平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用（基礎(chǔ)題+提升題+壓軸題）-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí)（北師大版）

（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章相交線與平行線》

專題平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

（基礎(chǔ)題&提升題&壓軸題）

一、基礎(chǔ)題

1.（2024秋?武功縣期末）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)。，E,P分別在AB、BC、AC上，MEF//AB,

要使DF〃BC,還需要添加條件（）

A./B=/lB.Z1=Z3C./B=N3D./B=/2

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行同位角相等，得出=再根據(jù)平行線的判定定理，找出符

合要求的答案.

【解答】解：A.VZB=Z1,可由E/〃AB得出，不用添加，不能得出E尸〃AB,故此選項(xiàng)不符合題意;

B、,；EF〃AB,；.NB=/1,若添加Nl=/3,則NB=/3,還是不能得出E尸〃A2,故此選項(xiàng)不符合題

思；

C.'：EF//AB,：.ZB=Z1,若添加NB=/3,則N1=N3,還是不能得出故此選項(xiàng)不符合題

忌；

。、,JEF//AB,.*.ZB=Z1,若添加/B=N2,則/1=N2,J.DF//BC,故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Z1=Z2B.如果N2=30°,貝!］有AC〃1)E

C.如果N2=45°,則有N4=/DD.如果N2=50°,貝U有BC〃AE

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)一一判斷即可

【解答】解："：ZCAB=ZDAE=90°,

.-.Z1=Z3,故A錯(cuò)誤.

VZ2=30°,

；./1=/3=60°

：.ZCAE=9Q°+60°=150°,

AZ￡+ZCAE=180°,

C.AC//DE,故B正確，

VZ2=45°,

.?.Z1=Z2=Z3=45°,

VZE+Z3=ZB+Z4,

；./4=30°,

VZD=60°,

...N4WND,故C錯(cuò)誤，

VZ2=50°,

.".Z3=40°,

...NBWN3,

.?.8C不平行AE,故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

3.（2024秋?蓮池區(qū)期末）我市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品牌共享單車放

在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中A8,CD都與地面/平行，NBCD=60°,ZBAC=50°,

當(dāng)/MAC為（）度時(shí)，AM//BE.

圖②

A.15B.65C.70D.115

【分析】根據(jù)已知易得：AB//CD,然后利用平行線的性質(zhì)可得NBCD=/42C=60°,再利用三角形內(nèi)

角和定理可得NACB=70°,最后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得當(dāng)NK4C=/ACB=70°時(shí)，AM//

BE,即可解答.

【解答】解：CD//1,

：.AB//CD,

：.ZBCD^ZABC^60°,

VZBAC=50°,

：.ZACB=180°-ABAC-ZABC=70°,

.?.當(dāng)/MAC=/ACB=70°時(shí)，AM//BE,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2024秋?望花區(qū)校級(jí)期末）如圖，AF//CD,BC平分NACDBD平分/EBF,且BCLLBD下列結(jié)論:

①8c平分/A8E；

?AC//BE；

③/8。+/。=90°；

?ZDBF=60°.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【分析】由得到/CBE+ND8E=90°,ZBCD+ZD=9Q°,則可對(duì)③進(jìn)行判斷；再由平行線的

性質(zhì)得由角平分線定義得則/CBE=/BCE,而NABC=/BCE,所以/

ABC=/CBE,則可對(duì)①進(jìn)行判斷；接著由BC平分/ACD得到NACB=N8CE,所以NACB=NC8E,根

據(jù)平行線的判定即可得到AC//BE,于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；當(dāng)/DBF=2乙48C,3ZABC=90°,ZABC

=30°,ZDBF=60°,利用平行線的性質(zhì)得到Nr>EB=/ABE=2NABC,又因?yàn)镹D=N￡)BE=/。8尸，

ND，/BED,于是可得尸W2/ABC,當(dāng)則可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【解答】解：

：.ZCBD=90°,^\iZCBE+ZDBE=9Q°,

：.ZBCD+ZD=90°,所以③正確；

'：AF//CD,

：.ZD=ZDBF,

:BD平分NEBF,

：./DBF=ZDBE,

：.ZCBE=ZBCE,

,JAB//CE

：.NABC=/BCE,

：.NABC=NCBE,

.?.BC平分/A3E,所以①正確；

平分NACO,

ZACB=ZBCE,

：.ZACB=ZCBE,

：.AC//BE,所以②正確；

當(dāng)NOB/=2NABC時(shí)，3/ABC=90°,

ZABC=30°,

：.ZDBF=60°,

ZDEB=ZABE=2ZABC,

而ZD=ZDBE=ZDBF,

NDW/BED,

：.ZDBF^2ZABC,

；./DBF#60°.故④錯(cuò)誤.

