2024年高考數(shù)學(xué)高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編專(zhuān)題13計(jì)數(shù)原理理含解析

PAGE1專(zhuān)題13計(jì)數(shù)原理1．【2024年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】（1+2x2）（1+x）4的綻開(kāi)式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用綻開(kāi)式通項(xiàng)公式求綻開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)．2．【2024年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是__________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是__________．【答案】【解析】由題意，的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為；若綻開(kāi)式的系數(shù)為有理數(shù)，則，有共5個(gè)項(xiàng)．故答案為：，．【名師點(diǎn)睛】此類(lèi)問(wèn)題解法比較明確，首要的是要精確記憶通項(xiàng)公式，特殊是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計(jì)算要細(xì)心，確保結(jié)果正確．3．【2024年高考江蘇卷理數(shù)】設(shè)．已知．（1）求n的值；（2）設(shè)，其中，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，解得．?）由（1）知，．．解法一：因?yàn)?，所以，從而．解法二：．因?yàn)?，所以．因此．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查分析問(wèn)題實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力．4．【山東省鄆城一中等學(xué)校2025屆高三第三次模擬考試】已知二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5，則的系數(shù)為A．14 B． C．240 D．【答案】C【解析】二項(xiàng)綻開(kāi)式的第項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，由綻開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5，可得：．即，解得或（舍去）．所以，令，解得，所以的系數(shù)為．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其綻開(kāi)式，考查了方程思想及計(jì)算實(shí)力，還考查了分析實(shí)力，屬于中檔題．5．【廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2025屆高三適應(yīng)性考試（6月）】已知的綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為A． B． C． D．【答案】D【解析】令1，得綻開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，，，，所求綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為的綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)和，綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得；令，無(wú)整數(shù)解，∴綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)綻開(kāi)式定理的通項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)和，屬于中檔題．二項(xiàng)綻開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)綻開(kāi)式定理的應(yīng)用．6．【山東省淄博市2025屆部分學(xué)校高三階段性診斷考試試題數(shù)學(xué)】綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為A． B． C． D．【答案】D【解析】綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，∴所求常數(shù)項(xiàng)為：，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中求解指定項(xiàng)系數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．7．【河南省濮陽(yáng)市2025屆高三5月模擬考試】支配，，，，，，共6名義工照看甲，乙，丙三位老人，每?jī)晌涣x工照看一位老人，考慮到義工與老人住址距離問(wèn)題，義工擔(dān)心排照看老人甲，義工擔(dān)心排照看老人乙，則支配方法共有A．30種 B．40種 C．42種 D．48種【答案】C【解析】名義工照看三位老人，每?jī)晌涣x工照看一位老人共有：種支配方法，其中照看老人甲的狀況有：種，照看老人乙的狀況有：種，照看老人甲，同時(shí)照看老人乙的狀況有：種，∴符合題意的支配方法有：種，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查利用排列組合解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于限制條件較多的問(wèn)題，通常采納間接法來(lái)進(jìn)行求解．8．【上海市浦東新區(qū)2025屆高三下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)試題】二項(xiàng)式綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為第_________項(xiàng)．【答案】4【解析】由二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式得：Tr+1（2x）6–r（）r＝（–1）r26–2rx6–2r，令6–2r＝0，得r＝3，∴T4為常數(shù)項(xiàng)，即二項(xiàng)式綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)，屬基礎(chǔ)題．9．【河北省唐山市2025屆高三其次次模擬考試】將六名老師安排到甲、乙、丙、丁四所學(xué)校任教，其中甲校至少安排兩名老師，其它三所學(xué)校至少安排一名老師，則不同的安排方案共有_________種．（用數(shù)字作答）【答案】660【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有種，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有種，則不同的安排方案共有+種，故答案為：660．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，分類(lèi)探討思想，對(duì)每個(gè)學(xué)校人數(shù)探討是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10．【上海市交大附中2025屆高三高考一模試卷數(shù)學(xué)試題】已知，且，那么的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．【答案】–20【解析】∵，令，可得，∴，∴，那么，即的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：–20．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，賦值法，求綻開(kāi)式的系數(shù)和，項(xiàng)的系數(shù)，精確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11．