北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期

期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).

1.己知全集。={—3,—2,—1,0,1,2,3},集合A={xeZ|Y<4},則許A=()

A.{-3,3}B,{2,3}

C.{—1,0,1}D.{—3,—2,2,3}

【答案】D

【解析】依題意，A={xeZ|—2<%<2}={—1,0,1},而。={—3,—2,—1,0,1,2,3},

所以6A={—3,—2,2,3}.故選：D

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=-/=B./(x)=(x—

yjX

c./(x)=lgxD./(x)=(g)x

【答案】C

【解析】對(duì)于A,函數(shù)/'(x)=上在(0,+8)上單調(diào)遞減，A不是；

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=(x-1)2在(0,1)上單調(diào)遞減，B不是；

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=l即在(0,+8)上單調(diào)遞增，C是；

對(duì)于D,函數(shù)/(x)=(；廠在(0,+8)上單調(diào)遞減，D不是.故選：C

3.已知。=坨￥，/?=3°,，c=y/3>則（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】因?yàn)閍=lg；<lgl=0,_￡

c=6=*>301>3°=r

即“<0,c>b>l,

所以。

故選：A

i22

4.設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若尸（BIA）：］,P（A）=-,P（B）=-,則P（A|3）=

（）

13i3

A.-B.—C.-D.一

51025

【答案】B

p（AB）11

【解析】由條件概率可得尸（川A）=-^3=不=尸（A3尸?

1

所以P⑷8）=壁74

3

故選：B

5.已知。>0,b>0,則=是的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由a>0,b>0,ab=i,得a+622j拓=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=l時(shí)取等號(hào)，

反之，a>0,b>0,a+b>2,取a=2,b=l,則a〃=2wl,

所以“ab=1”是“a+b>2”的充分不必要條件.

故選：A

6.在（x-2-的展開式中，丁的系數(shù)為（）

A.-64Ci0B.64C：°C.-16C：。D.16c：0

【答案】D

【解析】因?yàn)椋▁—2）1°的通項(xiàng)公式為I；”（一2丫，

令10—r=6得r=4,所以才的系數(shù)為16C：0.

故選：D.

7.有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)零件，第1臺(tái)加工的次品率為4%,第2臺(tái)加工的次品率為

5%,將兩臺(tái)車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺(tái)，第2臺(tái)車床加工的零件占比

分別為40%,60%,現(xiàn)任取一件零件，則它是次品的概率為（）

A.0.044B.0.046C.0.050D.0.090

【答案】B

【解析】記現(xiàn)任取一件零件它是次品為事件A,

貝uP(A)=4%x40%+5%x60%=0.046.

故選：B

8.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品需經(jīng)過一，二,三，四共4道工序，現(xiàn)要從A,B,C,D,

E，尸這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作(每道工序安排一人)，如果員工

A不能安排在第四道工序，則不同的安排方法共有()

A.360種B.300種C.180種D.120種

【答案】B

【解析】從6名員工中任選4人，安排在4道工序上工作的安排方法數(shù)為A：種，

其中員工A在第四道工序工作的安排方法數(shù)為A；種，

所以不同的安排方法共有A：—A；=300(種).

故選：B

9.設(shè)函數(shù)〃尤)為定義在R上的奇函數(shù)，若曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,4)處的切線的斜率為

10.貝"(-2)+/(-2)=()

A.-16B.-6C.6D.16

【答案】C

【解析】由函數(shù)〃%)為定義在R上的奇函數(shù)，得/(-%)=-/(%),則/(-2)=-f(2)=-4,

兩邊求導(dǎo)得—/'(一%)=—/'(%),即/'(—x)=/'(%),而/'(2)=10,

則尸(-2)=廣(2)=10,

所以((—2)+〃—2)=6.故選：C

lux八

—〉0

10.已知函數(shù)/(%)={X；若方程/(元)二。恰有三個(gè)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

x2+2x,%<0

是()

