天津市濱海新區(qū)田家炳中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)含解析

天津市濱海新區(qū)田家炳中學(xué)20232024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（每題5分，共30分）1.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{2x^23x+1}{x1}\)，則\(f(x)\)的定義域為（）。A.\(x\neq1\)B.\(x\neq0\)C.\(x\neq2\)D.\(x\neq1\)2.已知集合\(A=\{x|x^25x+6<0\}\)，則集合\(A\)的元素個數(shù)是（）。A.2B.3C.4D.53.已知復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)，則\(|z|^2\)的值為（）。A.9B.16C.25D.364.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=2n^2+3n\)，則數(shù)列的第5項\(a_5\)為（）。A.13B.15C.17D.195.已知\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，且\(\theta\)在第二象限，則\(\cos\theta\)的值為（）。A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)6.已知直線\(l:3x+4y10=0\)與圓\(x^2+y^2=25\)相交，則直線被圓截得的弦長為（）。A.8B.10C.12D.147.已知函數(shù)\(g(x)=\ln(x^2+1)\)，則\(g(x)\)在區(qū)間\([0,+\infty)\)上的單調(diào)性是（）。A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增8.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec=(4,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為（）。A.5B.7C.9D.119.已知數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的通項公式為\(b_n=2^n1\)，則數(shù)列的前\(n\)項和\(T_n\)為（）。A.\(2^nn\)B.\(2^n+n\)C.\(2^{n+1}n1\)D.\(2^{n+1}n+1\)10.已知函數(shù)\(h(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，則\(h(x)\)的值域為（）。A.\((0,1)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((0,1]\)D.\([0,1]\)二、填空題（每題5分，共20分）11.函數(shù)\(f(x)=x^33x\)的極值點為______。12.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)的首項\(c_1=2\)，公比\(q=3\)，則數(shù)列的第4項\(c_4\)為______。13.已知\(\tan\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\sin2\alpha\)的值為______。14.已知直線\(l:y=mx+b\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切，則\(m^2+b^2\)的值為______。三、解答題（共100分）15.（10分）已知函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^24x+3}\)，（1）求\(f(x)\)的定義域；（2）討論\(f(x)\)在區(qū)間\([0,+\infty)\)上的單調(diào)性。16.（12分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+2n\)，（1）求\(a_n\)的通項公式；（2）證明數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列。17.（14分）已知\(\sin\alpha+\sin\beta=\frac{3}{4}\)，\(\cos\alpha+\cos\beta=\frac{1}{2}\)，求\(\sin(\alpha\beta)\)的值。18.（16分）已知函數(shù)\(g(x)=x^33x^2+2x\)，（1）求\(g(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明\(g(x)\)在\(x=1\)處取得極大值。19.（18分）已知圓\(C:x^2+y^2=4\)，直線\(l:y=mx+1\)與圓\(C\)相交于\(A\)和\(B\)兩點，（1）求直線\(l\)的斜率\(m\)的取值范圍；（2）求\(AB\)的長度。20.（20分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的通項公式為\(b_n=\frac{n}{2^n}\)，（1）求\(b_n\)的前\(n\)項和\(T_n\)；（2）證明\(T_n<2\)對所有正整數(shù)\(n\)成立。選擇題第6題解析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\(x^2+y^2=25\)可知，圓心為\((0,0)\)，半徑為5。直線\(l:3x+4y10=0\)到圓心的距離為\[d=\frac{|3\cdot0+4\cdot010|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2\]弦長公式為\(2\sqrt{r^2d^2}=2\sqrt{5^22^2}=2\sqrt{21}\)。由于答案選項中沒有\(zhòng)(2\sqrt{21}\)，需要進(jìn)一步化簡或調(diào)整題目條件。解答題第15題解析：（1）函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^24x+3}\)的定義域是使根號內(nèi)非負(fù)的\(x\)的集合，即\[x^24x+3\geq0\]解得\(x\leq1\)或\(x\geq3\)。（2）求導(dǎo)得\(f'(x)=\frac{x2}{\sqrt{x^24x+3}}\)。分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性。選擇題答案：1.A.x≠12.B.33.B.364.C.175.B.√456.B.2√217.C.38.D.09.A.310.B.4解答題答案：11.(1)函數(shù)f(x)=x^24x+3的定義域是x∈(∞,1)∪(3,+∞)。(2)f'(x)=2x4，令f'(x)=0得x=2，因此函數(shù)在x=2處取得極小值1。12.(1)an=2n1(2)Sn=n^213.(1)解得x=2或x=3，因此直線l與圓C相交于兩點。(2)弦長為2√2114.(1)解得a=2,b=3(2)2x3y=615.(1)Tn=1+1/2+1/3++1/n(2)Tn<21.函數(shù)的定義域和值域2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值3