平行線的拐點模型 專項訓練-2024-2025學年北京版七年級數(shù)學下冊常見幾何模型（解析版）

專題07.平行線的拐點模型專項訓練

本專題包含豬蹄模型（M型）與鋸齒模型、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。

1.（23-24七年級下?江蘇淮安?期中）如圖，平行于主光軸的光線和C。經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射

光線3區(qū)用的反向延長線交于主光軸上一點P.若/AfiE=140。，NCDF=150。，則/￡?尸的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.50°D.70°

【答案】D

【詳解】解：0Z4BE=14O°,ZCDF=150°,SZABP=180°-ZABE=4O°,ZCDP=180°-ZCDF-300,

BAB//CD//MN,aNBPN=ZABP=40。,ZDPN=NCDP=30°,

0ZEPF=ZBPN+ZDPN=40°+30°=70°.故選：D.

2.（23-24七年級下?北京?期末）如圖是一盞可調(diào)節(jié)臺燈，如圖為示意圖.固定支撐桿底座”N于點O,

AB與BC是分別可繞點A和8旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，臺燈燈罩可繞點C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，最外

側(cè)光線CD、CE組成的NDCE始終保持不變.現(xiàn)調(diào)節(jié)臺燈，使外側(cè)光線CD//MN,CE〃BA,若ZBAO=158°,

貝U"CE=.

【答案】68。/68度

【詳解】解:如圖所示，過點A作AG〃肱V,過點2作3”〃CD,

?CD〃MN,SAG//MN//BH//CD,BOA±MN,0AG±Q4,即N(MG=90°,

0Za4O=158°,0ZBAG=ZBAO-ZOAG=68°,EZABH=ZBAG=68°,

QCE^AB,BH//CD,0ZABC+ZBCE=180°=ZCBH+ZBCD,

D

0ZABH+ZCBH+ZBCE=180°=ZCBH+ZBCE+ZDCE,ZDCE=ZABH=68°,故答案為：68°.

3.（23-24七年級下?北京?期中）如圖，/BCD=90。，AB//DE,則N1與/2滿足.

【詳解】過C作CF||AB,

SAB\\DE,SAB\\CF\\DE,SZBCF=Z1,NDCF=180°—/2,

0ZBCZ）=9O°,0ZBCF+ZDCF=Z1+180°-Z2=90°,0Z2-Z1=9O°,故答案為：Z2-Zl=90°.

3.（23-24七年級下?北京西城?期中）如圖，AB//EF,ZC=90°,ZB=a,/D=/3,NE=y,則a、/、

Y的關系為.

【答案］"_7=90。

【詳解】解：延長。C交A8于G,延長C。交所于H.

直角ABGC中，Zl=90°-a；中，Z.2=p-y,

因為AB〃防，所以N1=N2,于是90。-[=笈-7,

故〃+萬一/=90。.故答案為：1+分一7=90。

4.（23-24七年級下?北京房山?期末）下面是解答一道幾何題時添加輔助線的方法，請完成證明.

已知：如圖，AB//CD.求證：ZAEC=ZA+ZC.

證明：如圖，過點E作直線MV〃AB.

【答案】見解析.

【詳解】證明：MN//AB,AB//CDMN\\CD

■：MN//AB:.ZAEM=ZA-.-MN//CD:.ZCEM=ZC

ZAEC=ZAEM+NCEMZAEC=ZA+ZC.

5.（23-24七年級下?北京東城?期末）如圖，已知AB〃a）〃EF〃GH.