A.(0,—)B.［0,—］

ee

C.(—1,—)D.(0,—)j{—1}

ee

【答案】C

2

【解析】當(dāng)x40時(shí)，f(x)=(x+l)-lf函數(shù)人幻在(3,—1］上單調(diào)遞減，在［—1,0］上單

調(diào)遞增，

當(dāng)尤>0時(shí)，/(%)=—,求導(dǎo)得廣(x)=R二，

XX

由「(%)>0,得0<x<e,由/'(x)<0,得%>e,即函數(shù)/(X)在(0,e)上遞增，在

(e,+00)上遞減，

當(dāng)％=e時(shí)，"X)取得極大值/(e)=J,且當(dāng)X>1時(shí)，/。)>。恒成立,

e

e

/(%)=〃恰有三個(gè)根，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-1,').

e

故選：C

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=lgx+jl—x的定義域是.

【答案】(0,1]

/、I--ix>0

【解析】對(duì)于函數(shù)〃x)=lgx+Jl—%,則解得

所以/(力=1改+正1的定義域?yàn)?0』.

故答案為：(0,1]

12.不等式——x—12>0的解集是.

【答案】(F,-3)D(4,M)

【解析】因?yàn)殓郇D%—12=(x—4)(x+3)>0,

所以x>4或尤<一3.

故答案為：(T?,—3)D(4,48)

13.某區(qū)高二年級(jí)4000名學(xué)生的期中檢測的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(90,152),則成績

位于[90,105]的人數(shù)大約是.

(參考數(shù)據(jù)：尸(4—b<x<4+b)a0.6827,尸(4—2b<XW〃+2b)a0.9545)

【答案】1365

【解析】令高二年級(jí)4000名學(xué)生的期中檢測的數(shù)學(xué)成績?yōu)閄，則X^(90,152),其中

〃=90,b=15,

則P(90KX<105)=P(〃KX<〃+b)=gp(〃—crKX<〃+b)

?-x0.6827=0.34135,

2

所以成績位于［90,105］的人數(shù)大約是Q34135x4000?1365.

故答案為：1365

—%2+<2,X<0

14.已知命題尸：函數(shù)/(%)=｛廠為R上的增函數(shù).能說明尸為假命題的一

\/x+b,x>0

組a,的值為,b=.

【答案】①2②0(答案不唯一，滿足均可)

【解析】函數(shù)>=-/+?在(-8,0］上單調(diào)遞增，>=?+人在(。,+8)單調(diào)遞增，

-x2+a,x<Q

則由函數(shù)/(x)=｛廠為R上的增函數(shù)，得62a,

7x+b,x>Q

即命題尸為真命題時(shí)，a<b>因此尸為假命題時(shí)，a>b,

能說明尸為假命題一組a,6的值可以為。=2,Z?=o.

故答案為：2；0

15.己知函數(shù)/(x)=|lnx|+b,關(guān)于以下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋踒,+CO)；

②當(dāng)。>b時(shí)，方程/(x)=a有兩個(gè)不等實(shí)根；

③當(dāng)Z?=0,a>0時(shí)，設(shè)方程/(x)=a的兩個(gè)根為冉，巧，則為+々為定值；

④當(dāng)Z?=0,a>0時(shí)，設(shè)方程/(x+l)=a的兩個(gè)根為X］,々，則=。.

則所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】①②④

【解析】對(duì)于①，函數(shù)/(x)=|lnx|+b,由于|lnx|20,故

因此函數(shù)/⑴的值域?yàn)闅v,+8),①正確；

對(duì)于②，當(dāng)a>b時(shí)，方程/(x)=ao|lnx|=a—b,解得％=武-"或％=0"4，

而0<e""<l<e"J方程/(x)=。有兩個(gè)不等實(shí)根，②正確；

對(duì)于③，當(dāng)a>0時(shí)，|Inx|=a,不妨令%=e-",々=e"，則土<1<%2，

則%+%=e'+e"=工+e°,由于y=f+1在(1,+s)上單調(diào)遞增，

e"t

故石+%2隨e"的增大而增大，③錯(cuò)誤；

u

對(duì)于④，當(dāng)a>0時(shí)，|ln(x+l)|=a,不妨令玉=片"-1,x2=e-1,

fl

則XjX2+xr+x2=(芭+l)(x2+1)-1=e-°-e-1=0,④正確，

所以所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②④.

