廣東省鶴山市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

廣東省鶴山市紀(jì)元中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月

考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

2.已知同=66,止1方石=-9,則向量"與*的夾角為（）

2兀5717171

A.B.C.D.

T~6~36

a+〃)=：,則COS[a+=(

3.已知是第二象限角，若COS（Q)

334

A.公B.c.」D.

5555

4.設(shè)。晟是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下力在不可作為該平面內(nèi)一組基底的是

（）

A.a=el+e2,b=eiB.1=22+工3=占+總

Qruiu?uiuD——一—一

?a=e1+e2,b=e1-e2*a=ex-2e2,b=-ex+^e2

5.若角亞的終邊上有一點(diǎn)（-3，°）,則實(shí)數(shù)。的值為（）

6

試卷第11頁，共33頁

2右

A.-6B.C.D,

33

6.若tana=3,則m的值為(

—s2a)

cos2a-sina

A4c2-4

A.——B.±C.-D.--

73917

7.己知￡和否是兩個(gè)不共線的向量，若酢=￡+優(yōu)力BC=5a+4b^比=工-2人且A，

B,。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)%的值為（）

1

A.1B.C.--D.T

2

8.已知sin(a-J+cosa=—,貝!Jcos(2a+三)=()

633

77_迪逑

A.--B.-C.D.

9999

二、多選題

9.下列式子正確的是（）

'?sinl5°+cosl5°=^-B.2兀兀22￡

jsm----cos—=

2882

C.tan120+tan330+tan12°tan33°=1D,2V3tan15°+tan215。=百

10.下列說法正確的是()

aba-bb

A.向量在向量上的投影向量可表示為下「“

試卷第21頁，共33頁

B.若晨B＜。，則”與°的夾角°的范圍是日兀

C.若V42C是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則與，數(shù)的夾角為45。

D.若非零向量滿足石Z=o,則日工行

11.已知函數(shù)/(x)=6sin3x+cos3x_2，則()

A./(x)的最小正周期為6兀

B./(X)的圖象關(guān)于直線》=巴對(duì)稱

9

c./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)［蔣,一2j對(duì)稱

D./(x)在卜二］上單調(diào)遞增

三、填空題

12.已知向量。，分滿足同=2,W=1,且則B的夾角是.

13.已知"為銳角，sina=|,cos(a+/?)=-^,貝

14.筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動(dòng)力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛

于唐，距今已有I。。。多年的歷史?如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為3米的筒

車按逆時(shí)針方向做每6分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車的軸心O距離水面go的高度為

1.5米，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒尸的初始位置為點(diǎn)。(水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn))，從此處開

試卷第31頁，共33頁

始計(jì)時(shí)，/分鐘時(shí)，該盛水筒距水面距離為

,則“2023)=一

H=/?)=/sin(g%+e)+6A>0,co>0,阿<>0

圖1圖2

四、解答題

15.已知同=久間=8,"與"的夾角是120°.

⑴計(jì)算H.；

(2)當(dāng)人為何值時(shí)，@-勺？

16.已知sina+cosa=L。?0,兀).

5

⑴求sin2〃值；

⑵求tan,的值.

17.如圖，在V48c中，前=2皮，E是/。的中點(diǎn)，設(shè)五§=&,Ac=b-

試卷第41頁，共33頁

⑴試用,，不表示石，礪;

⑵若同=W=1,，與，的夾角為6°°,求而?屜.

18.已知函數(shù)/(x)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若〃0)=g,叫/無‘求c°s°的值.

(3)用“五點(diǎn)法”畫出f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

19.函數(shù)〃x)=/sin(s+0)[N>O,o>O,網(wǎng)的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)〃x)的解析式；

(2)將函數(shù)/(X)的圖象先向右平移工個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的號(hào)(縱坐

試卷第51頁，共33頁

標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，若關(guān)于“的方程g（x）一加=。在上有兩個(gè)不等

_4_

實(shí)根網(wǎng),七，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍，并求g（』+x2）的值?

⑶求〃x）＞l的解集.

試卷第61頁，共33頁

《廣東省鶴山市紀(jì)元中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DBABDDBBACABD

題號(hào)11

答案BC

1.D

【分析】用周期公式計(jì)算.

10TT

【詳解】由題意，①=:」=把=4兀；

2co

故選：D.