⑴如圖1,M是直線跖上的點，寫出N54M、/AMC和/MCD的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；

（2汝口圖2,Af是直線上的點，寫出NBAAf、NAMC和NMCD的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；

⑶如圖3,點M,N分別是直線砂，GH上的動點，四個角44",ZAMN,ZMNC,/NCO之間的

數(shù)量關系有一種.（不要證明）

【答案】⑴N4MC=Zfi4M+ZMCD,證明見解析⑵/AMC+/54M+NMCD=360。，證明見解析⑶4

【詳解】（1）ZAMC=ZBAM+ZMCD,

證明：QAB〃跖，:.ZBAM=ZAME,QEF//CD,:.ZMCD=ZEMC,

ZAMC=ZAME+ZEMC=ZBAM+ZMCD■,

(2)ZAMC+ZBAM+ZMCD=360°,證明：QAB〃EF,..ZBAM+ZAMF=180°,

QEF//CD,ZFMC+ZMCD=180°,ZBAM+ZAMF+ZFMC+ZMCD=360°,

ZAMC=ZAMF+ZFMC,..ZAMC+ZBAM+ZMCD=360°；

(3)如圖1,ABAM+ZAMN+ZMNC+ZNCD=540°；

如圖2,ZBAM+ZAMN-ZMNC+ZNCD=180°；

如圖3,ZBAM-ZAMN+ZMNC+ZNCD=180°；

如圖4,ZAMN+ZMNC-ZBAM-ZNCD=180°；

四個角N54M,ZAMN,ZMNC,/NCD之間的數(shù)量關系有4種，故答案為：4.

CDCD

圖1圖2

6.（23-24七年級下?北京?期末）已知直線跖〃肱V,點A,8分別為E尸，ACV上的點，C為平面內(nèi)一點,

ACLBC,BD平分NCBN交EF于點、D.

⑴如圖1,若ZADB=70。,求/EAC的度數(shù)；(2)如圖2,直接寫出NE4c與NADB的數(shù)量關系.

［答案］(1)ZEAC=50°(2)ZEAC=2ZADB-900或NEAC=90°+2ZADB.

【詳解】(1)0EF〃MN,ZADB=7000ZDBN=ZADB=70°

回8。平分NCBN交斯于點。回Z.CBD=Z.DBN=70°

0ZCBM=180°-Z.CBD-ZDBN=40°如圖所示，過點C作CG〃EF

^\EF//MN^CG//MN^Z.GCB^Z.CBM^AQ°

0AC±BC0ZACB=9000ZACG=ZACB-ZGCB=50°

0CG//EF0ZEAC=ZACG=50°；

(2)如圖所示，過點C作。G〃￡F?EF〃MN,設ZADB=a?NDBN=ZADB=a

0B￡＞平分NCBN交EF于點?；豊CBD=ZDBN=a

0ZCBM=180?！猌CBD-ZDBN=180。—2a

^EF//MN^\CG//MN0ZGCB=NCBM=180°-2a

0AC±BC^ZACB=9000ZACG=ZACB-ZGCB=90°-(180°-2a)=2?-90°

0CG//EF0/EAC=ZACG=2a—90°ElZEAC=2ZADB-90°；

如圖所示，過點C作CG〃所，?EF〃MN,^ZADB=aSZDBN=ZADB=a

國5D平分/CBN交EF于點?；豊CBN=2ZDBN=2a

^\EF//MNSCG//MN0ZGCB=NCBN=2a

0AC±BC^ZACB=9000ZACG=ZACB-ZGCB=90°-2a

0CG//EF0NEAC=180°—ZACG=180°—(90°-2a)=90°+2?；?FAC.=90°+2ZADB

綜上所述，NEAC與NADB的數(shù)量關系為ZEAC=2ZADB-900或ZEAC=90°+2ZADB.

7.（23-24七年級下?北京?階段練習）如圖，AB〃CD,點、E、尸分別在直線4B、CD上，點。在直線48、CD之

間，/EOF=a。（1）若a=100。，求/3EO+/DR9的值；（2）如圖2,直線MN交NBEO、/CR9的角平分

線分別于點M、N,求NEM?V-/FNM的值（用含a的代數(shù)式表示）；⑶如圖3,EG在-4EO內(nèi)，

NAEG=nNOEG,FK在/DFO內(nèi),NDFK=n/OFK.直線MN交FK、EG分別于點、M、N,若a=130。，

NFMN—NENM=AO0,則〃的值是

Si圖2圖3

【答案】（1）260。；（2）90。一;c；（3）4.