故答案為：①②④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)y(x)="+"x+'(a,6eR).

x

(1)若函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)。=2,Z?=l時(shí)，求函數(shù)人>)在區(qū)間(0,+8)上的最小值.

解：⑴函數(shù)/(X)='+:+°的定義域?yàn)椴凡坟S0},

由于廣⑴為奇函數(shù)，則對(duì)于定義域內(nèi)任意無，都有/(-x)=-/(x)成立，

即(-尤)2+a(-x)+6=_f+方+",即2依=o恒成立，而當(dāng)xwO時(shí)，

-XX

所以a=0.

(2)當(dāng)a=2,/7=1時(shí)，f(x)="+2"+1=%+—+2,

xx

由x>0,f(x)=x+-+2>2.x--+2=4,

XvX

當(dāng)且僅當(dāng)》=,，即X=1時(shí)取等號(hào)，

X

所以，當(dāng)％=1時(shí)函數(shù)〃無)取得最小值為4.

17.某班級(jí)的所有學(xué)生中，課前是否預(yù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的人數(shù)情況如下表所示.

男生女生

預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容1217

沒預(yù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容65

現(xiàn)從該班所有學(xué)生中隨機(jī)抽取一人：

(1)求抽到預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容的概率；

(2)若抽到的同學(xué)是男生，求他預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容的概率;

(3)試判斷“抽到的同學(xué)是男生”與“抽到的同學(xué)預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容”是否相互獨(dú)立，并說明理

由.

解：(1)設(shè)抽到預(yù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的同學(xué)為事件4抽到的同學(xué)是男生為事件2,

由數(shù)表知，該班共有40名同學(xué)，預(yù)習(xí)了本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的學(xué)生有29人，

29

則P(A)=啟.

40

/、/、n(AB\122

(2)依題意，〃(3)=18,〃(AB)=12,因此P(A|3)=告＜=「=7，

n［B)183

所以抽到的同學(xué)是男生，他預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容的概率為工.

3

(3)由數(shù)表知，P(A)=W29，P(B)=1黑8=9=，尸(明1=2==慨3，P(AB)^P(A)P(B),

4040204010

所以“抽到同學(xué)是男生''與"抽到的同學(xué)預(yù)習(xí)了本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容”不相互獨(dú)立.

18.為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、好

讀書”的號(hào)召，并開展閱讀活動(dòng).開學(xué)后，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，調(diào)查這100名學(xué)生

的假期日均閱讀時(shí)間(單位：分鐘)，得到了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.0150

0.0125

0.0100

0.0075

0.0050

O20406080100120時(shí)間/分鐘

(1)若該校共有2000名同學(xué)，試估計(jì)該校假期日均閱讀時(shí)間在［20,60)內(nèi)的人數(shù)；

(2)開學(xué)后，學(xué)校從日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取

了6名學(xué)生作為代表進(jìn)行國旗下演講.若演講安排在第二，三，四周(每周兩人，不重

復(fù))進(jìn)行.求第二周演講的2名學(xué)生至少有一名同學(xué)的日均閱讀時(shí)間處于［60,80)的概

率；

(3)用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中日均閱讀時(shí)間不低于60

分鐘人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

解：⑴由頻率分布直方圖知,各組頻率依次為：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

則100人的樣本中假期日均閱讀時(shí)間［20,60)的頻率為0.15+0.25=0.4,

估計(jì)該校學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間在［20,60)內(nèi)的頻率為0.4.

