，則他的值為

x-2x2-4x+2——

【思路點(diǎn)撥】

分式方程無解的情況有兩種：(1)原方程存在增根；(2)原方程約去分母后，整式方程無解.

【解題過程】

解：(1)芯=一2為原方程的增根，

此時(shí)有2(x+2)+瓶尤=5(%-2),即2x(—2+2)-2爪=5x(-2-2),

解得m=10；

(2)x=2為原方程的增根，

此時(shí)有2(%+2)+mx=5(%-2),即2X(2+2)+2M=5X(2-2),

解得7H=-4.

(3)方程兩邊都乘(x+2)(x-2),

得2（x+2）+mx=5（x—2）,

化簡得：（m—3）x=—14.

當(dāng)m=3時(shí)，整式方程無解.

綜上所述，當(dāng)m=10或m=-4或m=3時(shí),原方程無解.

故答案為：10或-4或3.

12.（23-24八年級(jí)下?江蘇無錫?期中）有一項(xiàng)工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲單獨(dú)工作13天，且

乙單獨(dú)工作3天也可完成，則甲的工作效率與乙的工作效率的比是.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查的是分式方程的應(yīng)用，設(shè)甲單獨(dú)工作x天可以完成工程，以單獨(dú)工作y天可以完成工程.由甲、乙

合作10天可以完成；若甲單獨(dú)工作13天，且乙單獨(dú)工作3天也可完成，再建立方程組即可.

【解題過程】

解：設(shè)甲單獨(dú)工作x天可以完成工程，以單獨(dú)工作y天可以完成工程.

由題意得，10（工+工）="+三，

\xy）xy

.73

??———，

yx

.x_3

??一=1,

y7

.i.i_y_7

??一■—————，

xyx3

.?.甲的工作效率與乙的工作效率的比是g

故答案是：I

13.（2023?湖北荊門?一模）已知a>0,Si=」S2=—Si-l,S3=!，S4=—S3-l,S5=!，....即當(dāng)幾為于1

CL02$4

的奇數(shù)時(shí)，Sn=六；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，Sn=-Sn^-1.計(jì)算S1+S2+S3+…+S2022的結(jié)果

^n-1

為.

【思路點(diǎn)撥】

先找到規(guī)律工的值每6個(gè)一循環(huán),再求出Si+S2+S3+S4+S5+S6--1,由2022=337x6,可得S1+S2+

53+—I-S2022=一1X337=—337.

【解題過程】

解：S]=

a

52=-Si—1=工_1=_業(yè)

aa

1a

S3

a+1

S4=f—1=系一11

a+1

S5=1=-(a+1),

S&=-S5-1=(a+1)-1=a.

???S"的值每6個(gè)一循環(huán),

?「Si+S2+S3+S4+S5+$6

11+aa1,、

F-一中-fS+D+a

a

—CLa+1

-----------a+1+a

aa+1

=-1-1+1

72022=337x6,

二?Si+S2+S3+…+S2022=-1x337=-337,

故答案為：-337.

14.(23-24八年級(jí)下?江蘇揚(yáng)州?期中)計(jì)算：

2x.y.

(1)十；

2x-yy-2x

-m2n-6xy

(2)

3x5mn2，

a+3.a2+3a

(3)

1-aa2—2a+l'

(4)(含-1)-X2+2X+1'

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了分式的混合計(jì)算，分式的乘除法計(jì)算，分式的加法計(jì)算:

(1)根據(jù)同分母分式減法計(jì)算法則求解即可;

(2)根據(jù)分式乘法計(jì)算法則求解即可；

(3)把除法變成乘法后約分化簡即可；

(4)先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡即可.

【解題過程】

(1)解:工+工

2x-yy-2x

2xy

2x—y2x—y

2x—y

2x-y

=1;

(2)解：W.壬

3x57rmz

2my

=------

5n'

(3)解：—f+3a

1—a2a+l

a+3a(a+3)

1—a(a—1)2

a+3(a—1)2

--------------

1—aa(a+3)

1-Q

=-----?

a'

⑷解：(音T)+缶

2x—x—1x(x—1)

%+1(%+I)2

x—1(x+I)2

%+1%(%—1)

_x+l

X.