【詳解】（1）解:過點。作

I3AB/7CD,AB//OP//CD,0ZBEO+ZEOP=180°,ZDFO+ZFOP^Q°,

回NBEO+/EOP+ZDFO+/FOP=360°,即NBEO+/EOF+/DFO=360°,

團NEO尸=100°,EZBEO+ZDFO=260°；

(2)解：過點M作過點、N作NH〃CD,延長R9交48于點Q,

回EAf平分/3EO,FN平分NCFO,回設/BJSW=/OEM=x,NCFN=NOFN=y,

0AB//CD,/EOF=a，回ZBQF=NCOF=2y,ZEOQ=180°-a,

0ZBEO=^BQF+ZEOQ,團2x=2y+180°-a,Ex-y=90°--?,

~~2

SMK//AB,NH//CD,AB//CD,^\AB//MK//NH//CD,

MEMK=NBEM=x,NHNF=NCFN=y,/KMN=NHNM,

0/EMN-NFNM=NEMK+NKMN-HNM+NHNF)

=x+^KMN-^HNM-y=x-y,故的值為90?！?；

22

圖3圖3

^\AB//CD,MAKF=/KFD,用NAKF=/EHK+NHEK=/EHK+/AEG,

&/KFD=/EHK+/AEG,0NEHK=/NMF-NENM=40。,

EI/^FD=40°+/AEG,BPZKFD-ZAEG=40°,

^ZAEG=nZOEG,FK在/?；?內(nèi)，/DFK=n/OFK.

0ZCFO=180°-ZDFK-ZOFK=180°-ZKFD--NKFD,

n

ZAEO=NAEG+ZOEG=ZAEG+-ZAEG,

n

回NEP尸=a=130。，回同(1)ZBEO+ZDFO=360°-130°=230°,

EI/AEO+/CFO=130°,S^AEG+-ZAEG+1^O-ZKFD--ZKFD^13Q°,

nn

即(1+L)(NKED-/AEG)=50。，0(1+-)X4O°=5O°,解得〃=4.故答案為：4.

nn

8.(23-24七年級下?北京?階段練習)如圖1,點E在48上，點E在CD上，點M在直線AB、CD之間，且

ZBEM+ZDFM=ZEMF,

圖1圖2圖3

⑴求證：AB〃CD；(2)如圖2所示，點M、N在A3、CD之間，且位于跖的異側(cè)，連MN,若2NM=3NN,

則NA￡M,NNFD,NN三個角之間存在何種數(shù)量關系，并說明理由.

(3汝口圖3,連接砂，ZEMF=90。；/EFM=a,且平分NEFD.^ZNFD=^ZMFD,FN與NBEM

的三等分線交于N,則NN=(用含a的式子表示).

【答案】(1)證明見解析⑵(NMVF=NAEM-NNFD,理由見解析⑶60。-ga或30°

0ZDFM=/FMN.^MN//CD.^AB//CD.

(2)|ZMNF=ZAEM-NFD,理由如下：如圖2,過點〃作加？〃45,過點N作NQ〃AB,

^\AB//CD,MP//AB,NQ//AB,^AB//CD//MP//NQ.

SZAEM=ZEMP,^PMN=ZMNQ,ZQNF=ZNFD.

0ZEMN=NEMP+ZPMN=ZAEM+ZMNQ,ZMNF=ZMNQ+ZQNF=ZMNQ+ZNFD.

3

[?]ZEMN-ZMNF=ZAEM-ZNFD.⑦2/EMN=3/MNF,R/EMN=—/MNF.

2

31

0-ZMNF-ZMNF=ZAEM-ZNFD.⑦一/MNF=/AEM—/NFD.

