湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一年級下冊3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（A4含答案）

2024-2025學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體?湖北部分名校高一

3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4={%](工一2)(%+4)<0},B={x\2x<^],則Ac6=()

A.(1,2)B.(1,3)C.(-4,2)D.(-4,3)

2.若命題“土￡[0,2],2之團”是真命題,則()

A.m<0B.m<4C.m>0D.m>4

3.函數(shù)〃力=五+3:8的零點所在區(qū)間為()

A.]。，jB.g/[C.(1,2)D.(2,3)

4.要得到函數(shù)y=-sin2x的圖象，只需要將函數(shù)y=cos[2x+1)的圖象()

A.向左平移E個單位B.向左平移四個單位

126

ITJT

C.向右平移匚個單位D.向右平移3個單位

5.已知向量〃,匕滿足同=1,6=2且“Ma+b),貝h與。的夾角為()

71n27r-3萬5〃

A.—B.——C.—D.

634~6

6.已知tana=2,則cos2cr+3sin2a=()

66-99

A.——B.-C.——D.

5555

7.下列不等關(guān)系正確的是()

ln311120203

A.2<3B.log23<log45C.O.3-<O,2-D.log030.2<log23

8.在自然界中，對稱性無處不在.從蝴蝶翅膀的美麗圖案到雪花晶體的完美結(jié)構(gòu)，對稱性展

現(xiàn)了自然界的和諧與平衡.數(shù)學(xué)作為描述自然規(guī)律的語言，同樣充滿了對稱之美.函數(shù)圖像的

對稱性，例如軸對稱和中心對稱，關(guān)于函數(shù)的相關(guān)對稱性質(zhì)是數(shù)學(xué)中研究的重要概念.已知

函數(shù)/(耳=j1+1工+,—1],使得不等式/(2%+1)</(加+2)成立的實數(shù)機的取值范圍為

()

A.B.

C.(-oo,-l)u(1,+oo

D.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若正實數(shù)P，4滿足。+2鄉(xiāng)=3,貝！J(

9

A.pg的最小值是三B.@+的最大值是加

O

C.工的最小值是中

D.p?+8才的最小值是6

2囚+1Y<1

10.已知函數(shù)〃X)=/_4；+6X>1'若〃尤)=機有四個不等的實數(shù)解X1，/，X3,X”

下列說法正確的是()

A.〃x)有最小值2B.根的取值范圍是2<加(3

C.玉+尤2+%+4=4D.方程=|■有4個不同的解

11.已知函數(shù)/(x)=g+=j，下列說法正確的是()

SULA-尤|

A.為偶函數(shù)B.〃x)的最小正周期為兀

C.關(guān)于x=:對稱D.〃x)的值域為［2應(yīng),+可

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)〃x)=sin(x+在xe0,］上有兩個零點，則。的取值范圍為.

13.已知函數(shù)/(?的定義域為R,且滿足：/(x+2)=/(x+l)-/(x),/(1)=2,/(8)=5,

貝|J〃2025)=.

7T

14.如圖，正方形ABC。的邊長為1,P,。分別為邊A5D4上的點，若NPCQ、,求

的面積的最大值為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟.

15.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2,AD=\,若M,N分別是邊3C,CO所在直

線上的點，且滿足CN=mCD，其中左，相設(shè)a=A8，b=AD.

(1)當(dāng)左=g,機=(時，用向量。和6分別表示向量AM和AN;

⑵當(dāng)ZDA8=60,左=加時，求AATAN的取值范圍.

16.計算：

⑴已知2。=3,log43=Z?,求2"。的值；

(2)已知sin(a+1J=；,求sin［?+2e］的值；

⑶若正實數(shù)x，y，z同時滿足下列三個方程log?［二］=』，Iog2(上)=:，Iog2〔2〕=：求

\yz)2<xz)3^xyJ4

2

log2(%J7Z)的值.

17.已知函數(shù)/(x)=cos(三一2x)+sin(2x-+2cos2x+a的最大值為3.

⑴求常數(shù)?的值；

⑵求函數(shù)在xe［0,可的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶若“X)在區(qū)間-展,-上有9個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(*)=logs(9,+1)+丘為偶函數(shù).

