江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)2月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2025屆高三年級(jí)2月調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將各答案寫在答題卡上，寫在本試

卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知［2J,8"+1=0},若4n8=8,則實(shí)數(shù)°的取值構(gòu)成的集合是（）

A.{-1，幻B.{一2/}c,{一2,0』D.{-1,0,2）

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用集合與集合之間的關(guān)系構(gòu)造方程計(jì)算參數(shù)即可.

【詳解】由"8=8得也/.

當(dāng)a=0時(shí)，8=0,滿足674；

當(dāng)awO時(shí)〔刈，因?yàn)?g4,

所以。或。2,

解得a=1或a=—2.

故選：C.

z=2i+—

2.若復(fù)數(shù)1+i（其中，,是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)的模為

A.1B.亞

C6D.2

1/27

【答案】B

【解析】

2

z=2i-\----=2z+(l—z)=l+z=>z=l—i=>lz\=V2

【詳解】試題分析:1+',故選B.

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)及其運(yùn)算.

3.已知命題°：VxeR+2x+3〉°為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

q10<Q<；

<aQ<a<—>

3

A.B.(

11

<aa>—>aa>一

33

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】二次不等式恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次方程解的情況，可得不等式，解不等式即可.

【詳解】因?yàn)槊}P：VxeR,。/+2乂+3〉0為真命題，所以不等式ax?+2x+3>0的解集為R

3

%>---

若a=0,則不等式0爐+2》+3〉0可化為2x+3〉0,解得2,不等式解集不是R；

a>0]

若aw°,則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知：14=22—12a<0,解得“>3,

1

a>—

綜上可知：3,

故選：D.

4.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)9,8，13,10,12,14的第70百分位數(shù)為13

B.若樣本數(shù)據(jù)再，/，…再0的方差為2,那么數(shù)據(jù)3芯-5,3方2-53再0-5的方差為6

C,已知隨機(jī)事件/和8互斥，且尸（入，）=66，。⑻=0.2,則P（1）=0.6

D.某一組樣本數(shù)據(jù)為125,120122105,13011411695120134,則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間口14.5,124.5]內(nèi)的

頻率為0.4

【答案】ACD

【解析】

2/27

【分析】根據(jù)6X0.7『42,向后推一位即可；利用方差的性質(zhì)計(jì)算即可；根據(jù)互斥求出

P（A）=P（，UB）一P（B）,再利用對(duì)立事件來(lái)求解；利用古典概型求解即可.

【詳解】A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)從小到大排列為&910』2,1314,由6x0.7=42,

故第5個(gè)數(shù)作為第70百分位數(shù)，即13,A正確；

B選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)x”/，…，項(xiàng)0的方差為2,

則數(shù)據(jù)3再一5,3電＞5...3x10-5的方差為3?x2=18,所以B選項(xiàng)錯(cuò);

C選項(xiàng),因?yàn)锳和B互斥，則尸（"U8）=尸⑷+P（B）,

可得P（/）=P（/U5）-P（5）=O.6-O.2=O.4,所以尸（I）=l—P（/）=1-0.4=0.6,?正確；

D選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間11。,124.5］有120,122116120有4個(gè)，

404

所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［1145,124.5］內(nèi)的頻率為10?,故選口；

故選：ACD.

5.設(shè)定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)/⑴，對(duì)任意%€（0,+8）,都有/"（x）T°g2x］=3,若看是方程

/（%）-/'（x）=2的一個(gè)解，則/可能存在的區(qū)間是（）

A.（。，1）B.。，2）c.。，3）D.（切）

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)""）一腕2'=’,結(jié)合條件可得/=2,即/00=1喝"+2,通過(guò)求導(dǎo)結(jié)合零點(diǎn)存在性定

理可確定答案.

【詳解】設(shè)/（"）—唾2"=',則"x）=l°g2X+/,且/（'）=3,

當(dāng)％=/時(shí)，/（，）=1。82/+%=3,

由函數(shù)g（0=l°g2'+’在上為增函數(shù)，且8（2）=1嗚2+2=3得，t=2,

A/（x）=log2x+2）故/（”能，

由/（x）-/'（x）=2得，l°g2X一圭=°,

3/27

/z（x）=log2x'/z（l）=log2l--i-=--^-<0A（2）=log22---^—=l--^->0

設(shè)xln2,則In2In2,2In2In4

???根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在O"）內(nèi)〃（x）存在零點(diǎn)，即X。

故選：B.

