2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.1.1合情推理1含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-課時(shí)作業(yè)3合情推理(1)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一數(shù)列中的歸納推理1.數(shù)列2,5,11,20，x,47中的x等于()A．28B．32C．33D．27答案B解析由前幾個(gè)數(shù)字可歸納出此列數(shù)字為：2,5,11,20,32,47，∴答案為B.2．視察下列各等式：eq\f(2,2－4)＋eq\f(6,6－4)＝2，eq\f(5,5－4)＋eq\f(3,3－4)＝2，eq\f(7,7－4)＋eq\f(1,1－4)＝2，eq\f(10,10－4)＋eq\f(－2,－2－4)＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為()A.eq\f(n,n－4)＋eq\f(8－n,8－n－4)＝2B.eq\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋1＋5,n＋1－4)＝2C.eq\f(n,n－4)＋eq\f(n＋4,n＋4－4)＝2D.eq\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋5,n＋5－4)＝2答案A解析視察發(fā)覺(jué)：每個(gè)等式的右邊均為2，左邊是兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，分子之和等于8，分母中被減數(shù)與分子相同，減數(shù)都是4，因此只有A正確.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二幾何中的歸納推理3.如圖所示，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝3nC．a(chǎn)n＝3n－2n D．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3答案A解析∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.4．如圖所示，圖1是棱長(zhǎng)為1的小正方體，圖2、圖3是由這樣的小正方體擺放而成．依據(jù)這樣的方法接著擺放，自上而下分別叫第1層，第2層，…，第n層，第n層的小正方體的個(gè)數(shù)記為Sn.解答下列問(wèn)題：(1)依據(jù)要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________答案(1)10(2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3，推想S4＝1＋2＋3＋4＝10，…S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.學(xué)問(wèn)點(diǎn)三歸納推理的應(yīng)用5.在平面內(nèi)視察：凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線，…，由此猜想凸n邊形有幾條對(duì)角線？解因?yàn)橥顾倪呅斡?條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條，…，于是猜想凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)比凸(n－1)邊形多(n－2)條對(duì)角線，由此凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差數(shù)列求和公式可得eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．所以凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*).易錯(cuò)點(diǎn)歸納過(guò)程找不到規(guī)律而致錯(cuò)6.在法國(guó)巴黎實(shí)行的第52屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個(gè)球；第2,3,4，…堆最底層(第一層)分別按圖所示方式固定擺放，從其次層起先，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示n堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)＝________；f(n)＝________(答案用含n的代數(shù)式表示)．易錯(cuò)分析在圖形推理問(wèn)題中，一般思路為：(1)從圖形的數(shù)量關(guān)系入手，找到數(shù)值改變與序號(hào)之間的關(guān)系．(2)從圖形的結(jié)構(gòu)改變規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)發(fā)生一次改變后，與上一次進(jìn)行比較，看數(shù)值發(fā)生了怎樣的改變．答案10eq\f(nn＋1n＋2,6)解析視察圖形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加上下一堆第一層的個(gè)數(shù)，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1,2).將以上(n－1)個(gè)式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)nn＋12n＋1＋\f(nn＋1,2)))＝eq\f(nn＋1n＋2,6).一、選擇題1．下列關(guān)于歸納推理的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．歸納推理是由一般到一般的推理過(guò)程B．歸納推理是一種由特別到一般的推理過(guò)程C．歸納推理得出的結(jié)論不肯定正確D．歸納推理具有由詳細(xì)到抽象的相識(shí)功能答案A解析由歸納推理的定義與特征可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B，C，D均正確，故選A.2．定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對(duì)應(yīng)下列4個(gè)圖形：那么下列4個(gè)圖形中，可以表示A*D，A*C的分別是()A．1,2B．1,3C．2,4D．1,4答案C解析由①②③④可歸納得出：符號(hào)“*”表示圖形的疊加，字母A代表豎線，字母B代表大矩形，字母C代表橫線，字母D代表小矩形，∴A*D是圖2，A*C是圖4.3．視察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，依據(jù)以上式子可以猜想：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20242)<()A.eq\f(4031,2024)B.eq\f(4032,2024)C.eq\f(4033,2024)D.eq\f(4034,2024)答案C解析視察可以發(fā)覺(jué)，第n(n≥2)個(gè)不等式左端有n＋1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)，所以當(dāng)n＝2024時(shí)不等式為：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20242)<eq\f(4033,2024).4．已知整數(shù)對(duì)的序列為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第57個(gè)數(shù)對(duì)是()A．(2,10)B．(10,2)C．(3,5)D．(5,3)答案A解析由題意，發(fā)覺(jué)所給數(shù)對(duì)有如下規(guī)律：(1,1)的和為2，共1個(gè)；(1,2)，(2,1)的和為3，共2個(gè)；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和為4，共3個(gè)；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和為5，共4個(gè)；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和為6，共5個(gè)．由此可知，當(dāng)數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)字之和為n時(shí)，有n－1個(gè)數(shù)對(duì)．易知第57個(gè)數(shù)對(duì)中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對(duì)中的第2個(gè)數(shù)對(duì)，故為(2,10)．二、填空題5．視察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…依據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為_(kāi)_________．答案13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2解析13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.6．設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正數(shù)項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，經(jīng)歸納猜想可得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．答案an＝eq\f(1,n)(n∈N*)解析由首項(xiàng)為1，得a1＝1；由n＝1時(shí)，由2aeq\o\al(2,2)－1＋a2＝0，得a2＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝2時(shí)，由3aeq\o\al(2,3)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)a3＝0，即6aeq\o\al(2,3)＋a3－1＝0，解得a3＝eq\f(1,3)；…歸納猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,n)(n∈N*)．7．視察分析表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿意的等式是________．答案F＋V－E＝2解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱錐中6＋6－10＝2；立方體中6＋8－12＝2，由此歸納可得F＋V－E＝2.三、解答題8．已知在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3).(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.解(1)a2＝eq\f(3a1,a1＋3)＝eq\f(3×\f(1,2),\f(1,2)＋3)＝eq\f(3,7)，同理a3＝eq\f(3a2,a2＋3)＝eq\f(3,8)，a4＝eq\f(3,9)，a5＝eq\f(3,10).(2)由a2＝eq\f(3,2＋5)，a3＝eq\f(3,3＋5)，a4＝eq\f(3,4＋5)，a5＝eq\f(3,5＋5)，可猜想an＝eq\f(3,n＋5).9．如圖所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N*，m≥2).(1)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列，用它表示當(dāng)m分別是2,3,4,5，…時(shí)，方陣中士兵的人數(shù)；(2)若把(1)中的數(shù)列記為{an}，歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求a10，并說(shuō)明a10表示的實(shí)際意義；(4)已知an＝9900，問(wèn)an是數(shù)列第幾項(xiàng)？解(1)當(dāng)m＝2時(shí)，表示一個(gè)2行3