故正確的結(jié)論有3個(gè).

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行

線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論,

切莫混淆.

5.（2024秋?玉門市期末）如圖，AB//CD//EF,則下列各式中正確的是（）

C.N2+N3=180°-Z1D.N2+N3=180°+Z1

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到/2+/BOC=180°,ZBDC+Z1=Z3,從而可找到/I、/2、N3之

間的關(guān)系.

【解答】解：

AZ2+ZB￡?C=180°,即N8OC=180°-Z2,

,JEF//CD,

：.ZBDC+Z1=Z3,即/8OC=/3-Nl,

/.180°-Z2=Z3-Zl,即N2+N3=180°+N1,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行=同位角

相等，②兩直線平行臺(tái)內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行=同旁內(nèi)角互補(bǔ).

6.（2024春?泰山區(qū)期中）如圖，AF與8。相交于點(diǎn)C,ZB=ZACB,且CD平分/ECE判斷直線A3、

CE是否平行？并說(shuō)明理由.

AE

—夫-------°

F

【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合對(duì)頂角得到NECO=/AC2,則可證明N2=NECD,根據(jù)平行線的判

定即可證明AB//CE.

【解答】解:AB//CE,理由如下：

因?yàn)镃D平分/ECF,

所以/ECD=NFCD.

因?yàn)镹ACB=/FC。，

所以NECO=NACB.

因?yàn)镹B=NACB,

所以NB=/ECD

所以AB〃CE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，掌握“同位角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵.

7.（2024秋?德城區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCZ）中，NA=NC=90°,BE平分NABC交于E,

。廠平分/ADC交BC于足求證：BE//DF.

【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理及角平分線定義求出NEBC+NEDC=90°,結(jié)合直角三角形的性質(zhì)推出

/E2C=Nr>PC,根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得解.

【解答】證明：*../A=NC=90°,

AZABC+ZADC=360°-90°-90°=180°,

：BE平分NABC,。尸平分/A￡>C,

11

ZEBC=^ZABC,ZFDC=^ZADC,

1

ZEBC+ZFDC=1（NABC+/ADC）=90°,

VZC=90°,

AZFDC+ZDFC=9Q°,

：.ZDFC=ZEBC,

J.BE//DF.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2024秋?輝縣市校級(jí)期末）如圖，已知/1=N2,N3=N4,N5=NA,試說(shuō)明：BE//CF.

【分析】按照所給的證明思路，利用平行線的判定與性質(zhì)定理即可解答.

【解答】解：：/3=/4（已知），

...AE〃BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），

；.NEDC=N5（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

VZ5=ZA（已知）,

：.ZEDC=ZA（等量代換），

：.DC//AB（同位角相等，兩直線平行），

.,.Z5+ZABC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

BPZ5+Z2+Z3=180°,

VZ1=Z2（已知），

.,.Z5+Zl+Z3=180°（等量代換），

即NBCF+N3=180°,

...8E〃CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

9.(2024春?平羅縣期末)如圖，Z1=ZB,NB+/BFD=90°.

(1)若/2=125°,求/C的度數(shù)；

(2)若/I和/?；ビ?，你能試著判斷AB〃CD嗎？

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定得出B〃班，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NC+N2=180°,據(jù)此計(jì)算即

可得出答案；

(2)先根據(jù)=余角的性質(zhì)得出推出即可證明結(jié)論.

【解答】(1)解：=

J.CF//EB,

.,.ZC+Z2=180°,

又。22=125°,

：.ZC=55°；

(2)證明：VZ1=ZB,NB+NBFD=90°,

：.Z1+ZBFD=9O°,

又和/。互余，即/1+/。=90°,

:./BFD=/D,

：.AB//CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性

質(zhì).

10.(2024秋?太康縣期末)如圖，△ABC中，。是AC上一點(diǎn)，過(guò)。作。E〃BC交A8于￡點(diǎn)，尸是BC

上一點(diǎn)，連接DR若=

(1)求證：DF//AB.

(2)若Nl=50°,DF平分/CDE,求NC的度數(shù).

【分析】(1)WDE//BC,得出/AE￡)=NB,又因?yàn)?1=NAE。，等量代換得/B=N1,最后根據(jù)同

位角相等，兩直線平行即可證明；

(2)根據(jù)DE〃2C,得出/EDF=N1=5O°,再根據(jù)。尸平分/CDE,得出/CZ)P=/ED廣=50°,最

后在△€?尸中利用三角形內(nèi)角和等于180°即可求解.