15.(23-24八年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí))解下列分式方程:

(1)1=上.

x+2X2-4,

(2)-+—+—+—=—

3x15x35%63%x+l

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵:

(1)先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1并檢驗(yàn)即可求得方程的解.

(2)首先根據(jù)“裂項(xiàng)”的方法化簡方程左邊，然后把分式方程化為整式方程，計(jì)算即可.解本題的關(guān)鍵在于

充分利用運(yùn)算規(guī)律計(jì)算.

【解題過程】

解：(1)去分母，得(x-2)2-(%2-4)=16,

去括號(hào)，得/-4%+4-%2+4=16,

移項(xiàng)，得—4x=16—4—4,

合并同類項(xiàng)，得-4%=8,

系數(shù)化為1,得丫=-2

檢驗(yàn)：當(dāng)x=—2時(shí)，(久+2)(x—2)=0,

二分式方程無解.

(2)-+-^+—+—

3x15x35%63xx+1

11

X,?+2+5+專)X+1

9島+裊+++專)=/

1(]1111T1

2x\3十35十57十79.X+1

/(1一以=士

181

—?一=-----

2x9x+1

4_1

9xx+11

9%=4%+4,

5x=4,

4

x=?

檢驗(yàn)：X=:是原分式方程的解，

原方程的解為x=:

16.(23-24八年級(jí)上.重慶九龍坡?期末)先化簡，再求值：(2+a-3)+平龍-2，其中。為不等式

\a+3Ja+3a+1

(CL—14—2

組？va1的整數(shù)解.

[~2~2~4

【思路點(diǎn)撥】

先通分，利用平方差公式，完全平方公式計(jì)算，然后進(jìn)行除法運(yùn)算，最后進(jìn)行減法運(yùn)算可得化簡結(jié)果，解

一元一次不等式組得整數(shù)解，根據(jù)分式有意義的條件確定a值，最后代入求解即可.

【解題過程】

解：（急+。-3）.a2+2a+la

a+3a+1

8+(a-3)(a+3)(a+l)2a

a+3a+3a+1

—_(_a_+__l_)_(_a__—__1_)____a__+__3__—___a__

a+3(a+1)2a+1

ci—1ci

a+1a+1

=-----1---

a+l'

p-1<-2

I24

解a—1<—2,得，a<—If

解一2<------，得，ct之一3.5,

24

**.-3.5<a<-1,

???整式解為-3,-2,-1,

?.?。+3工0,a+lHO,

??ciH—3,ciW—1,

/.a=—2,

當(dāng)@=-2時(shí)，原式=—（；=L

17.（23-24八年級(jí)下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）某工廠計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)24000個(gè)零件.若每天比原計(jì)劃多

生產(chǎn)50個(gè)零件，則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個(gè)零件.

（1）求原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)和規(guī)定的天數(shù)；

（2）為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)：工廠在安排原有工人按原計(jì)劃正常生產(chǎn)的同時(shí)，引進(jìn)5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線

共同參與零件生產(chǎn)，已知每組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)比20個(gè)工人原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件總

數(shù)還多20%.按此測算，恰好提前兩天完成24000個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù)，求原計(jì)劃安排的工人人數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

（1）設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個(gè),根據(jù)相等關(guān)系"原計(jì)劃生產(chǎn)24000個(gè)零件所用時(shí)間=實(shí)際生產(chǎn)（24000+300）

個(gè)零件所用的時(shí)間"可列方程^240001-°,解出x即為原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)，再代入把”即可求

XX

得規(guī)定天數(shù);

(2)設(shè)原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為y人，根據(jù)“(5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)+原計(jì)劃每天生產(chǎn)

的零件個(gè)數(shù))x(規(guī)定天數(shù)-2)=零件總數(shù)24000個(gè)阿列方程[5x20x(1+20%)x詈+4000]x(10-

2)=24000,解得y的值即為原計(jì)劃安排的工人人數(shù).