【江西省南昌市南昌外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆高三高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷】設(shè)為正整數(shù)，綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若，則_________．【答案】7【解析】綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，因?yàn)?，所以，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)最大值的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要能精確計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)的最大值．12．【北京市首都師范高校附屬中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題】若綻開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則等于_________，該綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．【答案】615【解析】由綻開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，可得，解得，的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故該綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，本題正確結(jié)果為：6，15．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求綻開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．13．【廣東省2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】若，則的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．【答案】240【解析】，綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，即．的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是，故答案為240．【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式求綻開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)是解題關(guān)鍵．14．【河北衡水金卷2025屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)】二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，設(shè)“全部二項(xiàng)式系數(shù)和”為A，“全部項(xiàng)的系數(shù)和”為B，“常數(shù)項(xiàng)”值為C，若，則含的項(xiàng)為_(kāi)________．【答案】【解析】依題得，所以n=8，在的綻開(kāi)式中令x=1，則有，所以a+b=2，又因?yàn)榫`開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令．所以得到（舍），當(dāng)時(shí)，由得．所以令，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)綻開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：（1）求綻開(kāi)式中的特定項(xiàng)．可依據(jù)條件寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可．（2）已知綻開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)．可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最終求出其參數(shù)．15．【山東省煙臺(tái)市2025屆高三5月適應(yīng)性練習(xí)（二）】設(shè)在，則綻開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意，，的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故綻開(kāi)式中的系數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算、二項(xiàng)式定理，正確求出值，是解題的關(guān)鍵．16．【湖南省師范高校附屬中學(xué)2025屆高三考前演練（五）】習(xí)近平總書(shū)記在湖南省湘西州十八洞村考察時(shí)首次提出“精準(zhǔn)扶貧”概念，精準(zhǔn)扶貧成為我國(guó)脫貧攻堅(jiān)的基本方略．為協(xié)作國(guó)家精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略，某省示范性中學(xué)支配6名高級(jí)老師（不同姓）到基礎(chǔ)教化薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，因工作須要，其中李老師不去甲校，則安排方案種數(shù)為_(kāi)________．【答案】360【解析】方法1：依據(jù)甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，可分四種狀況：（1）甲校支配1名老師，安排方案種數(shù)有；（2）甲校支配2名老師，安排方案種數(shù)有；（3）甲校支配3名老師，安排方案種數(shù)有；（4）甲校支配4名老師，安排方案種數(shù)有；由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可得共有（種）安排方案．方法2：由6名老師到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少一人，可能的分組狀況為4，1，1；3，2，1；2，2，2，（1）對(duì)于第一種狀況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個(gè)學(xué)校有種，其余5名分成一人組和四人組有種，共（種）；李老師安排到四人組且該組不去甲校有（種），則第一種狀況共有（種）；（2）對(duì)于其次種狀況，李老師安排到一人組有（種），李老師安排到三人組有（種），李老師安排到兩人組有（種），所以其次種狀況共有（種）；（3）對(duì)于第三種狀況，共有（種）；綜上所述，共有（種）安排方案．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，以及排列、組合的綜合應(yīng)用，其中解答中仔細(xì)審題，合理分類(lèi)探討是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．17．【上海市復(fù)旦高校附屬中學(xué)2025屆高三高考4月模擬試卷數(shù)學(xué)試題】袋中裝有5只大小相同的球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，若從該袋中隨機(jī)地取出3只，則被取出的球的編號(hào)之和為奇數(shù)的概率是_________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）．【答案】【解析】從5只球中隨機(jī)取出3只，共種狀況，而取出的3只球的編號(hào)之和為奇數(shù)，有2偶1奇和3只全為奇數(shù)兩種狀況，若取出3只球中有2只偶數(shù)1只是奇數(shù)，則有種狀況，若取出的3只球中有3只是奇數(shù)則有種狀況，所以取出的球的編號(hào)之和為奇數(shù)的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意等可能事務(wù)概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．18．【河北省衡水市2025屆高三四月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則全部選座方法有_________種．（用數(shù)字作答）【答案】8【解析】