6.若滿足條件0=60°,48=6,80=0的&45。有兩個(gè)，那么。的取值范圍是（）

（1,間g）c（五2）0（1，2）

【答案】c

【解析】

.’a

sin/=一,由于滿足條件的A48C有兩個(gè)，則函數(shù)歹=$111%,“'（0°,120°）與

【分析】根據(jù)正弦定理得出2

a八

y--.a>0

函數(shù)"2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象，即可得出。的取值范圍.

【詳解】根據(jù)正弦定理可知sinCsinN,代入可求得2

因?yàn)闈M足條件的八42。有兩個(gè)，所以A有兩個(gè)角

_a_口〉0

即函數(shù)片smx”（0°,120°）與函數(shù)25的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓G：（x+4）~+（yT）2=*">0）上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)P關(guān)于直線

4/27

>=x+l的對(duì)稱點(diǎn)。在圓02：（x—4/+/=4上，則7,的取值范圍是（）

A.（3,7）BQ]

C（3,+co）D[3,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】求出圓G關(guān)于直線>=x+i的對(duì)稱圓的方程，由對(duì)稱圓與圓,?有公共點(diǎn)可得答案.

【詳解】圓G：（x+4）+UT）=r&>°）的圓心為GIJ）

設(shè)G（-4,1）關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱點(diǎn)為C3（a,b）,

1+b-4+Q1

----=-----+1

<22

b-lja=0

所以L+4，解得〔'=一3,

G（-4,1）關(guān)于直線y=x+i的對(duì)稱點(diǎn)為G（0,-3）,

由題意得，以03為圓心，以「為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，

所以卜—2區(qū)1c2c3區(qū)廠+2,解得：3<r<7,

故選：B.

/二c

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題齡j關(guān)鍵點(diǎn)是求出圓G關(guān)于直線了=尤+1的

對(duì)稱的圓與圓02有公共點(diǎn)，考查了學(xué)生思維能力.

8.如圖，直角A48C的斜邊8c長(zhǎng)為2,NC=30°,且點(diǎn)民°分別在X軸，了軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)A在

線段8c的右上方.設(shè)OZ=xO5+yOC,（x/eR）,記止-OAOC,N=x+y,分別考查

的所有運(yùn)算結(jié)果，則

5/27

A.M有最小值，N有最大值B."有最大值，N有最小值

C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)N℃8=a,用。表示出"，N,根據(jù)a的取值范圍，利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)M，N,

進(jìn)而求得最值的情況.

【詳解】依題意/8CN=3°。,8c=2,/"=90。，所以NC=G,4S=1,設(shè)/℃8=a,則

AABx=a+30。,0。<a<90。，所以“小sin（a+30。）,sin（a+30。））

5（2sin?,0）,C（0,2cos?）所以〃=厲?覺(jué)=2cosasin（a+30。）=sin（2a+30。）+；

1+3

2々+30。=90。以=30。時(shí)，M取得最大值為22.

gsin（a+30°）sin（a+30°）

OA-xOB+yOC；所以2sina/2cos?,所以

Gsin（a+30°）sin（a+30°）拒

2sina2cosa2sin2a,當(dāng)2a=90",a=45°時(shí)，N有最小值為

1G

1+—

2.故選B.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思

想方法，屬于難題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列結(jié)論中正確的有（）

A.若凡6為正實(shí)數(shù),a>b,則>/6+必2

6/27

a+ma

-----<——

B.若a,6,僅為正實(shí)數(shù)，"b,則6+根b

ab

C.若°c，則

2

XH---I—

D.當(dāng)x〉°時(shí)，x的最小值為2.2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A,B選項(xiàng)考查不等式的證明，應(yīng)用作差法判斷正負(fù)即可解決；C選項(xiàng)考查不等式的性質(zhì)，在不

等式左右兩邊同時(shí)乘以正數(shù)，不等號(hào)不變；D選項(xiàng)考查基本不等式，正數(shù)時(shí)，乘積確定可以求出和的最小

值.