【解答】解：⑴證明：［Z>E〃8C,

/AED=NB,

又=

.*.ZB=Z1,

J.DF//AB-,

(2)'：DE//BC,

AZ￡DF=Z1=50°,

,:DF平分NCDE,

：.ZC￡)F=ZEDF^50°,

在△CD尸中，

,.,ZC+Zl+ZCDF=180°,

；./C=180°-Z1-ZCDF=180--50°-50°=80°.

答：/C的度數(shù)為80°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握題中各角之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

11.(2024春?臨川區(qū)校級(jí)月考)如圖，已知點(diǎn)E在8。上，EA平分/BEF,EC平分/DEF.

(1)試說(shuō)明：AE±CE；

(2)若N1=NA,N2=NC,試說(shuō)明：AB//CD.

C

AF

【分析】(1)根據(jù)垂直的定義，角平分線的定義解答即可；

(2)根據(jù)平行線的判定解答即可.

【解答】證明：(1)平分NBEF且石。平分NOEF,

11

:?/\=烹(BEF,N2="DEF,

VZBEF+ZDEF=180°,

.*.Zl+Z2=90°,

AZAEC=90°,

：.AE±CE；

(2)VZ1=ZA,Z2=ZC,

???N1+NA+N2+NC=2(Z1+Z2)=180°,

：.ZB+ZD=(180°-2Z1)+(180°-2Z2)=360°-2(Z1+Z2)=180°,

.'.AB//CD.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定和角平分線的定義，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定定理解答.

二、提升題

1.(2024秋?北倍區(qū)校級(jí)期末)如圖，直線MN分別交直線AB,CD于點(diǎn)E,F,AB//CD,EP與FP交于

點(diǎn)P,且/FEP=2/BEP,NEFP=3/DFP,/BEP=40°,貝|/尸=

【分析】由/FEP=2/BEP,ZBEP=40°,得到/五￡尸=80°,120°,由平行線的性質(zhì)推出

ZEFD+ZBEF=1SO°,得到NEED=60°,求出=45°,由三角形內(nèi)角和定理即可得

到N尸的度數(shù).

【解答】解：?:NFEP=2/BEP,NBEP=40：

：.ZFEP=8O°,ZBEF=3ZBEP=120°,

'JAB//CD,

：.ZEFD+ZBEF=1SO°,

：.ZEFD=60°,

*：/EFP=3NDFP,

ZEFP=X6O°=45°,

；./P=18O°-45°-80°=55°.

故答案為：55°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推/石9+/8W=180。.

2.（2024秋?黔江區(qū)期末）將一副三角板如圖放置，則下列結(jié)論中正確的是（）

①如果N2=30°,則有AC〃Z）E；

②/BAE+/CAZ）=18（r；

③如果BC〃A￡>,貝U有N2=45°；

④如果NCA￡）=150°,必有/4=NC.

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定，余角的性質(zhì)，等逐項(xiàng)分析并選擇正確的選項(xiàng)即可.

【解答】解：①：N2=30°,.?./1=60°,.../UNE,...ACaOE,故①正確；

②：N1+N2=9O°,N2+/3=90°,

.".ZBAE+ZCAD=Z2+Z1+Z2+Z3=9O0+90°=180°,故②正確；

@'：BC//AD,

.,.Zl+Z2+Z3+ZC=180°,

又：/C=45°,Zl+Z2=90°,

.\Z3=45°,

.,.Z2=90°-45°=45°,故③正確；

@VZCAD=150°,ZDAE=90°,

：.Z1=ZCAD-ZDAE=150°-90°=60°,

VZE=60°,

：.Z1=ZE,

J.AC//DE,

Z4=ZC,故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角板中的角度計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2024秋?丹徒區(qū)期末）為了保護(hù)眼睛，小明將臺(tái)燈更換為護(hù)眼臺(tái)燈（圖①），其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座

高度忽略不計(jì)）如圖②所示，其中BC±AB,ED//AB.經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)，當(dāng)/。C2=140°時(shí)，臺(tái)燈光線最

佳，此時(shí)NEOC的大小為.

①

【分析】過(guò)C作CF//AB,得到C尸〃。根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得出結(jié)果.

【解答】-：BC±AB,

：.ZB=90°,

過(guò)點(diǎn)C作CF//AB,

：.CF//DE//AB,

AZ￡DC=180°-ZDCF,

ZBCF=180°-ZB=180°-90°=90°,

,/ZDCF=ZDCB-BCF=140°-90°=50°,

AZ￡DC=180°-50°=130°.

