微專題6　切線與公切線問題 高三數(shù)學(xué)

板塊一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)微專題6切線與公切線問題高考定位曲線的切線與公切線問題是高考考查的熱點(diǎn)，一般單獨(dú)考查，難度較小，也可與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值綜合考查，難度較大.【

真題體驗(yàn)

】√2.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝ex＋x在點(diǎn)(0，1)處的切線也是曲線y＝ln(x＋1)＋a的切線，則a＝________.ln23.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是______________________.(－∞，－4)∪(0，＋∞)4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為________，

___________.精準(zhǔn)強(qiáng)化練熱點(diǎn)一曲線的切線熱點(diǎn)二曲線的公切線熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一曲線的切線導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.(2)曲線在某點(diǎn)的切線與曲線過某點(diǎn)的切線不同.(3)切點(diǎn)既在切線上，又在曲線上.例1√由y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，et－2＋1)，可得切線方程為y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，把原點(diǎn)(0，0)代入切線方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切線方程為y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.√求過某點(diǎn)的切線方程時(shí)(不論這個(gè)點(diǎn)在不在曲線上，這個(gè)點(diǎn)都不一定是切點(diǎn))，應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)的“一拖三”(切點(diǎn)的橫坐標(biāo)與斜率相關(guān)、切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上)求切線方程.規(guī)律方法(1)已知曲線y＝xlnx＋ae－x在點(diǎn)x＝1處的切線方程為2x－y＋b＝0，則b＝A.－1 B.－2 C.－3 D.0訓(xùn)練1√2x－y－1＝0熱點(diǎn)二曲線的公切線導(dǎo)數(shù)中的公切線問題，重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題，主要考查消元、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).例2√考向1切點(diǎn)相同的公切線問題√(2)已知曲線f(x)＝x2－2m，g(x)＝3lnx－x，若y＝f(x)與y＝g(x)在公共點(diǎn)處的切線相同，則m＝A.－3 B.1 C.2 D.5設(shè)曲線f(x)＝x2－2m和g(x)＝3lnx－x的公共點(diǎn)為(x0，y0)，例3√因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝lnx與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以f(x)＝lnx與g(x)互為反函數(shù)，所以g(x)＝ex，則g′(x)＝ex.考向2切點(diǎn)不同的公切線問題由h(x)＝ex＋1－1，得h′(x)＝ex＋1，設(shè)直線l與函數(shù)g(x)＝ex的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，ex1)，與函數(shù)h(x)＝ex＋1－1的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x2，ex2＋1－1)，則直線l的斜率k＝ex1＝ex2＋1，故x1＝x2＋1，顯然x1≠x2，

√(2)(2024·湖北名校聯(lián)考)若直線x＋y＋m＝0是曲線f(x)＝x3＋nx－52與曲線g(x)＝x2－3lnx的公切線，則m－n＝A.－30 B.－25 C.26

D.28求兩條曲線的公切線，如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會(huì)比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.規(guī)律方法訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，則f(x)和g(x)的公切線的條數(shù)為A.3 B.2 C.1

D.0訓(xùn)練2√(2)已知曲線y＝alnx和曲線y＝x2有唯一公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處有相同的切線l，則直線l的方程為__________________________.【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√1.(2024·開封模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x，則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為 A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0 C.x·ln2－y－1＝0 D.x·ln2－y＋1＝0函數(shù)f(x)＝2x，求導(dǎo)得f′(x)＝2xln2，則f′(0)＝ln2，而f(0)＝1，所以所求切線方程為y－1＝ln2·(x－0)，即x·ln2－y＋1＝0.√2.(2024·茂名模擬)曲線f(x)＝ex＋ax在點(diǎn)(0，1)處的切線與直線y＝2x平行，則a＝ A.－2 B.－1 C.1

D.2因?yàn)榍€f(x)＝ex＋ax在點(diǎn)(0，1)處的切線與直線y＝2x平行，故曲線f(x)＝ex＋ax在點(diǎn)(0，1)處的切線的斜率為2，因?yàn)閒′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1.√設(shè)切點(diǎn)為(x0，lnx0)，√√5.已知直線l為曲線y＝x＋1＋lnx在A(1，2)處的切線，若l與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1也相切，則a等于 A.0 B.－4 C.4

D.0或4√√√則兩切點(diǎn)重合，即f(a)＝g(a)，9.已知函數(shù)f(x)＝ex，則下列結(jié)論正確的是A.曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1B.曲線y＝f(x)的切線斜率可以是－1C.過點(diǎn)(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條D.過點(diǎn)(0，0)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有2條√√對(duì)于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1，故A正確；對(duì)于B，令f′(x)＝ex＝－1，無解，所以曲線y＝f(x)的切線斜率不可以是－1，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)(0，1)在曲線上，所以點(diǎn)(0，1)是切點(diǎn)，則f′(0)＝1，所以切線方程為y－1＝x，即y＝x＋1，所以過點(diǎn)(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)(0，0)不在曲線上，所以設(shè)切點(diǎn)(x0，ex0)，則切線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，因?yàn)辄c(diǎn)(0，0)在切線上，

所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以過點(diǎn)(0，0)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條，故D錯(cuò)誤.10.(2024·溫州適考)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，使得f(x)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函數(shù)y＝f(x)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是 A.f(x)＝sinx＋cosx

B.f(x)＝sin(cosx) C.f(x)＝x＋sinx

D.f(x)＝x2＋sinx√√√當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin1，直線y＝sin1是函數(shù)圖象的切線，且過點(diǎn)(2kπ，sin1)，k∈Z，故B正確；√√√顯然當(dāng)m∈(－4e－2，0)時(shí)，g(x)＝－m有三個(gè)解，即有三條切線，n＝3；當(dāng)m＝0時(shí)，g(x)＝－m有一個(gè)解，即有且僅有一條切線，n＝1；當(dāng)m>0時(shí)，g(x)＝－m無解，即不存在切線，不符合題意；當(dāng)m＝－4e－2時(shí)，g(x)＝－m有兩個(gè)解，即有兩條切線，n＝2；當(dāng)m<－4e－2時(shí)，g(x)＝－m有一個(gè)解，即有一條切線，n＝1；所以A，B，D正確，C錯(cuò)誤.12.過點(diǎn)(－1，0)作曲線y＝x3－x的切線，寫出一條切線方程為___________________________. 2x－y＋2＝0(答案不唯一)214.若函數(shù)f(x)＝lnx＋ax與函數(shù)g(x)＝x2的圖象有兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.(－∞，1)依題意知y＝a與y＝2x－ex2－1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).令φ(x)＝2x－ex2－1，∵φ′(x)＝2－2xex2－1，令φ′(x)＝