2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第11章概率51古典概型課時(shí)訓(xùn)練文含解析

PAGEPAGE4【課時(shí)訓(xùn)練】古典概型一、選擇題1．(2024山西省其次次聯(lián)考)甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參與，若每人必需參與并且僅能參與一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參與同一個(gè)小組的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)【答案】A【解析】依據(jù)題意，甲乙兩人每人必需參與并且僅能參與一個(gè)學(xué)習(xí)小組的基本領(lǐng)件總數(shù)為3×3＝9個(gè)，兩人參與同一小組包含3個(gè)基本領(lǐng)件，故其概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).2．(2024茂名一模)在{1,3,5}和{2,4}兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被4整除的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,4)【答案】D【解析】符合條件的全部兩位數(shù)為：12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45，共12個(gè)，能被4整除的數(shù)為12,32,52，共3個(gè)，故所求概率P＝eq\f(3,13)＝eq\f(1,4)，故選D.3．(2024江西師大附中、臨川一中聯(lián)考)“微信搶紅包”自2015年以來異樣火爆，在某個(gè)微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，若所發(fā)紅包的總金額為9元，被隨機(jī)安排為1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，則甲、乙兩人搶到的金額之和不低于4元的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,6)【答案】B【解析】設(shè)事務(wù)A為“甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元”，甲、乙兩人搶到紅包的全部結(jié)果為{1.49,1.31}，{1.49,2.19}，{1.49，3.40}，{1.49,0.61}，{1.31,2.19}，{1.31,3.40}，{1.31,0.61}，{2.19,3.40}，{2.19,0.61}，{3.40,0.61}，共10種狀況．其中事務(wù)A的結(jié)果一共有4種狀況，依據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，得P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，即甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是eq\f(2,5)，故選B.4．(2024亳州質(zhì)檢)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中隨意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)【答案】C【解析】易知過點(diǎn)(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無須考慮)，集合N中共有16個(gè)元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個(gè)，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).5．(2024黃山二模)從集合A＝{2,4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B＝{1,3}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b，則f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋bx＋1在(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,6) D．0【答案】B【解析】(a，b)的全部取值狀況如下：(2,1)，(2,3)，(4.1)，(4,3)，共4種，記“f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)”為事務(wù)A，由條件知f(x)的圖象開口肯定向上，a>0，對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(b,a)，且－eq\f(b,a)≥－1，則事務(wù)A包含的狀況如下：(2,1)，(4,1)，(4,3)，共3種，則P(A)＝eq\f(3,4).6．(2024哈爾濱模擬)設(shè)a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(5,8)C.eq\f(11,16)D.eq\f(3,4)【答案】C【解析】由已知f′(x)＝3x2＋a>0，所以f(x)在R內(nèi)遞增．若f(x)在[1,2]上有零點(diǎn)，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1＋a－b≤0，,f2＝8＋2a－b≥0，))閱歷證有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11對(duì)滿意條件，而總的狀況有16種，故所求概率為eq\f(11,16).7．(2024江西六校聯(lián)考)從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)【答案】D【解析】如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn)，可以看作隨機(jī)選2個(gè)頂點(diǎn)，剩下的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．若要構(gòu)成矩形，只要選相對(duì)頂點(diǎn)即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).二、填空題8．(2024重慶適應(yīng)性測(cè)試)從2,3,4,5,6這個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，則所取3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為________．【答案】eq\f(2,5)【解析】從2,3,4,5,6這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，共有(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6)，(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6)，(4,5,6)10種，其中所得3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)為(2,3,5)，(2,4,6)，(3,4,5)，(3,5,6)共4種，故所得3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).9．(2024沈陽質(zhì)檢)現(xiàn)有7名數(shù)理化成果優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，B1，B2的物理成果優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成果優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成果優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參與競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．【答案】eq\f(5,6)【解析】從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成果優(yōu)秀者各1名，全部可能的結(jié)果組成的12個(gè)基本領(lǐng)件為：(A1，B1，C1)，(A1,B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．設(shè)“A1和B1不全被選中”為事務(wù)N，則其對(duì)立事務(wù)eq\x\to(N)表示“A1和B1全被選中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對(duì)立事務(wù)的概率計(jì)算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).10．(2024成都月考)下圖的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測(cè)試中的成果，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成果不超過乙的平均成果的概率為________．【答案】0.3【解析】依題意，記題中的被污損數(shù)字為x，若甲的平均成果不超過乙的平均成果，則有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此時(shí)x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成果不超過乙的平均成果的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.三、解答題11．(2024鄭州質(zhì)量監(jiān)測(cè))20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成果(單位：分)的頻率分布直方圖如下：(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)分別求出成果落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù)；(3)從成果在[50,70)的學(xué)生中任選2人，求此2人的成果都在[60,70)中的概率．【解】(1)據(jù)題中直方圖知組距＝10，由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1，解得a＝eq\f(1,200)＝0.005.(2)成果落在[50,60)中的學(xué)生人數(shù)為2×0.005×10×20＝2.成果落在[60,70)中的學(xué)生人數(shù)為3×0.005×10×20＝3.(3)記成果落在[50,60)中的2人為A1，A2成果落在[60,70)中的3人為B1，B2，B3，則從成果在[50,70)的學(xué)生中任選2人的基本領(lǐng)件共有10個(gè)：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中2人的成果都在[60,70)中的基本領(lǐng)件有3個(gè)：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，故所求概率為P＝eq\f(3,10).12．(2024成都診斷)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．【解】(1)由題意，知(a，b，c)全部的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”為事務(wù)A，則事務(wù)A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3