故答案為：130°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過(guò)C作C/〃A8,得至由平行線的性質(zhì)來(lái)解

決問(wèn)題.

4.（2024秋?淮陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）一副直角三角尺按如圖1所示的方式疊放，現(xiàn)將含45°角的三角尺ADE

固定不動(dòng)，將含30°角的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至圖2的位置.在此轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，若BC與三

角尺AOE的一直角邊平行，則/CAE的度數(shù)為

【分析】如圖，當(dāng)8c〃OE時(shí)，當(dāng)AO〃8c時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，當(dāng)2C〃OE時(shí)，NCAE=45°-30°=15°；

如圖，當(dāng)時(shí)，ZCAE=45°+60°=105°；

c

A

綜上所述，若BC與三角尺ADE的一直角邊平行，則NC4E的度數(shù)為15°或105°,

故答案為：15°或105°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)

求解是解答此題的關(guān)鍵.

5.(2023秋?蕪湖縣期中)四邊形ABC。中，ZA=ZC=90°,BE、DE分別是/ABC、/ADC的平分線.

求證：

(1)Zl+Z2=90°；

(2)BE//DF.

【分析】⑴根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得NA2C+N">C=180。，然后，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得出;

(2)由互余可得/1=/。/C,根據(jù)平行線的判定，即可得出.

【解答】證明：(1)'.'BE,分別是/ABC,NADC的平分線，

：.Z1=ZABE,Z2=ZADF,

VZA=ZC=90°,

AZABC+ZADC=180°,

：.2(Z1+Z2)=180°,

.".Zl+Z2=90°；

（2）在△人?￡）中，VZC=90°,

：.ZDFC+Z2=90°,

VZ1+Z2=9O°,

：.Z1=ZDFC,

J.BE//DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握四邊形內(nèi)角和為360度，同位角相等，兩直線

平行.

6.（2024春?盧龍縣期末）如圖，NA=59°,ZD=121°,Z1=3Z2,Z2=24°，點(diǎn)尸是8C上的一點(diǎn).

（1）求NOFE的度數(shù)；

（2）若NBF尸=48°,請(qǐng)判斷CE與P廠是否平行.

【分析】（1）根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角的定義，即可得出結(jié)論;

（2）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）?.?NA=59°,ZD=l2l°,

???NA+ND=180°,

：.AB//CD,

：.ZDFE=Z1,

VZ1=3Z2,N2=24。,

：.ZDFE=72°；

（2）CE//PF,

理由：-：ZDFE=72°,

：.ZBFC=72°,

VZBFP=48°,

ZPFC=12°-48°=24°,

VZ2=24°,

：.ZPFC=Z2,

J.CE//PF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、同位角、內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是：（1）能夠找

出一個(gè)角的同位角、內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角；（2）得出AB//CD；（3）熟悉各平行線的判定定理.本題屬

于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)相等（或互補(bǔ)）的角證出兩直線平行是關(guān)鍵.

7.（2024春?濱?？h月考）已知：如圖所示，ZABD和N3OC的平分線交于點(diǎn)E,BE交CD于點(diǎn)F,

NBED=90°

（1）AB與CD平行嗎？試說(shuō)明理由.

（2）試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】（1）已知BE、OE平分N4B。、ZBDC,且/歹B￡）+/BOE=90°,可得180°,

根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得兩直線平行.

（2）已知/3磯＞=90°,那么,將等角代換，即可得出與N2DE的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：（1）48與0＞平行，理由如下：

；BE、OE平分NAB￡）、ZBDC,

11

ZFBD=今NABD,ZBDE=^ZBDC；

9：ZBED=90°

，NFBD+NBDE=9U°,

ZABD+ZBDC=180°,

：.AB//CD；（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

(2)ZEFD+ZBDE=90°,理由如下:

TOE平分N3DC,

:./BDE=NFDE；

：.ZBED=90°=ZDEF,

：.ZEFD+ZFDE=90a,

；.NEFD+NBDE=90°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵，難度不大.

8.(2024秋?達(dá)川區(qū)期末)如圖，在△ABC中，/ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作。E〃BC交

A8于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。e〃BE交AC于點(diǎn)?

(1)求證：DF是N4DE的平分線；

(2)若NBED=28°,若NACB=81°,求/AND的度數(shù).

