微專題7　導(dǎo)數(shù)與不等式的證明 高三數(shù)學(xué)

板塊一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)微專題7導(dǎo)數(shù)與不等式的證明高考定位導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯命題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題中，常用的方法有構(gòu)造函數(shù)、適當(dāng)換元、合理放縮、利用最值、不等式及其性質(zhì)等.【

難點(diǎn)突破

】(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；f′(x)＝aex－1，x∈R.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，得x>－lna；令f′(x)<0，得x<－lna，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增.高考真題法一由(1)得當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值為f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna.已知函數(shù)f(x)＝ex＋exlnx(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).求證：f(x)≥ex2.樣題1樣題2

樣題3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題的基本方法(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同結(jié)構(gòu)變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).規(guī)律方法(2024·長(zhǎng)春調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).求證：(1)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>x；令g(x)＝f(x)－x＝ex－1－x，則g′(x)＝ex－1，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0)＝0，即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>x成立.訓(xùn)練(2)ex－2>lnx.由(1)可得當(dāng)x>0時(shí)，ex>1＋x.要證ex－2>lnx，可證ex－2>x－1≥lnx，即證x－1－lnx≥0.【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】3.(2024·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a≤2時(shí)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<ex－1恒成立.法一因?yàn)閍≤2，所以當(dāng)x>1時(shí)，ex－1－f(x)＝ex－1－a(x－1)＋lnx－1≥ex－1－2x＋lnx＋1.令g(x)＝ex－1－2x＋lnx＋1，則只需證當(dāng)x>1時(shí)g(x)>0.法二設(shè)g(x)＝a(x－1)－lnx＋1－ex－1，只需證當(dāng)x>1時(shí)g(x)<0即可.4.(2024·昆明模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋1－x.(1)若f(x)≤0，求實(shí)數(shù)a的值；①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)>f(1)＝0，不合題意；②當(dāng)0<a<1時(shí)，由f′(x)>0得x∈(0，a)，則f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增；由f′(x)<0得x∈(a，＋∞)，則f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(a)>f(1)＝0，不合題意；

③當(dāng)a＝1時(shí)，由f′(x)>0得，x∈(0，1)，則f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；由f′(x)<0得，x∈(1，＋∞)，則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以對(duì)于任意的x∈(0，＋∞)，f(x)≤f(1)＝0，符合題意；④當(dāng)a>1時(shí)，由f′(x)>0得，x∈(0，a)，則f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增；由f′(x)<0得，x∈(a，＋∞)，則f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(a)>f(1)＝