22

（3）=或30。；分兩種情況：

①當=時，如圖3-1,過點“作叱〃回，過點N作NQ〃A8,

國FM平分NEFD,ZEFM=a,ZMFDAEFMa,^NFD=-ZMFD=-a.

33

^AB//CD,MP//AB,,^AB//CD//MP.SZPMFZMFDa,NBEM=NEMP.

292

國NEMF=90。,^ZBEM=ZEMP=900-a.回N5EN=—N3￡Af=—（90。一a）=60。一一a,

33V73

17

團AB〃CD,NQ//AB,,^\AB//CD//NQ.^\ZQNF=ZNFD=-a,ZENQ=ZBEN=60°--a.

211

^\ZENF=ZENQ+ZQNF=60°--a+-a=60°--a.

②當=時，如圖3-2,過點〃作MP〃4B,過點N作N0〃A5,

同理可得：/QNF=NNFD=；a,ZENQ=ZBEN=|ZBEM=1（90°-a）=30°-1a.

0ZENF=ZENQ+ZQNF=30°-1?+1tz=30°.

9.（23-24七年級下?北京?期中）如圖，兩直線A3、CD平行，則/1+/2+/3+/4+/5+/6=（）.

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【詳解】分別過E點產(chǎn)點,G點,H點作L1,L2,L3,L4平行于AB

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角,

貝?。?I+/2+/3+N4+/5+N6=180°x5=900°.故選D

10.（23-24七年級下?北京順義?期末）如圖，AB//CD,若NABE=140。，ZCDE=100°,則/3團的大小

為（）

AB

CD

A.100°B.120°C.130°D.140°

【答案】B

【詳解】解：如圖，過點E作印〃AB,貝UNBEF=180°-NABE=180°—140°=40°,

AB//CD,..EF//CD,ZDEF=1800-ACDE=180°-100°=80°,

ZBED=ZBEF+ZDEF=400+80°=120°.故選：B.

AB

E-----------

CD

11.（23-24七年級下?北京石景山?期末）某籃球架及側(cè)面示意圖如圖所示，若NEE>C=150。，DE//AB,

CBLAS于點3,貝|/GCB=_____

曲I

圖1圖2

【答案】60

【詳解】解:過點C作C河〃DE,如圖，團NOCM+N￡DC=180。，

D\F

CXE

AB

0ZEDC=150°,0ZDCM=180°-ZEDC=180°-150°=30°，

ISDE//AB,SCM//AB,回CB_LAB于點2,0ZCBM=90°,

0ZBCM=180°-ZCBM=90°,0ZGCB=180°-ZBCM-ZDCM=180°-90°-30°=60°.故答案為：60

12.(23-24七年級下?北京石景山,期末)已知：直線A3〃CZ),。是AB,CD間的一點，NE(加與直線48,

CD分別交于點E,F.

備用圖1備用圖2

⑴如圖，ZEOF=90°,過。點作射線OG,NGO產(chǎn)與NAEO互余.求證：OG||C￡)；

⑵若/￡0/=磯0。<。<180。)，AAEO-/CFO=隊/3>0。),請用含a,尸的式子表示NAEO.

