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板塊一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)微專題8不等式恒(能)成立問題高考定位利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立或有解問題,是高考的熱點(diǎn)之一,以解答題的形式出現(xiàn),多為壓軸題,難度較大.【
難點(diǎn)突破
】(2024·全國甲卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.高考真題法一
f′(x)=(x-1)(ex-a),①當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)閤≥2,所以x-1>0,ex-a>0,所以f′(x)>0,則f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)≥f(2)=0成立.②當(dāng)0<a≤e2時(shí),f′(x)≥0,所以f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(2)=0成立.樣題1③當(dāng)a>e2時(shí),當(dāng)x∈(2,lna)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(2,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)≥0不恒成立,不符合題意.綜上,a的取值范圍是(-∞,e2].法二當(dāng)x≥2時(shí),f(x)≥0恒成立,樣題2已知函數(shù)f(x)=x(lnx+1).若f(x)≥-x2+(m+1)x-2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.f(x)≥-x2+(m+1)x-2,即mx≤xlnx+x2+2.
樣題3令h′(x)=0,得x=1或x=-2(舍去).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.故h(x)min=h(1)=3,所以m≤3,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,3].1.由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略 (1)求最值法:將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題. (2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離出來,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式,通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值,即得參數(shù)的范圍.2.不等式有解問題可類比恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,要理解兩類問題的差別.規(guī)律方法訓(xùn)練【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】2.(2024·南京調(diào)研改編)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)·(ex-e),g(x)=ex-ax-1,其中a∈R.若?x2∈[0,+∞),都?x1∈R,使得不等式f(x1)≤g(x2)成立,求a的取值范圍.由題意,f(x)=(x-1)(ex-e),x∈R,當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,ex-e<0,∴f(x)>0,當(dāng)x≥1時(shí),x-1≥0,ex-e≥0,∴f(x)≥0,∴f(x)≥0恒成立,且f(x)min=f(1)=0.∵?x2∈[0,+∞),都?x1∈R,使得不等式f(x1)≤g(x2)成立,∴?x2∈[0,+∞),f(x1)min≤g(x2)恒成立,∴?x2∈[0,+∞),g(x2)≥0恒成立,即?x∈[0,+∞),g(x)=ex-ax-1≥0恒成立.法一g′(x)=ex-a,易知g′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x≥0時(shí),g′(x)≥g′(0)=1-a,①當(dāng)1-a≥0,即a≤1時(shí),g′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴此時(shí)g(x)在[0,+∞)上的最小值為g(0)=0,∴a≤1滿足題意;②當(dāng)1-a<0,即a>1時(shí),令g′(x)=ex-a=0,得x=lna,∴當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),g′(x)>0,∴g(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,而g(0)=0,∴此時(shí)g(x)在[0,+∞)上的最小值為g(lna)<0,∴a>1不滿足題意.綜合①②可得,a的取值范圍為(-∞,1].法二當(dāng)x=0時(shí),很顯然符合題意,3.已知函數(shù)f(x)=ex+(1-a)x-lna·lnx(a>0).(1)若a=e,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若不等式f(x)<1在區(qū)間(1,+∞)上有解,有實(shí)
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