(1)求實數(shù)4的值；

(2)若函數(shù)y=/(x)-。有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶若函數(shù)8("=9,+9-，+”3小)-1"40,1。832］是否存在實數(shù)機使得8(司的最小值為0,

若存在，求出實數(shù)m的值;若不存在，請說明理由.

19.已知函數(shù)力(x)=sin"x+cos"x(〃￡N+).

⑴若力(%)=；，求A(X°)的值；

⑵試求力⑺，力(X),入⑺的取值范圍，猜想當(dāng)“=23左eN+時，力(無)的取值范圍(不

需要寫出證明過程)；

(3)存在〃eN+，使得關(guān)于無的不等式力(x)+a(sinx+cosx)-2a20對任意的xe0,|■恒成立,

求a的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

1.c

【分析】化簡集合A，8,再根據(jù)集合的交集運算求解.

【詳解】因為A={x|（x-2）（x+4）<0}={x[Y<x<2},

8={x[2"<8}={x|尤<3},

AnB=（-4,2）.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)命題為真命題得出加4（爐）1mx即可求解.

2

【詳解】因為二目0,為,x>m,

則當(dāng)xe[0,2]時，〃話（/）1mx=4,

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理結(jié)合單調(diào)性判斷.

【詳解】函數(shù)〃尤）=6+3=8,在[0,e）上連續(xù)且單調(diào)遞增，

=/（2）=A/2+32-8=V2+1>0,/（1）-/（2）<0,

根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理可得，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（L2）.

故選：C.

4.A

【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式，y=Asin（?+?）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【詳角星】y=-sin2x=cos2x+—=cos2x+—,

所以只需把函數(shù)〉=儂卜+小的圖象，向左平移自個單位，得至Ijy=rin2x的圖象.

故選：A.

5.B

答案第1頁，共12頁

【分析】利用。，(。+6)得出42=-1，再利用向量夾角公式即可.

【詳解】a_L(a+6),|a|=l

.'.a-^a+b^=a2+a-b=l+a-b=0,

.ci'b=-1，

/,\a-b-11

\'\a\\b\1x22，

又a,be[0,TI\,

與。的夾角為胃.

故選：B.

6.D

【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.

【詳解】.tana=2,

22222

一c.2cosa-sina+3sinacosa+2sina

cos2a+3sm-a=------------------------------=-----------------——

cosa+sin-acos*a+sin-a

1+2tan2a1+2x49

1+tan2a1+45

故選：D

7.D

【分析】兩邊同時取以e為底的對數(shù)，可判斷A選項；將logZ3變形為log49可判斷B；將

0.30-2,0.2°-3的指數(shù)嘉都變換成整數(shù)次幕與0」的乘積的形式，比較兩個累函數(shù)的大小可判斷C

選項；將1。8°,3。21。823變換為以10為底的對數(shù)，做差與0比較可判斷D選項.

【詳解】解：A項,In2M3=ln31n2,ln3ln2=In21n3,故11121n3=In31nBP2ln3=3ln2,故A

項錯誤；

B項，log23=log49,log49>log45,故B項錯誤；

C項,O.302=(0.32)0J=O.O901,O.2°3*B=(O.23)01=0.008°\0,09°1>0,008°*,故C項錯誤;

lg0.2_lg2-l皿喂，

D項,log0.2=

03lg0.3-lg3-l

則

答案第2頁，共12頁

Ig2-1lg3=（Ig2_l）lg2_lg3（lg3_l）=（Ig2）2_]g2-（lg3）2+]g3=（Ig2-lg3）（lg2+lg3-l）

lg3-l一碰一（Ig3-l）lg2-（Ig3-l）lg2-（Ig3-l）lg2'

而1g2Tg3<0,lg2+lg3-l=lg6-l<0,（lg3-l）lg2<0,

故昌一T一旦<0，gpiog030.2<log23,故D項正確.

lg3-llg2

故選：D

8.A

【分析】先分析函數(shù)/'（X）的對稱性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不

等式求解.

【詳解】令"x-i,貝i]x=r+l,

函數(shù)/（x）=e'T+3-+|x—1|可化為y=e，+e^+|r|.

因為y（f）=e-'+ef+|-r|=ef+e_‘+,=_y（。，

所以函數(shù)丁=1+"'+，是偶函數(shù),其圖象關(guān)于了軸對稱,那么函數(shù)〃力的圖象關(guān)于直線》=1

對稱.