2.B

【分析】結(jié)合向量的夾角公式，以及向量的夾角的范圍，即可求解;

【詳解】因?yàn)橥?66，W=lR%=-9,設(shè)向量”與b的夾角為°

a-b_~9_V3

所以cos。

同同6cxi2

又因?yàn)橥?。兀?所以0=2

6

故選：B.

3.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式求出cosa=-2,運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出sine=|,再由誘

兀

導(dǎo)公式計(jì)算可得cos0C+—=-sina>得解?

AAa

（詳解】cos^cm）=-(1=飛,則cosa=-1,是第二象限角，則

答案第11頁，共22頁

sina=A/1-COS2a=—.

cosa+—=-sina=——.

I2j5

故選：A.

4.B

【分析】根據(jù)題意，若向量a5不共線，則1石可作為該平面內(nèi)一組基底，由此對(duì)各選項(xiàng)

加以判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若共線，則存在唯一實(shí)數(shù)4,使2=4,則［+尾=;^，

因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的向量，所以1+8=4M不成立，

所以向量aB不共線，所以扇B可作為該平面內(nèi)一組基底，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,因?yàn)?=2q,所以a=2q+e2=d［gq+；e2)=4不，

所以用B共線，所以2B不可作為該平面內(nèi)一組基底，所以B正確，

對(duì)于C，若無B共線，則存在唯一實(shí)數(shù)2,使￡=詫，則［+段=；1(.一最)，

因?yàn)椤甓∈瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的向量，所以不成立，

所以向量無石不共線，所以或彼可作為該平面內(nèi)一組基底，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D，若23共線，則存在唯一實(shí)數(shù)4,使￡=詫，則［-2］=；1(-1+4/)，

因?yàn)樽钍瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的向量，所以［-2］=；1(-1+41)不成立，

所以向量方了不共線，所以仇校可作為該平面內(nèi)一組基底，所以D錯(cuò)誤，

故選：B

5.D

答案第21頁，共22頁

【分析】由三角函數(shù)的定義列方程即可得解.

【詳解】由題意，結(jié)合三角函數(shù)的定義得tan23=_2￡=」L,解得。=6.

63-3

故選：D.

6.D

【分析】根據(jù)題意，由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，化為正切的齊次式，然后代入計(jì)算，即可

得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閠an“_3，

mitsin2a_2sin?cos?_2tana_2x3_6

火U?~~2-2I_2=2=T='

cos2?-sinacosa-2sina1-2tana1-2x317

故選：D

7.B

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得篇=2而，列出方程組即可得解.

【詳解】因?yàn)槎?元+函5￡+花薪+23=6￡+6力

且A，8，0三點(diǎn)共線,

所以存在實(shí)數(shù)％，使得48=即工+"石=4（6￡+65）,

貝41=6",解得"1.

[m=64

故選：B

8.B

【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的余弦計(jì)算得解.

【詳角軍】由sin(a+cosa=I,^^-sin?cos?+coscz=—,即^"Sina+，cosa，

63223223

答案第31頁，共22頁

因此sin9+=§,所以cos(2a+^^cos2(a+-)=1-2sin2(a+—)=-.

故選：B

9.AC

【分析】對(duì)A：根據(jù)輔助角公式即可求解；對(duì)B：根據(jù)二倍角余弦公式即可求解；對(duì)C：

利用兩角和的正切公式即可求解；對(duì)D：根據(jù)兩角差的正切公式求出1心15。=2_6即可求

解.

V3V6.

【詳解】解：對(duì)A：sin15°+cos15°=V2sin(15°+45°)=V2sin60°=72x----=-----?

22

對(duì)B??2兀兀兀22

八Ju.sin----cos—=-cos2x—

88I82

“八…tan12°+tan33°,

對(duì)C：因?yàn)閠an45。=tan(12。+33°)=----------------------=1,

'71-tan12°tan33°

所以tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1；

對(duì)D：因?yàn)閠a-（6。。一45。）.：北°。雷;二2一5

所以2612!115。+12112：15。=26(2-石)+(2-6)2=1.

故選：AC.

10.ABD

【分析】對(duì)A,根據(jù)投影向量公式求解即可；對(duì)B,根據(jù)數(shù)量積公式判斷即可；對(duì)C,由

向量夾角的定義判斷即可；對(duì)D,根據(jù)數(shù)量積公式判斷即可.