【分析】(1)利用角平分線的定義可得再利用平行線的性質(zhì)可得/。匹=/圓￡從而

可得NDEB=NABE,然后再利用平行線的性質(zhì)可得N4DP=N4BE,ZEDF=ZDEB,從而利用等量代

換可得/4。/=/即尸，即可解答；

(2)利用平行線的性質(zhì)可得/A磯＞=NACB=81°,然后利用平行線的性質(zhì)可得/即尸=/2￡￡)=28°,

再利用三角形的外角性質(zhì)可得乙由0=/尸/歷+/。后/=109°,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】(1)證明：是NABC的平分線，

/./ABE=NCBE,

,:DE〃BC,

；./DEB=NCBE,

ZDEB=ZABE,

'."DF//BE,

ZADF=AABE,ZEDF=ADEB,

ZADF=ZEDF,

.??。e是/4。后的平分線；

(2)解：-：DE//BC,

，ZAED=ZACB=Sl

'：DF//BE,

:.NEDF=NBED=28°,

,?ZAFD是ADFE的一個(gè)外角，

ZAFD=ZFDE+ZDEF=2S°+81°=109°,

：.ZAFD的度數(shù)為109°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義，以及平行線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

9.(2024春?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期中)如圖，直線跖與直線A8,C。分別相交于點(diǎn)M,O,OP,。。分別平分/

COE^ZDOE,與AB交于點(diǎn)P,Q,已知NOPQ+/Z)OQ=90°.

(1)若/DOQ：ZDOF=2：5,求NFOQ的度數(shù)；

【分析】(1)由。。分別平分/QOE,得到/EOQ=/。。。，又/。。。：ZDOF=2：5,推出/￡。。=

xl80=40

2+2+5°°，即可求出//。0=180°-Z￡O2=140°；

11

(2)由角平分線定義推出NPOQ=*COO=/180°=90°,得到NPQO+NO尸。=90°,又NOPQ+

ZDOQ=9Q°,得至IJNPQO=NDO。，推出A3〃C￡).

【解答】解：(1)???。。分別平分N0OE,

：.ZEOQ=ZDOQf

'：ZDOQ：ZDOF=2：5,

/.ZEOQ：ZDOQ：ZDOF=2：2：5,

VZEOQ+ZDOQ+ZDOF=180°,

2

：?4EOQ=2+；+5X180。=40°,

：.ZFOQ=180°-ZEOe=140°；

(2)VOP,。。分別平分NCOE和NOOE,

11

APOM=^ZCOM,ZQOM=^ZDOM,

i

ZPOM+ZQOM=/(ZCOM+ZDOM),

ZPOQ=^ZCOD=1X18O0=90°,

：.ZPQO+ZOPQ=90°,

'：ZOPQ+ZDOQ^90°,

：.ZPQO=ZDOQ,

J.AB//CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，角平分線定義，關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法；由角平分線定義，推

11

出//O0=RCOD=/18O°=90。.

10.（2024秋?青山區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)E、尸在直線A3上，點(diǎn)G在線段C。上，ED馬FG交于點(diǎn)、H,

NC=NEFG,ZCED^ZGHD.

（1）求證：CE//GF；

（2）試判斷NAEZ）與NO之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若/EHB=100°,/。=30°,求的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證CE〃GR

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NC=NFGO,根據(jù)等量關(guān)系可得NFGO=NEFG,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線

平行可得再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/AM與ND之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）根據(jù)對(duì)頂角相等可求/OHG,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求/CG凡根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NC,Z

AEC,再根據(jù)平角的定義可求NAEM的度數(shù).

【解答】（1）證明：

：.CE//GF；

(2)解：'：CE//GF,

：.ZC=ZFGD,

?:NC=NEFG,

：.ZFGD=ZEFG,

J.AB//CD,

：.ZAED+ZD=180°；

(3),/ZDHG=ZEHF=100°,ZD=30°,

AZCGF=100°+30°=130°,

'：CE//GF,

AZC=180°-130°=50°,

"JAB//CD,

：.ZAEC=50°,

AZAEM=180°-50°=130°.

【點(diǎn)評(píng)】考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平角的定義，平行線的性質(zhì)有：同位角相等兩

直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；平行線的性質(zhì)有：兩直線平行同位角相等；

兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).

11.(2024春?雙流區(qū)校級(jí)月考)如圖1,把一塊含30°的直角三角板A3C的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺。所G

的EP邊上.

(1)填空：Nl=°,N2=

(2)如圖2,現(xiàn)把三角板繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)0<〃<90,且點(diǎn)C恰好落在。G邊上時(shí)，若N2恰

好是/I的|倍，求w的值；

(3)如圖1三角板A8C的放置，現(xiàn)將射線8尸繞點(diǎn)B以每秒2°的轉(zhuǎn)速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線同時(shí)

射線繞點(diǎn)。以每秒3。的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線QM當(dāng)射線QN旋轉(zhuǎn)至第一次與Q8重合時(shí)，則

射線BM、QN均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為f(s).在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在BM〃QN；若存在，求出此

時(shí)r的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；

3

(2)根據(jù)N2恰好是N1的5倍列方程，計(jì)算可求解；

(3)分兩種情況，根據(jù)NAQN=NA5M畫出圖形，列方程可解得答案.