當(dāng)xNl時，/（%）=ex-1+e1-'+x—1.

對/（x）求導(dǎo)，尸（耳=右—,

因為xNl,所以x-120,0<e1-"<1,則6一一廣工2。，

所以尸（x）=ei-e~+l>0

這表明函數(shù)/'（尤）在[1,+a）上單調(diào)遞增.

因為函數(shù)/'（X）的圖象關(guān)于直線尤=1對稱，且在[1,+e）上單調(diào)遞增，所以

/（2m+l）</（zn+2）等價于|2機+1-1|<|???+2-1|.

即|2m|<|ffl+l|,兩邊平方得4〃/<nq1+2m+1

移項化為3/-2a-1<0,因式分解得（3m+l）（m-l）<0=>-1<m<1.

所以實數(shù)m的取值范圍是d.

故選：A

9.BCD

答案第3頁，共12頁

【分析】AB均利用3=0+2432而^求解即可；C利用1的代換，即

1+L=■+(P+2q)=:(3+%+K]再利用基本不等式；D利用p=3-2q消元，求一

Pq3(pq)3(pq)

元二次函數(shù)的最值.

【詳解】由題意知P＞。,4＞0,且p+2q=3.

對于A,由3=p+2qN212pq,解得當(dāng)且僅當(dāng)p=[,q=1■時等號成立，則pg的

o24

9

最大值為故A錯誤；

O

對于B,(y[p-^^l2q)2=p+2q+2d2Pq=3+2,2Pq23+p+2q=6,

當(dāng)且僅當(dāng)P=；,q=|■時等號成立，所以赤+島的最大值為赤，故B正確；

工丁111/1"c\(2qp)ifJ2gp)20+3

Pq31Pq)31pqj3(\Pq)3

當(dāng)且僅當(dāng)名=",即q=$-3。,0=3近一3時等號成立，

pq2

所以工+工的最小值是逑型，故c正確.

pq3

因為p=3-2q,所以p1+8^2=(3-2夕)2+8鄉(xiāng)2=9-12^+4^2+8^2

=12q2-124+9=12(4-；y+6,

因為4＞。，所以p2+8q~N6,當(dāng)q=],P=2時等號成立，D選項正確.

故選：BCD

10.ACD

【分析】由題意作出函數(shù)/(X)的圖像，由圖像即可判斷AB；根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及二次函

數(shù)的對稱性，結(jié)合圖象即可判斷C；令f(x)=t,數(shù)形結(jié)合即可判斷D.

【詳解】解：由題意作出函數(shù)/'(X)的圖像，如圖所示：

答案第4頁，共12頁

片\］次，

Illi

!!!!?

-1（9123x

可得A（0,2）,3（1,3）,C（2,2）,￡>（3,3）,

所以/（元）有最小值2,故A正確；

/（力=機有四個不等的實數(shù)解4，%,與，乙，可得2〈機<3,故B錯誤;

因為y=2國+1為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于>軸對稱，

又>=尤2-4苫+6的對稱軸為直線尤=2,

所以由對稱性可知不+馬=。，x3+x4=4,可得占+尤2+X3+%=4,故C正確；

令/⑺=f,則方程/（/（x））=|可化為方程/（0=|.

結(jié)合圖像得/（。=|■有4個解小小卬乙，且一1<4<0,0<t2<l,l<t3<2,2<t4<3,

因為/（元）有最小值2,所以只有當(dāng)2<"3時，有4個不同的x與之對應(yīng)，

故方程/（/（x））=。有4個不同的解，故D正確，

故選：ACD.

11.ACD

【分析】根據(jù)“T）與〃尤）的關(guān)系即可判斷A；由/g+x）與“X）的關(guān)系即可判斷B；

與/⑺的關(guān)系即可判斷C；令t=|sinx|+kosx|,利用換元法，即可判斷D.