【解題過程】

(1)解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個(gè)，由題意得，

24000_24000+300

xx+50'

解得x=4000,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=4000是原方程的根，且符合題意.

規(guī)定的天數(shù)為24000+4000=6(天).

答：原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件4000個(gè)，規(guī)定的天數(shù)是6天；

(2)設(shè)原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為y人，由題意得，

[5X20X(1+20%)X羅+4000]X(6-2)=24000,

解得，y=240.

經(jīng)檢驗(yàn)，y=240是原方程的根，且符合題意.

答：原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為240人.

18.(23-24八年級(jí)下.福建泉州.期中)若4=痣.(1-含).

(1)化簡A；

(2)若b=a+2,且622,求A的最小值；

(3)若a,b為正整數(shù)，且8=吧，當(dāng)A,2均為正整數(shù)時(shí)，求a—6的值.

2a+3

【思路點(diǎn)撥】

(1)原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分即可得到結(jié)果；

(2)把匕=。+2代入A,得到4=1--，再根據(jù)b22得到a+323,然后即可求解；

a+3

(3)由題思可得/-B<3,根據(jù)A,3均為正整數(shù)，可得〃，。的值，再根據(jù)A,3均為正整數(shù)即可求解.

【解題過程】

(1)解：原式=(a+】)(aT)1

b+1a+l

a—1

b+1

⑵解：由⑴得：a=E

.a-1a+3-4

把b=a+2代入得:A=—=1一?

a+3a+3

?:b>2

a>0

:?a+323

?4,4

??—s-

a+33

?14、q41

??1---------NJ.-------

a+333

**?A的最小值為—1；

（3）VA,2均為正整數(shù)

..門a-16b+4a-16匕+6a-16(匕+1)_3

..A'B=------<-------

Z7+l2a+3Z?+l2a—2Z)+l2(a-l)一

當(dāng)=1時(shí),

/a-1t11

----=1a=一

器J解得:4

-----=1

、2a+3

當(dāng)兒8=2時(shí)

a-1'a—1日

1--二

b+12,a=8

2或墨=1，解得：｛:或

6b+4b=5b=-

2a+3、2a+3

經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解

?：a,6為正整數(shù),

.(a=7

F=5

a—6=7—5=2

19.（23-24八年級(jí)上.山東煙臺(tái)?期中）用數(shù)學(xué)的眼光觀察:

21

同學(xué)們，在學(xué)習(xí)中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)'+?與%-%有著緊密的聯(lián)系，請(qǐng)你認(rèn)真觀察等式：（x+-2

=X+2+—2,

XXX.x

21

x-=x2—2+—.

9xz

用數(shù)學(xué)的思維思考并解決如下問題:

(a+?(a-J

（1）填空:

（2）計(jì)算:

2

①若(a+，)=20,求a—1的值；

②若M+a—1=0,求aH—的值；

a

③已知用一a=1,求用+a的值.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了完全平方公式的變形求值，求一個(gè)數(shù)的平方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式

(a±b)2=a2±2ab+b2.

(1)根據(jù)題干提供的信息，利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)①先利用完全平方公式變形求出(a—=16,然后求出a—(的值即可；

②先將a?+1=0兩邊都除以a,得。一工=一1,然后求出缶+工丫=5,再求出結(jié)果即可；

a\aJ

③分兩種情況：當(dāng)工>0時(shí)，當(dāng)工<0時(shí)，求出結(jié)果即可.

aa

【解題過程】

(1)解：(a+￡f_(a_￡)2

=af+2-(。2-2+3

11

=4+2---a2+2H--

az

=4；

故答案為：4.

