微專題8　不等式恒(能)成立問題 高三數學

板塊一函數與導數微專題8不等式恒(能)成立問題高考定位利用導數解決不等式恒成立或有解問題，是高考的熱點之一，以解答題的形式出現，多為壓軸題，難度較大.【

難點突破

】(2024·全國甲卷節(jié)選)已知函數f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.高考真題法一

f′(x)＝(x－1)(ex－a)，①當a≤0時，因為x≥2，所以x－1＞0，ex－a＞0，所以f′(x)＞0，則f(x)在[2，＋∞)上單調遞增，f(x)≥f(2)＝0成立.②當0＜a≤e2時，f′(x)≥0，所以f(x)在[2，＋∞)上單調遞增，所以f(x)≥f(2)＝0成立.樣題1③當a＞e2時，當x∈(2，lna)時，f′(x)＜0；當x∈(lna，＋∞)時，f′(x)＞0，所以f(x)在(2，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增，f(x)≥0不恒成立，不符合題意.綜上，a的取值范圍是(－∞，e2].法二當x≥2時，f(x)≥0恒成立，樣題2已知函數f(x)＝x(lnx＋1).若f(x)≥－x2＋(m＋1)x－2恒成立，求實數m的取值范圍.f(x)≥－x2＋(m＋1)x－2，即mx≤xlnx＋x2＋2.

樣題3令h′(x)＝0，得x＝1或x＝－2(舍去).當x∈(0，1)時，h′(x)<0，h(x)在(0，1)上單調遞減；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)上單調遞增.故h(x)min＝h(1)＝3，所以m≤3，即實數m的取值范圍為(－∞，3].1.由不等式恒成立求參數的取值范圍問題的策略 (1)求最值法：將恒成立問題轉化為利用導數求函數的最值問題. (2)分離參數法：將參數分離出來，進而轉化為a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通過導數的應用求出f(x)的最值，即得參數的范圍.2.不等式有解問題可類比恒成立問題進行轉化，要理解兩類問題的差別.規(guī)律方法訓練【精準強化練】2.(2024·南京調研改編)設函數f(x)＝(x－1)·(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R.若?x2∈[0，＋∞)，都?x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的取值范圍.由題意，f(x)＝(x－1)(ex－e)，x∈R，當x<1時，x－1<0，ex－e<0，∴f(x)>0，當x≥1時，x－1≥0，ex－e≥0，∴f(x)≥0，∴f(x)≥0恒成立，且f(x)min＝f(1)＝0.∵?x2∈[0，＋∞)，都?x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，∴?x2∈[0，＋∞)，f(x1)min≤g(x2)恒成立，∴?x2∈[0，＋∞)，g(x2)≥0恒成立，即?x∈[0，＋∞)，g(x)＝ex－ax－1≥0恒成立.法一g′(x)＝ex－a，易知g′(x)在[0，＋∞)上單調遞增，∴當x≥0時，g′(x)≥g′(0)＝1－a，①當1－a≥0，即a≤1時，g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴g(x)在[0，＋∞)上單調遞增，∴此時g(x)在[0，＋∞)上的最小值為g(0)＝0，∴a≤1滿足題意；②當1－a<0，即a>1時，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，∴當x∈(0，lna)時，g′(x)<0；當x∈(lna，＋∞)時，g′(x)>0，∴g(x)在(0，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增，而g(0)＝0，∴此時g(x)在[0，＋∞)上的最小值為g(lna)<0，∴a>1不滿足題意.綜合①②可得，a的取值范圍為(－∞，1].法二當x＝0時，很顯然符合題意，3.已知函數f(x)＝ex＋(1－a)x－lna·lnx(a>0).(1)若a＝e，求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若不等式f(x)<1在區(qū)間(1，＋∞)上有解，有實