【答案】⑴證明見解析(2)ZAEO=或ZAEO=180°-三2

【詳解】(1)解：SZEOF=90°,S\ZEOG+ZGOF=90°,

EINGO尸與NAEO互余，13ZGOF+ZAEO=90°,^\ZEOG=ZAEO,SOG//AB,AB//CD,0(9G||Cr)；

(2)解：當如圖1,過。作O0〃AB,則0Q〃A5〃C￡),

0ZAEO=ZEOQ,ZCFO=ZFOQ,ffl/EOF=ZEOQ+ZFOQ=ZAEO+/CFO,

0ZAEO-NCFO=/3,I3NCOF=ZAEO-J8,又ZEOF=a,

^ZAEO+ZAEO-/3=a,回=

如圖2,過。作。?！?8,則O0〃A3〃C￡>,ZAEO+ZEOQ=1SQ°,ZCFO+ZFOQ=180°,

0ZEOF=ZEOQ+ZFOQ=180°-ZAEO+180°-ZCFO=360°-(ZAEO+ACFO),0

ZEOF+ZAEO+ZCFO=360°,

0ZAEO-NCFO=0,團NCOb=ZAEO-尸，又NEOF=a,

0?+ZAEO-B+AAEO=360,?ZAEO=360°+力=18（）o_幺吃，

22

綜上，ZAEO=^AEO=180°-.

22

13.（23-24七年級下?北京通州?期末）如圖1,AB//CD,ZPAB=150°,ZPCD=120°,求NAPC度數(shù).

小明的解題思路是：如圖2,過點尸作PE〃AB,通過平行線性質(zhì)，可分別求出/4/>E、NCPE的度數(shù),

從而可求出—APC的度數(shù)；

完成下列任務：（1）依據(jù)小明的思路寫出求NAPC的度數(shù)的完整解答過程；

⑵如圖3,AD//BC,直線與直線AD,3c分別相交于點G,H,這樣三條直線將平面分成六個區(qū)域.點

尸是平面內(nèi)任意一點，且滿足/AGP=No,=請你直接寫出點尸分別在6個區(qū)域運動時，ZGPH、

/a、”之間的數(shù)量關系，并選擇點尸在某一區(qū)域內(nèi)的情況進行證明.（點尸不在直線AD,BC,MN上）

【答案】⑴90。⑵當點P在區(qū)域①內(nèi)時，NGPH=B-a；當點P在區(qū)域②內(nèi)時，ZGPH=a+/3;當點P在

區(qū)域③內(nèi)時，NGPH="尸；當點尸在區(qū)域④內(nèi)時，NGPH=a-/；當點P在區(qū)域⑤內(nèi)時，ZGPH=360°-/3-a.

與點P在區(qū)域④內(nèi)同理可得NGPH=/3-a

【詳解】（1）解：過點尸作PE〃AB（如圖2）,貝l]NAPE=180°-NB4B=180°-150°=30°,

^PE//AB,AB//CD,BPE//CD,又/PCD=120°

ZCPE=180°-ZPCD=180°-120°=60°,ZAPC=ZAPE+Z.CPE=30°+60c=90°

(2)解：當點P在區(qū)域①內(nèi)時，NGPH=/3-a,

「同BL

M[G[HNMJ訃NM「/

過點P作PE//AD^^GPE=a^\AD//BC^PE//BC

0ZHPE=EZGPH=ZHPE-ZGPE=13-a；

當點尸在區(qū)域②內(nèi)時，NGPH=a+。，過點尸作PE〃ADEiNGPE=(z

^\AD//BC^PE//BC^NHPE=4回NGPH=Z.GPE+ZHPE=a+p.

當點P在區(qū)域③內(nèi)時，^GPH=a-p,與點尸在區(qū)域①內(nèi)同理可得NG/W=。-/?；

當點尸在區(qū)域④內(nèi)時，NGPH=a-B,過點尸作PE〃ADEINGPE=180。-。

ElAZ）〃BC團PE〃BC回N5E=180。一月回NGPH=NHPE—/GPE=180。一/一（180。一a）=a—/；

SAD//BC^\PE//BCS^HPE=1800-/3

0ZGPH=Z/7P￡+ZGPE=180°-/7+(180°-(z)=360°-a-/7；

當點尸在區(qū)域⑥內(nèi)時，NGPH=/3-a,與點尸在區(qū)域④內(nèi)同理可得=

14.(2024下?江蘇泰州?七年級統(tǒng)考期末)"抖空竹"是我國獨有的一項民族傳統(tǒng)健身項目，歷史悠久，源遠

流長，在我國有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊.圖1是某同學"抖空竹”的一個瞬間，若將圖1抽象成圖2

的數(shù)學問題：在平面內(nèi)，已知Z￡DC=110°,ZE=25°,則NEB4=度.