(2)解：@V(a-i)2=(a+^)2-4=20-4=16,

?**CL—=±4.

a-

②將a?+a-l=0兩邊都除以a,得a-工=-1.

a

，(a+￡)2=("￡)2+4=(T)2+4=5，

a+-=+V5?

a-

③當(dāng)—>0時(shí)，此時(shí)a>0,貝||一|一CL——a=l,得a———1,

alaiaa

(a+，)=(。-5)+4=(—l)2+4=5,

a+-=+V5.

a-

*.*a>0,

CLd—=V5;

a

??—+a=—\~CL=

lala

當(dāng)工VO時(shí)，此時(shí)Q<0,則目一a二—工一Q=l,得a+^=—1,

alalaa

*.*（a—5）=（"+，）—4=（-l）2—4=—3<0,故舍去，

綜上，9+a的值為

20.（23-24八年級(jí)下.江蘇鹽城?期中）【生活觀察】數(shù)學(xué)來源于生活，眾所周知“糖水加糖會(huì)變甜”.人們常

用糖水中糖與糖水的比表示糖水的甜度.

（1）若〃克糖水中含b克糖（a>b>O）,則該糖水的甜度為乂若再加入加克（機(jī)>0）糖，此時(shí)糖水的

a

甜度為，充分?jǐn)噭蚝?，感覺糖水更甜了.

由此我們可以得到一個(gè)不等式________________；（請(qǐng)用含。、6、機(jī)的式子表示）

請(qǐng)用分式的相關(guān)知識(shí)驗(yàn)證所得不等式；

【數(shù)學(xué)思考】（2）若6>a>0,m>0,（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，請(qǐng)寫出正確的式子.

【知識(shí)遷移】（3）已知甲、乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)航行，設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度分別為次、v2,水

流速度為％（%〉畛>q）>0），兩船同向航行1小時(shí)后立即返航，甲、乙兩船返航所用時(shí)間分別為h、t2,

請(qǐng)利用（1）（2）中探究的結(jié)論，比較匕、t2的大小，判斷哪條船先返回A港？并說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

（1）用糖水中糖與糖水的比表示即可；再利用作差法比較也與2的大小即可；

a+ma

（2）利用作差法比較也與2的大小即可；

a+ma

（3）分甲、乙兩船返航時(shí)為逆流航行和甲、乙兩船返航時(shí)為逆流航行兩種情況討論求解即可.

【解題過程】

解:（1）:?？颂撬泻？颂牵╝>b>0）,則該糖水的甜度為匕

a

...再加入，"克（小>0）糖，此時(shí)糖水的甜度為竺”，充分?jǐn)噭蚝?，感覺糖水更甜了.

a+m

..b+mb

*a+ma

ab+amab+bm

a(a+m)a(a+m)

m(a-b')

——~7，

a(a+m)

*.*a>Z)>0,m>0,

a—Z)>0,m(a—h)>0,a(a+m)>0,

a(a+m)

?b+7nb

??------>)

a+ma

???由此我們可以得到一個(gè)不等式寒w

b+mb

故答案為：T---->—

a+ma

(2)(1)中的不等式不成立，正確式子為：—理由如下:

a+ma

?,b+mb

*a+ma

ab+amab+bm

a(a+m)a(a+m)

m(a-b')

——~7，

a(a+m)

*.*Z)>a>0,m>0,

a—Z)<0,m(a—h)<0,a(a+m)>0,

a(a+m)