【詳解】解：對(duì)于A,???”/為正實(shí)數(shù)，a>b,

.a，++ab-)=a~(a-b)-b~(a-b)=(a-b)~(a+b)>0

Aa'+b2>a2b+ab2,故A正確；

a+ma_m(b-a)a+ma

---------------------------------------->U-------------〉一

對(duì)于B,若凡仇加為正實(shí)數(shù)，a<b,則6+機(jī)bb(b+m),則b+掰b,故B錯(cuò)誤;

ab

——>——

對(duì)于C,；。2〉0,若/，，貝產(chǎn)>6,故C正確；

XH—N—=2^/2X—I—

對(duì)于D,當(dāng)x>°時(shí)，根據(jù)基本不等式可得：X、X,%的最小值為2A/2,當(dāng)且僅當(dāng)

x=后時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：ACD

10.已知函數(shù)"x）=sin（smx）-cos（cosx）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A./（“）是偶函數(shù)B./（“）是周期函數(shù)

_兀

C./（X）關(guān)于直線”一5對(duì)稱D.當(dāng)時(shí)，

【答案】BCD

【解析】

【分析】A項(xiàng)特值可得；B項(xiàng)由定義證明；C項(xiàng)證明/5—x）=/（x）成立即可；D項(xiàng)由對(duì)稱性分析當(dāng)

7/27

2」時(shí)，-1</0)<°是否成立即可.

=sin[sin—cos[cos=sin1-cos0=sin1-1

【詳解】A項(xiàng),

=sin(-l)-cosO=-sinl-1

所以/(x)不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

B項(xiàng)，/(x+27i)=sin(sin(x+271))-cos(cos(x+271))=sin(sinx)-cos(cosx)=f(x)

所以/(x)是以2萬(wàn)為周期的周期函數(shù)，故選項(xiàng)B正確;

C項(xiàng)f(Ti-x)=sin(sin(7i-x))-cos(cos(7i-x))=sin(sinx)-cos(-cosx)

=sin(sinx)-cos(cosx)=f(x),

71

所以/(X)關(guān)于直線2對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；

兀

D項(xiàng)，由/(X)關(guān)于直線2對(duì)稱，

xefo,-

只需看當(dāng)I2」時(shí)，一1</(均<°是否成立.

X€0,-

當(dāng)2」時(shí)，0<sinx4l,0<cosx<l,0<sm(smx)<sm1,

cos1<cos(cosx)<1所以sin(sinx)-cos(cosx)>-1即/(%)>一1

sinx+cosx=V2sin.x+—

又因?yàn)镮4

兀兀

—cosx—

所以0<sinx<22,

sin(sinx)<sin——cosx=cos(cosx)

所以12J,即

所以T</(x)<0,故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

11.如圖，在直四棱柱48co一中，底面45CD為菱形，/8“￡>=60°,48=44]=2,尸為

8/27

"i的中點(diǎn)，點(diǎn)°滿足尸、L，上"L，」人則下列結(jié)論正確的是

A.若'+"一§,則四面體的體積為定值

B,若△48°的外心為0,則4小4°為定值2

41.71

C.若40=后，則點(diǎn)2的軌跡長(zhǎng)度為4

_￡________

D.若力=1且“一3,則存在點(diǎn)八4%使得4E+EQ的最小值為」9+2而

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合空間向量基本定理得到町°，廠三點(diǎn)共線，得到底“平面04s

故點(diǎn)。為平面的距離為定值，四面體480。的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合空

港.麗=1祠mi=4

間向量數(shù)量積的幾何意義得到11I?H1I；c選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

。（0,2，,2〃）,表達(dá)出（22+1）+（2〃-2）=2,故。點(diǎn)的軌跡為以S（T2）為圓心,正為半徑的圓,

落在正方形CD'G內(nèi)的部分，結(jié)合弧長(zhǎng)公式求出答案；D選項(xiàng)，求出0（0'2，1）,Eg'：）,得

（

1

AE+EQ=2y[2a——

2

到,畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到其最小值.