所以估計(jì)該校假期日均閱讀時(shí)間在［20,60)內(nèi)的人數(shù)為2000x0.4=800人.

(2)閱讀時(shí)間在［60,80),［80,100),［100,120］的頻率依次為：0.3,0.2,0.1,

則在［60,80),［80,100),［100,120］抽取的人數(shù)依次為3人，2人，1人，

設(shè)第二周演講的2名學(xué)生至少有一名同學(xué)的日均閱讀時(shí)間處于［60,80)為事件A,

……、C；C；+C鴻9+34

所以尸(A)=3c23=年二丁

(3)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則此人假期日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的概率為

0.3+0.2+0.1=0.6,

隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3，得X~5(3,0.6),

則P(X=0)=C;X0.43X0.6°=0.064,

P(X=1)=C；x0.42x0.6i=0.288,

P(X=2)=C；x0.41x0.62=0.432,

P(X=3)=C|x0.4°x0.63=0.216,

所以X的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320.216

數(shù)學(xué)期望為E(X)=3x0.6=1.8.

19.某農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商計(jì)劃分別在甲、乙兩個(gè)市場銷售某種農(nóng)產(chǎn)品(兩個(gè)市場的銷售互不影

響)，為了了解該種農(nóng)產(chǎn)品的銷售情況，現(xiàn)分別調(diào)查了該農(nóng)產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)市場過去10

個(gè)銷售周期內(nèi)的銷售情況，得下表：

銷售量

銷售周期個(gè)數(shù)3噸4噸5噸

市場

甲343

乙253

(1)從過去10個(gè)銷售周期中隨機(jī)抽取一個(gè)銷售周期，求甲市場銷售量為4噸的概率；

(2)以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率.設(shè)X(單位：噸)表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)

市場的總銷售量，求隨機(jī)變量X概率分布列；

(3)在(2)的條件下，設(shè)該經(jīng)銷商計(jì)劃在下個(gè)銷售周期購進(jìn)〃噸該產(chǎn)品，在甲、乙兩個(gè)

市場同時(shí)銷售，已知該產(chǎn)品每售出1噸獲利1000元，未售出的產(chǎn)品降價(jià)處理，每噸虧損

200元.以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷“=7與”=8應(yīng)選用哪一個(gè).

解：(1)設(shè)甲市場銷售量為4噸的事件為A,則P(A)=0.4.

(2)設(shè)甲市場銷售量為X噸的概率為P(x),乙市場銷售量為y噸的概率為p(y),

則由題意得P(x=3)=0.3,P(x=4)=0.4,P(x=5)=0.3；

p(y=3)=0.2,p(y=4)=o.5,p(y=5)=o.3,

設(shè)兩個(gè)市場總需求量為X的概率為P(X),X所有可能的取值為6,7,8,9,10,

尸(X=6)=P(x=3,y=3)=P(x=3)P(y=3)=0.3x0.2=0.06,

P(X=7)=P(x=3,y=4)+P(x=4,y=3)=0.3x0.5+0.4x0.2=0.23,

p(X=8)=P(x=3,y=5)+P(x=4,y=4)+P(x=5,y=3)

=03x0.3+0.4x0.5+0.3x0.2=0.35，

p(X=9)=P(x=4,y=5)+P(x=5,y=4)=0.4x0.3+0.3x0.5=0.27,

P(X=10)=P(x=5,y=5)=0.3x0.3=0.09,

所以X的分布列如下表：

X678910

P0.060.230.350.270.09

(3)由⑵知，尸(X=6)=0.06,尸(X27)=0.94,

當(dāng)”=7時(shí)，銷售利潤4，當(dāng)X=6時(shí)，7；=1000x6-(7-6)x200=5800,當(dāng)X27時(shí),