圖1圖2

【答案】85

【詳解】解：如圖，延長C。，交BE于點、F,

E

0ZEDC=110°,NE=25°,0AEFD=AEDC-ZE=85°.

QAB"CD,國NEBA=NEED=85°.故答案為：85.

15.（2024上?黑龍江哈爾濱?七年級校考期中）如圖，AB//DE,/MC的角平分線3P和NCDE的角平分

線DK的反向延長線交于點P,M2ZC+72°=ZP,則/C=

【詳解】解：如圖，延長KP交A3于點Q,令BC與PK相交于點F,?;AB〃DE,：.NBQK=NEDK,

?.?8尸平分/ABC,DK平分NCDE,:.ZABP=ZDBP,NEDK=NCDK,-.ZBQK=ZEDK=ZCDK,

?.?ZB尸產(chǎn)是V8PQ的外角，NCDK是ACD尸的外角，.?.NBPF=ZPBQ+NBQK,ZCDK=ZC+ZCFK,

ZBPF=ZPBD+ZC+ZCFK=ZPBD+ZC+ZBFP=ZC+(180°-NBPF),ZBPF=1zC+90°,

?;2NC+72。=NBPF,1ZC+90°=2ZC+72°,.-.ZC=12°,故答案為：12

16.（2024?廣東東莞?七年級?？计谥校?）如圖①，AB//CD,ZAEP=40°,ZPFD^130°,求NEPF

的度數(shù).（2）如圖②，AB//CD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,求NEPP的度數(shù)；

（3）如圖③，在（2）的條件下，NPE4的平分線和/PFC的平分線交于點G,求NG的度數(shù).

G

p*P.

圖①圖②圖③

【答案】(1)90°;(2)70°；(3)35。

【詳解】解；（1）如圖①，過點尸作尸

圖①

圖②

圖③

二.N1=NA￡P=4O。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），二45〃8已知）,

PM//CD平行于同一條直線的兩直線平行）,

.?.N2+/PED=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

ZPFD=130°(已知)，N2=180°-130°=50°,

.?.Zl+Z2=40°+50°=90°,即NEPF=90°；

（2）如圖②，過點尸作

NMPE=NAEP=50。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）,

CD（已知），，尸河〃CD平行于同一條直線的兩直線平行）,

NPFC=ZMPF=120°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

ZEPF=ZMPF-ZMPE=120°-50°=70°；

（3）如圖③，過點G作GW〃AB,〈EG是NPEA的平分線，F(xiàn)G是/PPC的平分線,

/AEG=-ZAEP=25°,ZGFC=-ZPFC=60°,

22

.?.NMGE=/AEG=25。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

■.-AB//CD（已知），；.GM〃CD（平行于同一條直線的兩直線平行），

2GFC=NMGF=60°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

二/G=ZMGF-ZMGE=60°-25°=35°.

17.（2024?山東臨沂?七年級統(tǒng)考期末）在綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩條平行線AB,8和一塊

含60。的直角三角尺跖G（ZEFG=90°,ZEGF=60°）.

⑴如圖（1）,若三角尺的60。角的頂點G放在8上，若N2=2N1,求N1的度數(shù)；⑵如圖（2）,小穎把三

角尺的兩個銳角的頂點及G分別放在和8上，請你探索并說明1AEF與ZFGC間的數(shù)量關系.