【解答】解：(1)-DG//EF,

：.ZAQG=ZABC=60°,Z2=ZACF=90°,

AZI=180°-60°=120°；

故答案為：120,90；

3

(2)???N2恰好是N1的二倍，

2

3

.?，90+n=|(120-n),

解得n=36,

?"的值是36；

(3)存在BM〃NQ,理由如下：

如圖：則(2力°,ZAQN=(3力°，

9：BM//NQ,

：.ZAQN=ZABM=ZABF-ZFBM,

?,.3/=60-23

解得/=12；

N

*：BM//NQ,

：.ZABM=ZBQN,

???2%-60=180-3萬(wàn),

解得％=48,

綜上所述，/的值為12或48.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理并能熟練應(yīng)用.

三、壓軸題

1.（2024秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C,分別引兩條射線A3、CD.ZBAF=100°,

CO與AB在直線所異側(cè).若/。。尸=60°,射線A3、C￡?分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和6度/秒的速度

同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為f秒，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)間方的值為時(shí)，CD

與AB平行.

【分析】分①42與CD在即的兩側(cè)，分別表示出NACZ）與NBAC,然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，列

式計(jì)算即可得解；

②。旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出NQCF與/BAC,然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式

計(jì)算即可得解；

③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在E尸的左側(cè)，分別表示出NDC尸與N8AC,然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式

計(jì)算即可得解.

【解答】解：分三種情況：

如圖①，與CO在所的兩側(cè)時(shí)，

VZBAF=110°,ZDCF^60°,

AZACD=180°-60°-(6?)°=120°-(6r)°,ZBAC=100°-t°,

要使A8〃C。，則

即120°-(6力°=100°-f,

解得f=4；

此時(shí)(180°-60°)4-6=20,

.".0<r<20；

②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，

VZJBAF=100°,ZDCF=60°,

：.ZDCF=360°-(6力°-60°=300°-(6力°,ZBAC=100°-f,

要使48〃CD,則NOd/BAC,

即300°-(6力°=100°-t°,

解得f=40,

此時(shí)(360°-60°)+6=50,

.\20<r<50；

③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，

VZBAF=100°,ZDCF=60°,

：.ZDCF=(6力°-(180°-60°+180°)=(6r)°-300°,ZBAC=t°-100°

要使48〃CD,則N￡>b=/BAC,

即(6r)°-300°=t°-100°,

解得r=40,

此時(shí)t>5Q,

V40<50,

??.此情況不存在.

綜上所述，當(dāng)時(shí)間f的值為4秒或40秒時(shí)，CD與A2平行.

故答案為：4秒或40秒.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意分情況

討論.

77

2.(2024秋?徐州校級(jí)期末)如圖，AB//CD,^ABF=~^ABE,乙CDF="CDE,DQ,BQ分別平分/

GDE^ZHBE,則/。EB,滿足的數(shù)量關(guān)系為：

【分析】根據(jù)拐角和/。的特性，作尸T〃C。，QK//AB,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等分別推出四個(gè)

角NDFT,NTFB,ZDQK,對(duì)應(yīng)的相等角，再根據(jù)平角的定義和角平分線的定義推出/DEB,

兩者的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)尸作PT〃C。，過(guò)點(diǎn)。作。K〃AB

.'.CD//FT//QK//AB,

：.ZDFT=ZCDF,ZTFB=ZABF,ZDQK=ZGDQ,ZKQB=ZQBH,

：.ZDFB=ZDFT+ZTFB=ZCDF+ZABFZDQB=ZDQK+ZKQB=ZGDQ+ZQBH,

22

9：^ABF="ABE乙CDF="COE,

222

/.乙DFB=4CDF+/.ABF=|乙CDE+|乙ABE=|(乙CDE+Z.ABE),

3

:.一人DFB=乙CDE+/.ABE,

2

'：DQ,BQ分別平分/G￡>E和NHBE,

111

：.^DQB=乙GDQ+(QBH="GDE+"HBE=式乙GDE+乙HBE),

VZGDE+ZCDE=180°,ZHBE+ZABE=180°,

1

:?乙DQB=i(180°-UDE+180°-^ABE),

113

???乙DQB=180°-.(乙CDE+Z.ABE)：.乙DQB=180°-^x|乙DFB,

3

；?￡DQB+彳4DFB=180°,

Q

故答案為：^DQB+^DFB=180°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，涉及到的是知識(shí)點(diǎn)有內(nèi)錯(cuò)角和角平分線的定義，解題過(guò)程中是否能

熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題重點(diǎn)，能否畫對(duì)輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(2024秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末)將一副直角三角板如圖1擺放在直線MN上(直角三角板ABC和直角三角

板EQC,ZEDC=90°,NDEC=60°,ZABC=90°,ZBAC=45°）,保持三角板EDC不動(dòng)，將三角

板ABC繞點(diǎn)C以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，秒，當(dāng)AC與射線CN重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn).在旋

轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三角板ABC的AB邊平行于三角板EDC的某一邊時(shí)(不包含重合的情形)，此時(shí)t的值

為

（圖1）

【分析】分情況討論：當(dāng)時(shí);當(dāng)AB〃CE時(shí)；當(dāng)時(shí)；結(jié)合圖形求出/ACE的度數(shù)，即可

求出f的值.

此時(shí)BC與CD重合,

AZACE=30°+45°=75°,

：.t=75°4-5°=15(s)；

ZACE=900+45°=135

."=135°4-5°=27(s)；

圖3

：.ZBCD=ZB=90°,

AZAC￡=90°+30°+45°=165

.1=165°4-5°=33(s)；

綜上，t=15或27或33,

故答案為：15或27或33.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合，分類討論.

4.如圖，已知AB〃CD,尸是射線AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，CE,C尸分別平分NACP與NPCD

分別交射線A8于點(diǎn)E,F.

(1)若/A=52°,求NECF的度數(shù)；

(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，/CM與/C項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不

變，求出/CR1與的數(shù)量關(guān)系；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到使NAEC=/AC尸時(shí)，探究NACE與NPC。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)根據(jù)AB//CD,可得/A+NACr>=180°,從而得到NACD=128°,再由角平分結(jié)的定義,

1

可得NECF=2(乙4cp+/PCD),即可求解；

1

⑵根據(jù)A3〃。，可得/CB4=/PCD,ZCFA=ZFCD,再由"CD="CF=.PCD,可得NPCD

=2ZFCD,即可求解；

(3)根據(jù)4B〃CD,可得/4EC=NECD,再由NAEC=NACE可得/ACE=/PC。，即可求解.

【解答】解：⑴,JAB//CD,

：.ZA+ZACD=180",

又乙4=52°,

/.ZACD=128°,

CE,CF分別平分NACP與NPCQ,

11

:?(ECP=1Z.ACP,乙PCF=1乙PCD,

1

:?乙ECF=乙ECP+乙PCF=^{/-ACP+乙PCD)=64°；

(2)在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NCB4與NC砌的數(shù)量關(guān)系不隨之發(fā)生變化，ZCPA=2ZCFA.理由如下：

U：AB//CD,

：.ZCPA=ZPCD,/CFA=NFCD,

i

又?：乙FCD=乙PCF="PCD,

：.ZPCD=2ZFCD9

：.ZBPA=2ZBDA；

(3)ZACE=ZFCD,理由如下：

*：AB//CD,

：.ZAEC=/ECD,

9：ZAEC=AACF,

：.ZECD=ZACF,

BPZACE+ZECF=/FCD+/ECF,

?.ZACE=ZFCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計(jì)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

5.(2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)已知，四邊形ABC。中，ZA=ZDCB=90°.

(1)如圖1,若。尸平分/AOC,3E平分NABC的鄰補(bǔ)角，判斷。尸與BE的位置關(guān)系;

【分析】(1)由題意可知/ADC=NNBC,在△BOG和△C。。中，利用三角形內(nèi)角和求出/BGO=NOC。

=90。即可得結(jié)論；

1

(2)再由角平分線的定義可得*NAOM=90。，再由(1)可得BE〃DF.

【解答】解：(1)???四邊形45co中，ZA=ZDCB=90°,

：.ZABC+ZADC=180°,

ZABC+ZNBC=lSO°f

：.ZADC=/NBC,

丁。尸平分NADC,

???ZADO=ZCDO.

?:BE平分NA5C的鄰補(bǔ)角，

：.ZOBE=ZNBE,

：?NOBE=CDO,

???NDOC=NBOE,

：.ZDCO=ZOGBf

NDCB=9。。,

，ZBGO=90°,

（2）過(guò)點(diǎn)。作DH平分NADC交BE于點(diǎn)H

由（1）可知，DHLBE,

:DF平分NMDC,

:"MDF=NCDF,

平分NAOC,

1

ZDHF=^ZADM=90°,

：.DH±BE,

'JDHLDF,

C.BE//DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義，四邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2024秋?雙流區(qū)期末）已知：AB//CD,直線跖交AB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)R點(diǎn)尸是線段所上一點(diǎn),

M,N分別在射線E8,FDk,連接PM,PN.