T2=1000X7=7000,

因此7；的分布列為：

XX=6X>7

458007000

P0.060.94

則￡口)=5800x0.06+7000x0.94=6928元；

當(dāng)〃=8時(shí)，尸(X=6)=0.06,P(X=7)=0.23,P(X>8)=0.71,

銷售利潤72，

當(dāng)X=6時(shí)，T2=1000X6-(8-6)X200=5600,

當(dāng)X=7時(shí)，T2=1000X7-(8-7)X200=6800,

當(dāng)X?8時(shí)，T2=1000X8=8000,

因此/的分布列為:

XX=6X=7X>8

T2560068008000

P0.060.230.71

則￡(5)=5600x0.06+6800x0.23+8000x0.71=7850元；

因?yàn)?850>6928,所以應(yīng)選”=8.

20.己知函數(shù)/(%)=2%3—3/+x.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(%,/(%))處的切線的斜率為1，求曲線y=/(x)在點(diǎn)

(%,/(%))處的切線方程；

(2)定義：若Vxe[a,可,均有/(x)Wg(x),則稱函數(shù)g(x)為函數(shù)/(x)的控制函

數(shù).

①Vxq。/],試問g(x)=*是否為函數(shù)/(%)=2/_3/+%的“控制函數(shù)”？并說明理

由；

②Vxe[0,3],若g(x)=x+〃z為函數(shù)/(%)=2%3_3*2+%的“控制函數(shù)”，求實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍.

解：⑴/,(x)=6x2-6%+1,所以/〈40)=6*一6%+1=1,

解得％=0或%=1,可得切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),或(1,0),

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為>=%,

曲線丁=/(x)在點(diǎn)(L0)處的切線方程為丁=xT；

(2)①是“控制函數(shù)”，理由如下，

由/(x)<g(x)#2x3-3x2+x<x,

可得2/_3/40,X2(2X-3)<0,

因?yàn)閂xe[0,l]時(shí),x2(2%—3)。。恒成立,

即2x3-3x?+x<x恒成立，

所以函數(shù)g(x)為函數(shù)〃尤)的“控制函數(shù)”；

②若g(x)=x+〃z為函數(shù)/(%)=2/_3/+》的“控制函數(shù)”，

則X/尤e[0,3],/(x)=2x3-3%?+%wg(x)=%+加恒成立，

即Vxe[0,3],2/—3必〈根恒成立，

令力(九)=2/-3*,XG[0,3]，

K(x)=6x2-6x=6x(%-1),

當(dāng)0<x<l時(shí)，〃(x)<0,當(dāng)l<x<3時(shí)，//(x)>0,

/i(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

所以/Z(%)在x=l有極小值，A(0)=0,A(3)=2X33-3X32=27,

所以加227.

e'Ta

21.已知函數(shù)/(%)=---+^lnx+—.

xx

(1)當(dāng)〃=e時(shí)，求了(幻的最小值；

(2)求了(%)的單調(diào)區(qū)間;

(3)寫出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(直接寫出結(jié)果).

解：(1)函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)?。,+8),

e'Te

當(dāng)Q=e時(shí)，于(x)=----FeInxH—，

XX

求導(dǎo)得((乃=e-(：T)+￡_鼻=—y1),

XXXX

而e”T+e>0,則當(dāng)尤>1時(shí)，f'M>0,當(dāng)0<x<l時(shí)，f\x)<0,

因此函數(shù)〃無)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí)，Ax)取得最小值為/(D=l+e.

(2)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)?0,+8)，求導(dǎo)得/'(x)=e"(D+--4=?'+?(xT),

XXXX

當(dāng)a2。時(shí)，e*T+Q>0，則當(dāng)％〉1時(shí)，>0,當(dāng)OVJTVI時(shí)，/r(x)<0,

因此函數(shù)人幻在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，令尸(X)=ea)(xl)=0,解得西=1,x2=l+ln(-a),

①當(dāng)1+ln(-a)<0,即一,Va<0時(shí)，由f\x)<0,得0<x<l,由/'(x)>0,得x>1,

e

因此函數(shù)/(尤)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

②