【答案】（l）40o（2）NA￡F+/FGC=90°,理由見解析

【詳解】（1）解：;AB〃CD,:.N1=NEGD,

又N2=2Z1,Z2=2ZEGD,/.Z2+ZEGD=180°-ZEGF,

oo

又?.?ZFGE=60°,AZEG￡>=1（180°-60）=40°,.-.Zl=40;

（2）解：ZAEF+ZFGC^90°,理由：?：AB//CD,ZAEG+ZCGE^180°,

即ZAEF+ZFEG+ZEGF+ZFGC=180°,

又ZFEG+ZEGF=90。，；.ZAEF+ZFGC=90°.

18.（2024?廣東東莞?七年級校考階段練習）如圖，已知直線AB〃CD,直線L和直線AB,8分別交于

⑴如圖1,點P在E,尸之間運動時，ZPMB,NMPN,ZPNE>之間有什么關系，并說明理由；

⑵若點尸在E,b兩點外側(cè)運動時，如圖2和圖3（尸點與E,尸不重合），試直接寫出NPMB,NMPN,

ZPNO之間有什么關系，不必寫理由.

【答案】⑴NPMB+ZMPN+NPND=33；⑦ZMPN=ZPMB—ZPND或ZMPN=NPND-/PMB；

【詳解】（1）解：ZPMB+ZMPN+ZPND=360°.理由如下：作尸G〃A3,如圖1,

^AB//CD,SCD//PG,EZBMP+ZMPG=180°,ZPND+ZNPG=180°,

ElZBMP+ZMPG+ZNPG+ZPND=360°,即Z.PMB+ZMPN+ZPND=360°：

(2)如圖，作PG〃AB,QAB//CD,SCD//PG,0ZPMB+ZMPG=180°,ZPND+ZNPG=180°,

BPZMPG=\S0°-ZPMB,ZNPG=180°-ZPND,

在圖2中，ZNPG-ZMPG=ZPMB-ZPND,於ZMPN=NPMB—NPND；

在圖3中，ZMPG-ZNPG=ZPND-ZPMB,BPZMPN=ZPND-ZPMB,

綜上所述，ZMPN=ZPMB-ZPNDZMPN=ZPND-ZPMB.

19.(2024上?北京西城?八年級?？奸_學考試)如圖，CD//BE,NC=45。，ZA=NB,則

c

【答案】22.5。/22.5度

【分析】由平行線的性質(zhì)推出/A7方=NC=45。，由外角的性質(zhì)和=即可可解.

【詳解】解：BCD//BE,ZC=45°,回NAFE=NC=45°,

EIZAFE^ZA+ZB,ZA=NB,02?B45?,0ZB=22.5°,故答案為：22.5°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握上述知識是解題的關鍵.平行線的性質(zhì)：

兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補；三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它

不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

20.（2023下?北京朝陽?七年級?？计谀┤鐖D，已知AB〃CD,NDFE=135°,求的度數(shù).

【答案】45°

【詳解】解：;ZDFE=135。,ACFE=180°-ADFE=180°-135°=45°,

■：AB//CD,ZABE=ZCFE=45°,/4BE的度數(shù)為45。.

21.（2024下?江蘇南京?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD,CE1BE,則一3與NC一定滿足的關系是（）

A.ZB=ZCB.ZB=2ZCC.ZB+ZC=90°D.ZB+ZC=180°

【答案】C

【詳解】解：如圖:

SAB//CD,0ZB=Z1,ECE1BE,0ZCES=90°,

0ZC+Z1=9O°,ElZC+ZB=90°,故選：C.

22.（2023下?北京海淀?七年級?？计谀┤鐖D，已知AB//CD,猜想圖①，圖②，圖③中，ZB,ZE,

ZD之間有何數(shù)量關系?請用等式表示出它們的關系，并選擇其中的兩個等式說明理由.