.b+mb

??右

(3)當(dāng)甲、乙兩船返航時(shí)為逆流航行時(shí),

?.飛(%>v2>v0>0),

/.V-L—v0>0,v2—v0>0,

由(2)得…<也，S>a

v

V2+VQV2b2fo2

?%+%<%

，

**V2+VOv2-v0

.%+%v丹+笠0

??內(nèi)一%V2-VQ

..._%+%._V+V

?tl—，t?一20,

Vi-v0v2-v0

ti<t2>甲船先返回A港,

當(dāng)甲、乙兩船返航時(shí)為順流航行時(shí),

vVoCVi>v2>v0>0),

/.-v0>0,v2—VQ>0,

由（1）得"〉生，3<絲,

V1+VO%V1-VOVi

?藝+%>〃2fo

,,也+為V1-VQ

?0>為一孫

‘%1+1;0V2+V0

…_V1-VO十_一%

?Li——,一

%+%v2+v0

ti>t2,乙船先返回A港,

綜上，當(dāng)甲、乙兩船返航時(shí)為逆流航行時(shí)，h<t2,甲船先返回A港，當(dāng)甲、乙兩船返航時(shí)為順流航行時(shí),

ti>t2,乙船先返回A港.

21.（23-24八年級(jí)上.湖南長沙?階段練習(xí)）定義：若分式A與分式B的差等于它們的積.即4-則

稱分式B是分式A的“可存異分式，，如左與因?yàn)閍一__1—1__11—1?所以全

x+2.__(%+1)(%+2)'x+1__x+2__(%+1)(%+2)

是W的“可存異分式”?

(1)填空：分式圭-.分式土的，，可存異分式，，（填，，是，，或，，不是，;）

(2)分式士的，，可存異分式，，是

已知分式筌|是分式A的“可存異分式”.

①求分式A的表達(dá)式;

②若整數(shù)x使得分式A的值是正整數(shù)，直接寫出分式A的值;

（4）若關(guān)于x的分式嬴事是關(guān)于x的分式品的“可存異分式”,求6n2+I9n+534的值.

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)“可存異分式”的定義進(jìn)行判斷即可;

⑵設(shè)士的“可存異分式”為N，根據(jù)定義得出=利用分式混合運(yùn)算法則求出N即可;

（3）①根據(jù)“可存異分式”的定義列式計(jì)算即可;

②根據(jù)整除的定義進(jìn)行求解即可;

（4）設(shè)關(guān)于x的分式品的“可存異分式，，為M求出M=m-1,根據(jù)關(guān)于》的分式看已是關(guān)于“的

m-1+mx+n2

11

m1n+2m=

分式號(hào)的“可存異分式”，得出］,-=2求出，67,代入求值即可.

—1+mx+九"=mx+m”+nn=

6

【解題過程】

⑴解：???二——

x+3x+2(x+2)(x+3)

工X」=--,

x+3x+2(x+2)(x+3)

?1111

??------------Hz-----X-----,

x+2x+3x+2x+3

.?.分式名不是分式名的“可存異分式”;

x+2x+3

故答案為：不是.

(2)解：設(shè)三的“可存異分式”為N,則三—NnaxN,

x-4x-4x-4

???U+1)N=三，

\x-4)x-4

：.N=—^(—+1)

x-4\x-4/

x2%—4

x—4x—4

xx—4

x—42x—4

__X

-2x-4,

故答案為：T~—-

（3）①??,分式片是分式A的“可存異分式”,

3%4-3

-2-x-+--3=A.x2%+3,

3x+3--------------3x+3

2X+3

?x(i-答I3x+3

2x4-3

3%+3

2%+33%+3—2.x—3

3%+33%+3

2%+33x+3

3%+3x

2X+3

x

②???整數(shù)X使得分式A的值是正整數(shù)，4=等=2+%

Ax=1時(shí),A=5,

x=3時(shí)，A=3,

x=-3時(shí)，A=1,

???分式A的值是1,3,5；

(4)解：設(shè)關(guān)于久的分式品的“可存異分式”為M，則:

m-1..m-1

xM,

??.M=1)

mx+n^\mx+n^/

m—1mx+n2

=------------------------------------

mx4-n2m—1+mx+n2

m-1

m-l+mx+n2

m-1

二,關(guān)于工的分式是關(guān)于的分式的“可存異分式”,

Xmx+n2

.(m—1=n+2

**Im—1+mx+n2=mx+m2+n

m—n=3

整理得:

U+n)(m—n)+n—m+l=O

li