己ba-bb

【詳解】對(duì)A,根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量可表示為同.匐

故A正確;

答案第41頁，共22頁

對(duì)B,根據(jù)箱B=B,|cos扇很＜。，可知，所以“與。的夾角。的范圍是

仁,兀,故B正確；

對(duì)C,由向量夾角的定義可知，萬，就的夾角為135。，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,若非零向量萩滿足"z二°,則cosRE=°,則％,故D正確.

故選：ABD

11.BC

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)/(X)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可?

【詳解】由題意〃x)=V3sin3x+cos3x-2=2——sin3x+—cos3x-2=2sin3x+--2

22I6)

所以/(x)的最小正周期T=a,A錯(cuò)誤；

3

當(dāng)》=二時(shí)sin［3*￥—］=sin—=1，所以/(力的圖象關(guān)于直線》=巴對(duì)稱，B正確；

9196)29

當(dāng)》=空時(shí)sin^xM—hsinKOu，所以“月的圖象關(guān)于點(diǎn)［亞廠2］對(duì)稱，C正確;

181186)118)

當(dāng)xe0,—時(shí)，3x+^eF-,——］，所以“X)在「0目上不具有單調(diào)性，D錯(cuò)誤；

_4J6|_612」L4_

故選：BC

12.生

3

【分析】根據(jù)向量的夾角公式結(jié)合已知條件求解即可.

答案第51頁，共22頁

【詳解】由(。+可，6得，(a+6”=0,即=3+齊=0,

據(jù)此可得：a-b=^a\-\b^cos^a,b^=-b2,

又￡與［的夾角的取值范圍為［0,兀］,

故4與書的夾角為史.

3

故答案為：—.

3

13.—

65

【分析】由a,￡都是銳角，得出a+0的范圍，由sina和cos(a+0)的值，利用同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系分別求出cosa和sin(a+/?)的值，然后把所求式子的角/3變?yōu)?/p>

(Q+￡)—a，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)計(jì)算，即得結(jié)果.

【詳解】Q。，夕都是銳角，/.a+/?￡(0,Tr),

35412

又sina=1,cos(a+?)=一百，/.cosa=—,sin(a+?)=yj,

.cosp=cos［(tz+/3)-a］=cos(cz+/?)cosa+sin(?+/?)sina(5、412316

貝n!J=-----x—Hx—=——.

13；513565

故答案為：善.

65

答案第61頁，共22頁

14.3

【分析】由題意得Tr54又”。時(shí)，吟。,代入求值，得

到9=一工，求出函數(shù)解析式，求出答案.

6

【詳解】由題意得7=%又故。二生工―,

T3

且/+6=4.5,—4+6=—1.5,解得/=3,6=1.5,

故7/=/(^)=3sinfy/+^j+1.5,

業(yè)，=0口iH=0日口3sinw+1.5=0sinp=-；,

三呵，，即

又闞苦解得3=-火

6

故〃=/■⑺=3'：Sinf^7-—J+1.5，

2023717171

所以/（2023）=3sin+1.5=3sinl674K+-1+1.5

6

—.7C.

=3sin—+41.5=3.

6

故答案為：3

6(1)4百

⑵—7

【分析】根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算規(guī)則計(jì)算.

答案第71頁，共22頁

同=4,阿=8,"與'的夾角是120°

【詳解】（1）

貝！1-,

人」）.6=4X8XCOS1200=—16'

即有歸一2同=弧一2可='片-4展3+4廬二116+4x16+4x64=4收；

（2）由（1+2山

可得（萬+2孫（標(biāo)-=0,即奶2+（2k-l）a-b-2b2=0

即1616（2斤-1）-128=0,解得"=-7,則當(dāng)后為-7時(shí),a+2b}l（ka-b）.

綜上，（1）|々一2閘=4后，（2）卜二一7

24

16.（1）--

25

⑵-；

【分析】（1）利用平方關(guān)系計(jì)算結(jié)合二倍角正弦公式即可求值;

（2）求解sma-cosa,再求解方程組，可得tana=里吧，最后應(yīng)用兩角和的正切公式即

cosa

可求值.