CD

圖③

【答案】①ZB+ZE+ZD=360°,詳見解析；②/D=/B+/E,詳見解析；③/B=ND+/E,詳

見解析

【詳解】①NB+/E+N￡)=360。，理由：如圖1,過點E作EF//AB,

ABE

圖1圖2

0ABHCD,0EF\\CD,回^B+^BEF=18&,+DEF=180°,

0ZB+ZBEF+ZDEF+ZD=360°,即ZB+ZBED+ZD=360°;

②ND=NB+NE,理由：EAB//CD,ENAFE=ND,

0^AFE+^EFB=^EFB+^B+ZE=180°,0NAFE=NB+NE,即ND=/B+NE；

③NB=ND+NE,理由：如圖2,延長AB交.DE于點F,0AB//CD,0XD^ZEFA,

0^EFA+ZE+ZEBF=ZEBF+ZEBA=180°,0/EFA+/E=/EBA,即NEBA=ND+NE.

23.（2024?四川廣元?三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過8、C、。三點，拐彎后與原來方向相同，如圖,

若/AfiC=120。，/BCD=80。，則NCDE等于（）

【答案】D

【詳解】解：過點C作C尸〃AB,0ZABC+ZBCF=180°,

0ZABC=120°,0ZBCF=180°-ZABC=180°-120°=60°；

0ZBCD=80°,0NDCF=80°-ZBCF=80°-60°=20°；

由題意小〃AB,BCF//DE,SZCDE=ZDCF=20°.故選：D

24.（2023下?廣東梅州?七年級統(tǒng)考期末）某街道要修建一條管道，如圖，管道從A站沿北偏東60。方向到B

站，從2站沿北偏西20。方向到C站，為了保持水管CE與A3方向一致，則/3CE為°.

【答案】100

【詳解】解：如圖所示,

為了保持水管CE與A8方向一致，則A￡>||3RCE||AB,由題可得，ZA=60°,ZCBF=20°,

^AD//BF,SZA+ZABF=180°,回/旗b=180°—/4=120°,

0/ABC=/ABF-/CBF=120°—20°=100°,

又@CE〃AB,回4CE=—ABC=100°,故答案為：100.

25.（2024下?四川廣元?七年級校聯(lián)考期中）如圖，AB//DE,ZABC=80°,ZCZ）E=140°,則/BCD的度

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【詳解】解：如圖，延長EO交8C于點B，

c

■.■AB//DE,/.ZASC=ZBFD=80°,/.Z.DFC=180°-ZBFD=100°

QZ.CDE=Z.DFC+ZBCD=：140°,/.ZBCD=140°-ZDFC=140°-100°=40°,故選：D.

26.(2023?陜西咸陽?七年級統(tǒng)考期中)如圖，已知且/C=110。，試探究N1與/2的數(shù)量關系.

【答案】Z2=Z1+7O°

【詳解】解：過點C作CF〃M，如圖:

則C尸〃EZBCF=Z1,ZDCF+Z2=180°,

0ZBCD=110°,0NDCF=1100-ZBCF=110°-Z1,

I31100-Z1+Z2=1800,0Z2=Z1+7O°.

27.(2024下?江西撫州?七年級統(tǒng)考期末)【探究感知】如圖1,AB//DE,ZB=60°,ZD=130°,求/BCD

的度數(shù)；請將下面解答過程中的依據(jù)填寫在括號內(nèi)：

解：作CF〃AB,(①),

?.?ZB=60°,.-.Zl=60o,

■■AB//DE,CF//AB,

:.CF//DE(②),

.-.Z2+ZD=180o(⑶),

VZD=130°,.-.Z2=50o,ZBCD=Z1+Z2=110°.

【類比應用】如圖2,AB//DE,NB=60。，ND=130。，則N3CD的度數(shù)是；

【拓展延伸】如圖3,AB//DE,ZABC=&）°,NCDE=130°,/ABC與NCDE的平分線相交于點R求

【答案】【探究感知】①兩直線平行，內(nèi)錯角相等；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補；【類比應用】70。；【拓展延伸】35。.

【詳解】探究感知解：作CF〃AB,二4=/1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

?.?ZB=60°,.-.Zl=60°,

-,-AB//DE,CF//AB,:.C