【詳解】?。?焉+七的定義域為［尤卜爪""水）關(guān)于原點對稱，

S1ILX-I2

對于A,因為〃一尤）=^^+^1=4+&=〃尤），

所以/（X）為偶函數(shù)，故A正確；

答案第5頁，共12頁

1

對于B,因為cosxl

sin%cos

所以“X)的周期為名故B錯誤;

711

——XJ——1

對于C,因為71+71Icosxl

-—XCOS--X

所以/(尤)關(guān)于x對稱，故C正確;

1=2

對于D,令/=binx|+|cosx|,則t=l+|sin2x|,|sinx||cosx|=^-|sin2x|~^-1),

由于。Vsin2,Wl,所以lv產(chǎn)<2,進而lvw0,

/\|cosx|+|siiix|It2/\

所以〃⑺，

t

因為函數(shù)y=f,y=-；在0,血］上都是減函數(shù)，

所以函數(shù)y=在(1,0］上是減函數(shù)，且y=r->>0,

所以函數(shù)g⑺在(L0］上是減函數(shù)

因此/(X)的值域為［2夜,+8),故D正確.

故選：ACD.

12.

【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=sin［x+￡j的圖象和直線y="在身上有兩個

交點，判斷g(x)=sin］x+5的單調(diào)性和最值，得解.

【詳解】?函數(shù)/(x)=sin1x+j-a在xe0,］上有兩個零點，

函數(shù)g(x)=sin(x+T的圖象和直線y=。在0卷上有兩個交點.

八71r71712兀

XG0,-_r*,XH---￡—,----,

［2」6163」

.?.g(x)在o,j上單調(diào)遞增，在三W上單調(diào)遞減，最大值是gg］=l,

又g⑼jg用當(dāng)

答案第6頁，共12頁

ae—,1.

L2J

故答案為：

13.3

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)/(x)的周期為6,利用周期性求解.

【詳解】f(x+2)=f(x+l)-f(x),

.-.f(x+3)^f(x+2)-f(x+l),

兩式相加得，/(x+3)=-/(x),

.-./(x+6)=-/(x+3)=,

二函數(shù)的周期為6,

.?.”2025)="337x6+3)="3),

/⑴=2,〃8)=〃6+2)=〃2)=5,

.?.〃3)=〃2)-〃1)=5-2=3,

.?/(2025)=/(3)=3.

故答案為：3.

14.2-石##-百+2

【分析】設(shè)AQ=尤AP=ye[l-^,l],ZDCQ=ae[0,^],ZBCP=e[0,,

33o6

得出tana=l-x,tan夕=l-y,2石+孫=(白+l)(x+y),根據(jù)基本不等式求解即可.

【詳解】設(shè)AQ=xe[l—3,1],AP=ye[l-^,l],ZDCQ=ae[0,,ZBCP=^e[O,|],

3366

貝!Jtana=]_%,tan/?=1-y,tan(6Z+/?)=tan=—).+，/丁、二^-,

61一(1一3

整理得2白+孫=(指+l)(x+y),

因為2力+孫=(6+1)(苫+丫)22(石+1)^/^

答案第7頁，共12頁

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，解得歷w石-1或而之逝+3,

因為x,ye口-^^,1],

所以歷W后—1,則當(dāng)x=y=g-l時，△AP。的最大值為、孫=2-6,

故答案為：2-g.

12

15.(1)AM=a+—b,AN=—a+b

⑵(2,6)

【分析】(1)根據(jù)向量的線性運算求解；

(2)用4&4￡)表示4加,4",利用數(shù)量積的運算律求出AM-AN，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可

求其范圍.

【詳解】(1)當(dāng)A=1，加J時，

AM=AB+-BC=AB+-AD=a+-b,

222

AN=AC+-CD=AB+AD--AB=-AB+AD=-a+b.

3333

(2)當(dāng)—045=60,k=m'H,

AM=AB+kBC^AB+kAD，AN=AD+DN=AD+(\-k)AB,

故AN.AM=[(AO+(1-%)AB)1(AB+ZAO)

=kAD2+(l-k)AB2+(l+k-k2)ADAB

=左+4(1—左)+(1+左一左)xlx2xg

=-左2-2左+5=-(左+1?+6,

因為一1〈左<1,^2<AN-AM<6.

故AM-AN的取值范圍為(2,6).

16.(1)1

⑵工

9

(3)--

8

【分析】(1)將對數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)即可得解；

答案第8頁，共12頁

(2)根據(jù)sin]+cuj=sin—+2^+—結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式即可得解;

（3）先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求出log2X，log2%log2Z,再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可得解.