91

【詳解】（1）因?yàn)椋╯ina+cosa）=l+2sinacosa二百

W2siiictcoso!=,所以sin2tz=一二

2525

答案第81頁，共22頁

(2)因?yàn)椤(0,兀)且2sinacosc=-3<0,所以ae71

255,無

1c,49sincif>0,coscz<0

sina-cosaj—I—2sinacosa——,因

25

所以sina-cosa=—

5

.1.43

sma+cosa=—sma=—cosa=—

55

得解得:

sina-cosa=—

5

sina4

所以tana

cosa3

/兀tafta1-

所以tan(a+/I=3I

1-tana?+47,

3

/、一?12-—?51一

17.(l)AD=-a+-b,BE=——a+—b

3363

(2)--

-18

【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數(shù)乘運(yùn)算即可求解;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)橹?2℃,所以麗=2旅,

3

______2__.—?2—?—?1—??—?12一

所以而=9+赤=9+—起=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC^-a+-b.

333333

因?yàn)镋是4。的中點(diǎn),

答案第91頁，共22頁

所以屜=;俾+前)=;1方+|回=_;方+;(衣-而

5—?1―?51-

=一一AB+-AC=——a+-b.

6363

(2)因?yàn)橥?網(wǎng)=1,"與"的夾角為60°,

所以=|3||5|COS5,6=lxlx—=—,

—?12—-?51一

由（1）知，AD=-a+-b,BE=一一a+-b,

3363

所以力?麗=（工0+2不]"_9'+!3]=_二,2_芻小不+2廬

U3^63J1899

18.(DpA:,而,71Z+yke

6

(3)圖象見解析

【分析】(1)先利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)遞

增區(qū)間；

(2)先由已知求出sin(O+')的值，再結(jié)合角的范圍求出COS(8+3的值，最后利用兩角差

66

的余弦公式求出cos?的值;

(3)用“五點(diǎn)法”找出一個(gè)周期內(nèi)使函數(shù)取得特殊值的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后描點(diǎn)連線畫出

答案第101頁，共22頁

函數(shù)圖象.

【詳解】（1）運(yùn)用和角差角和輔助角公式對(duì)“X）進(jìn)行化簡(jiǎn):

f(x)=sin(x+號(hào)為in(x——)+cosx=2sinxcos—+cosx=V3sinx+cosx=2sin(x+—)

666

然后，令左歷至名+—W

22H------kG

262

?7T7T

解不等式52喘胃XkH--------kG，艮口2左2匹——<k+—ks

2633

所以，函數(shù)"X）的單調(diào)遞增區(qū)間為p力畸71￡+-ke

(2)已知/(。)=2,即2sin(6+耳=—,則sin(e+?J=—.

36363

因?yàn)镺e（工兀），所以。+噢區(qū),—），在這個(gè)區(qū)間內(nèi)cos（0+工）＜0.

26366

可得：cos(0+-iir?(0+—)=-

3

則cos0=cos((0+?=cos(0+—)cos—+sin(0+—)sin—

666666

2V26111-276

--------------X1--X—=

3-2----326

（3）用“五點(diǎn)法”畫出“刈在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，函數(shù)〃對(duì)=2五11（》+工）的周期？=2%

6

令Y=。，會(huì)Y，2兀，分別求『和?。┑闹?

答案第111頁，共22頁

當(dāng)X+巴=0,即％時(shí)，/(-J)=2sin0=0;

666

當(dāng)x+念萬，即X3時(shí),/卓=2號(hào)=2；

當(dāng)1+4=九，即％=三時(shí)，/(—)=2sinji0=；

666

V，即X哼時(shí)，樗把2疝萬二一2；

當(dāng)工+'=2兀，即、=一四時(shí)，/(—囚)=2sin27i0=

666

列表如下:

兀071713712兀

X-\—~2

62

X71715714兀1171

i

6TT

/(X)020-20

描點(diǎn)(-30),(-,2),(—,0),(-,-2),(—,0),然后用光滑曲線連接這些點(diǎn)，就得

63636

到f(x)=2sin(x+。在一個(gè)周期內(nèi)的圖象

6

答案第121頁，共22頁

19.(1)/(x)=2sinf2x+-^-

（2）［6,2）；g（^+X2）=-V3

⑶|左匹三十左萬：左GZ

【分析】（1）先由圖象和周期公