漸開線導學案

課題漸開線與擺線學習目標1.了解圓的漸開線的參數(shù)方程,了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程.2.學習用向量知識推導運動軌跡曲線的方法和步驟重點難點學習重點：圓的漸開線的參數(shù)方程，擺線的參數(shù)方程學習難點：用向量知識推導運動軌跡曲線的方法導學過程備注知識回顧1復習：圓的參數(shù)方程探究：把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆會畫出一條曲線。這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？動點（筆尖）滿足什么幾何條件？我們可以把一條沒有彈性的繩子繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一枝鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做基圓(如右圖).也可以使用計算機在軟件中進行模擬漸開線的圖象.通過模擬中的動態(tài)過程理解漸開線的形狀和形成原理,加深對漸開線概念和含義的理解.其實質(zhì)就是直線在圓上滾動時直線上定點的軌跡.二、擺線的概念和產(chǎn)生過程圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點的軌跡.我們可以在自行車輪子上噴一個白色的印記，觀察自行車在筆直的道路上運動時形成的軌跡來理解圓的擺線，也可以借助教具或計算機軟件，觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡.圓的擺線又叫旋輪線.三、圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程對于圓的漸開線，我們以基圓圓心O為原點，一條直徑所在直線為x軸建立直角坐標系，根據(jù)動點滿足的條件和向量的有關(guān)性質(zhì)可以得到圓的漸開線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).同樣道理，根據(jù)擺線上任意一點的運動軌跡，取定直線為x軸，動點的其中一個位置為原點建立直角坐標系，根據(jù)幾何知識可得圓的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).四、圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程中的參數(shù)φ的幾何意義根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)φ是指繩子外端運動時繩子上的定點M相對于圓心的張角.如圖（1），其中的∠AOB即是角φ.顯然點M由參數(shù)φ唯一確定.在我們解決有關(guān)問題時可以適當利用其幾何意義，把點的坐標轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，使求解過程更加簡單.同樣，根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程可知其中的字母r是指定圓的半徑，它決定了擺線的某方面的大小情況.參數(shù)φ是指圓上定點相對于某一定點運動所張開的角度大小.如圖（2），根據(jù)參數(shù)的幾何意義也可以在解決問題中加以引用，簡化運算過程.當然這個幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其取值的具體情況.(1)(2)五、用參數(shù)方程描述運動規(guī)律的特點有些重要但較復雜的曲線(例如圓的漸開線)，建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既復雜又不易理解，從普通方程看不出曲線的坐標所滿足條件的含義.如圓的漸開線的普通方程，可以根據(jù)其參數(shù)方程(φ為參數(shù))消去參數(shù)φ得到根據(jù)方程畫出曲線十分費時，而利用參數(shù)方程把兩個變量x、y間接地聯(lián)系起來，常常比較容易，方程簡單明確，且畫圖也不太困難.對于參數(shù)方程，我們可以根據(jù)參數(shù)的取值求出坐標的關(guān)系，相比之下比普通方程更為直觀.所以，在研究圓的漸開線和圓的擺線時主要使用參數(shù)方程，而不去討論其普通方程.1.圓的擺線的參數(shù)方程是(φ是參數(shù)).2.圓的漸開線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)).3.圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點的軌跡.4.我們可以把一條沒有彈性的繩子繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做基圓(如圖).重難突破例1．給出某漸開線的參數(shù)方程(φ為參數(shù)),根據(jù)參數(shù)方程可以看出該漸開線的基圓半徑是_________,且當參數(shù)φ取時,對應(yīng)的曲線上的點的坐標是_______.例2求半徑為4的圓的漸開線參數(shù)方程變式訓練1當，時，求圓漸開線上對應(yīng)點A、B坐標并求出A、B間的距離。變式訓練2求圓的漸開線上當對應(yīng)的點的直角坐標。例3求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程變式訓練3求擺線與直線的交點的直角坐標當堂檢測1.關(guān)于漸開線和擺線的敘述,正確的是()A.只有圓才有漸開線B.漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開線D.對于同一個圓，如果建立的直角坐標系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同2.給出下列說法：①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程;②圓的漸開線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題;③在求圓的擺線和漸開線方程時，如果建立的坐標系原點和坐標軸選取不同，可能會得到不同的參數(shù)方程;④圓的漸開線和x軸一定有交點而且是唯一的交點.其中正確的說法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④3.已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對應(yīng)的基圓的直徑是____________，當參數(shù)φ=時對應(yīng)的曲線上的點的坐標為___________.4.我們知道關(guān)于直線y=x對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y=x對稱的曲線的參數(shù)方程為_____________-.5.已知一個圓的擺線方程是(φ為參數(shù))，求該圓