【詳解】⑴，2"=3,1叫3=604〃=3n22=3,

.2a-2。=1；

(2)

3

.(7;l\.F71J兀1]/兀)

I6JL2I3JJI3)

=1一2sin2[a+烏]=1-2=7.

I3；99

xy

(3)正實數(shù)無，y,z同時滿足下列三個方程log?

yz"2xz

7

logx-logj；-logz=-logx=-

222224

11,13

-log^+log2y-l°g2z=]n<log2)=一

28

I,115

-log^—log2y+logz=-logz=-

22212

log(x2yz)=21ogx+logy+logz=2

22228~12~~~8

17.⑴a=0

八兀271

⑵，,7L

oT

97i29TI

(3)Y'~6~

【分析】（1）利用二倍角公式、余弦正弦的兩角差及輔助角公式先化簡，再求解。的值;

（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性計算即可求解單調(diào)遞增區(qū)間;

（3）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可.

【詳解】（1）由題意可知:

f(x\=—cos2x+sin2x+-sin2x--cos2x+1+cos2x+a

v72222

=bsin2x+cos2x+l+a=2sinI2%+-^-1+1+a,

當(dāng)sin2得=1時，/(力3=2+1+°=3,

答案第9頁，共12頁

故。=0；

(2)令f=2x+生一在[0,可上單調(diào)遞增，且二W四，

666

TTTT137r

而y=2sinr+l在和上單調(diào)遞增，

_62J26

m【【兀/c7C7C37T_TC137r左R/口八//兀27c

因止匕一W2x+—W—,—<2x+—<---,解得OWxW—,——<X<TI,

66226663

二/⑺在xe[o,可的單調(diào)遞增區(qū)間為0常，g,兀.

jrTT|JI]

(3)令人=2%+—,xe---,〃，，貝!]%￡0,2〃+—,

6L127L6；

由題可知：2sink+1=0在0,2。+?〕上有9個根，即sinA=-L

L6j2

e55兀_兀，59K9兀/29兀

因止匕---<2QH—?----,即nn—<〃《---.

66626

故實數(shù)。的取值范圍是(Q彳TT，年297r.

126J

18.(1)-1

(2)(log32,+oo).

⑶存在，m=-1

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義計算/(-力=〃尤)，化簡求出可結(jié)果.

(2)函數(shù)y=/(x)-a有兩個零點，即方程/(x)=a有兩個實數(shù)根.化簡/(尤)，根據(jù)復(fù)合

函數(shù)單調(diào)性可求出f(x)的最小值，從而求出。的范圍.

(3)化簡g(x)可得出g(x)是以3'+3T為整體的二次型函數(shù)，令〃=3'+3-,根據(jù)二次函

數(shù)軸動區(qū)間定討論函數(shù)的最小值，即可求出加的值.

【詳解】(1)〃同=1%(9*+1)+丘是偶函數(shù)，

x

---/(-X)=f(x)gplog3(9*+1)+辰=log3(9-+1)-履對任意xeR恒成立,

2kx=log3(9-'+l)-log3(9^+1)=log3—=log31+]產(chǎn)=1嗎3-=-2x,

k——1.

(2)函數(shù)y=/(x)—a有兩個零點，即方程log3(9'+l)-x=a有兩個實數(shù)根.

l

令〃(x)=log3(9+l)-x=log3(3'+3-),則函數(shù)y=力⑺的圖象與直線y=。有兩個交點，

答案第10頁，共12頁

由復(fù)合函數(shù)的單遞性知，可力在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增,

當(dāng)尤T?一oo時，/l（X）f+8；當(dāng)龍f+8時，/z（x）^-+（x）；/l（0）=log32,

當(dāng)且僅當(dāng)3*=1即x=0時，等號成立.

3X

/.a>log32

a的取值范圍是0Og32,+8）.

(3)g(x)=9*+9r+m-3/(x)-1=9v+9x+m(3x+3-x)-1

=⑶+3f)2+〃?(3*+)-3,XG[0,log32],

令r=3、',/j.=t+~,貝!]re[1,2],〃e2,1,

G(〃)=〃2+川〃的最小值為0,

與m5m5

m與2<—<----->—

——<22222

2或<或

G(2)=0G0G(1二0

-5<m<-4m<—5

m>—41

或4加2或〈513=>m=——

2m+l=0--------3=0-m-\-=---02

4[24

19.(1)1

⑵導(dǎo)力(