(1)如圖1,求證：ZMPN=ZEMP+ZFNP；

(2)如圖2,當(dāng)MP_LNP時(shí)，平分/EMP,NQ平分NDNP,求/MQN的度數(shù).

圖1圖2

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)尸作證明AB〃PH〃CD得NMPH=/EMP,ZNPH=ZFNP,ZMPH+Z

NPH=ZEMP+ZFNP,由此即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線的定義設(shè)設(shè)/￡M°=NPMQ=a,/DNQ=/PNQ=6,則NEMP=2a,NDNP=2B，

進(jìn)而得/FNP=180°-2（3,/FNQ=180°-0,然后根據(jù)（1）的結(jié)論得/MPN=NEMP+/FNP,Z

NQM=ZEMQ+ZFNQ,由/MPN=/EMP+/FNP,得0-a=45°,由NEM0+NPNQ即可

得出答案.

圖1

,JAB//CD,

：.AB//PH//CD,

：.ZMPH=ZEMP,ZNPH=/FNP,

：.ZMPH+ZNPH=ZEMP+ZFNP,

即ZMPN=ZEMP+ZFNP；

（2）平分/EMP,NQ平分NDNP,

.?.設(shè)N￡MQ=NPMQ=a,NDNQ=NPNQ=B，

:.NEMP=2cc,NDNP=2B，

：.ZFNP^180a-NDNP=180°-2p,

AZFNQ=ZFNP+ZPNQ=180°-20+0=180°-p,

■:MPLNP,

：.ZMPN=90°,

由(1)的結(jié)論得：/MPN=/EMP+/FNP,/NQM=/EMQ+/FNQ,

由NMPN=/EMP+NFNP,得：90°=2a+180°-20,

/.p-a=45°,

；?/NQM=/EMQ+/FNQ=a+1800-0=180°-(0-a)=135°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，理解垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.(2024春?翁源縣期末)將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起(如圖①)，其中NACB=NOCE

=90°,ZA=30°,ZB=60°,ND=NE=45°,設(shè)/ACE=x.

圖①備用圖

(1)填空：NBCE=,ZACD=；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)若NBCD=5NACE,求/ACE的度數(shù)；

(3)若三角板ABC不動(dòng)，三角板。CE繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)一周，當(dāng)/BCE等于度時(shí)，C￡>〃A3,請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【分析】(1)根據(jù)題意直接得出即可；

(2)先得出NBCD=180°-x,再根據(jù)/8。。=5/4?！杲獾冕艿闹导纯桑?/p>

(3)分情況討論求值即可.

【解答】解：(1)由題知，ZBCE=ZACB-ZACE=90°-x,ZACD=ZDCE-ZAC￡=90°-x,

故答案為：90°-x,90°-x；

(2)VZBCD=ZACB+ZACD=90°+ZACD,

：.ZBCD=90°+（90°-無(wú)）=180°-尤,

'：ZBCD=5ZACE,

.*.180°-x=5尤，

解得尤=30°,

即/ACE=30°；

(3)若CD〃A2分以下兩種情況：

①如圖①，此時(shí)/2。。+/8=180°,

VZB=60°,ZBCD=ZBCE+ZDCE=90°+ZBCE,

：.(90°+/BCE)+60°=180°,

ZBCE=30°；

②如圖②所示，

此時(shí)/2。=/2=60°,

VZDCE=90°,ZBCE=ZBCD+ZDCE,

：.ZBCE^9Q°+60°=150°,

綜上，當(dāng)/BCE等于30或150度時(shí)，CO〃AB.

故答案為：30或150.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.【問(wèn)題情境】已知，Z1=Z2,EG平分/AEC交8。于點(diǎn)G.

【問(wèn)題探究】（1）如圖1,ZMAE^45°,NFEG=15°,/NCE=75°,試判斷跖與CD的位置關(guān)系,

并說(shuō)明理由；

【問(wèn)題解決】（2）如圖2,ZMA￡=140°,ZF￡G=30°,當(dāng)AB〃C。時(shí)，求/NCE的度數(shù);

【問(wèn)題拓展】（3）如圖2,若AB〃C。，試說(shuō)明NNCE=/MAE-2NFEG.

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定得AB//EF,再根據(jù)平行