【詳解】A選項(xiàng)，在CQOR上分別取大沙，使得3,3

因?yàn)辂?4皮+〃西，所以而=34礪+3〃萬(wàn)諦，

因?yàn)閹?〃=，所以冢+3〃=1,即而=3%麗+（1-34）而，

9/27

故而—加=32礪—32加，即行=34標(biāo)，

所以少，。小三點(diǎn)共線，

因?yàn)閃F//C%AB//C%所以怖//典，

故竹//平面P&B,故點(diǎn)。為平面P&B的距離為定值，

又S"http://為定值，故四面體48尸。的體積為定值，A正確;

B選項(xiàng)，取48的中點(diǎn)T,因?yàn)椤?8°的外心為。，所以。7,48

又題意得A3=k^=2C,

則福葩印卜2內(nèi)丘4,B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，取45的中點(diǎn)R,因?yàn)榈酌?8C。為菱形，NBAD=60。,

故以，℃,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DR,0cOR分別為x，y*軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

故4（GT2）,設(shè)°（0,242〃），

40=13+（2幾+1）2+（2〃—2）2=V5

化簡(jiǎn)得3+1）2+?！?2）2=2,

點(diǎn)。滿足雙=之皮+〃西Ge〃百°」］）,

10/27

即點(diǎn)。在正方形CDD?內(nèi)，包括邊界，

故0點(diǎn)的軌跡為以SGI?）為圓心，、回為半徑的圓，落在正方形CORG內(nèi)的部分,

如圖所示：

因?yàn)轷?后，SQ=1,故D\H="l=l,

NS=—

故ASR"為等腰直角三角形，4

Ji?_y/2n

故點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為Z4,C正確;

〃=工DQ=DC+1-DD.

D選項(xiàng)，若2=］且2,2

即雙=(O2O)+g(O,O,2)=(O,2/)，即0(021),

又4小T2)aS，i,o)設(shè)￡(“?),

設(shè)EB=aAxB=(0,2a,-2〃),aG［0,1］即-再,Z)=(0,2Q,-2Q)

解得石=①?=1-2a，z=2a,即Eg」-2a,2a)

AE+EQ=^(2-2a)2+4a2+^3+(2a+1)2+(l-2a)2

=\j8a2-8(z+4+\ISa2+5=2^/2Jfa+-^-++1-

【A

如圖所示，

11/27

KJ=-,GV=-—,JG=--

設(shè)242,且JG_LGK,

LJ=——a

在線段JG上取一點(diǎn)工，設(shè)G￡=a，則2,

顯然，直接連接K「，此時(shí)"+也取得最小值，最小值即為K「,

KV

由勾股定理得

AE+EQ=242JU-1j+；+,+(20口+巫=,9+2/

故IJ的最小值為Y84,

D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】空間向量解決幾何最值問(wèn)題，通常有兩種思路：

①形化，即用空間向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)圖形的特征

直接進(jìn)行求解；

②數(shù)化，即利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解

等問(wèn)題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

3

N(75QP(60<X<90)=-

12.某次調(diào)研測(cè)試中，考生成績(jī)X服從正態(tài)分布I'人若5,則從參加這次考

試的考生中任意選取3名考生，至少有2名考生的成績(jī)高于90的概率為.

12/27

13

【答案】125##0.104

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概率公式和二項(xiàng)分布的概率公式即可求解.

【詳解】因考生成績(jī)服從正態(tài)分布"（75,02）,

l-P（60<X<90）1

P（X>90）=------------------------L=-

所以25,

故任意選取3名考生，

p=C2

至少有2名考生的成績(jī)高于90的概率為

13

故答案為：125.

13.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種

運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1—4—2-1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷

猜想”等）.如取正整數(shù)冽=6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6—3—10—5f16F共需

經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列｛""｝滿足：

a=忤，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)

%=加（冽為正整數(shù)），“+1,當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若生=1,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",則

*^2025=

【答案】4725或4746

【解析】

【分析】根據(jù)給定的運(yùn)算法則，逆推進(jìn)出前4項(xiàng)，再結(jié)合數(shù)列周期性求出邑。25.

［詳解］由“5=1,得%=2,。3=4,%==2或4=8,4=16,

若%=2,%=1,%=4,%=2,%=1,每=4…，則數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列，其周期為3,

因止匕$2。25=675（2+1+4）=4725；

若q=16,或=8,生=4,%=2,%=1,牝=4,…，則數(shù)列｛%｝去掉前3項(xiàng)后是周期數(shù)列，其周期為3,

13/27

因此S2025=674(2+1+4)+(16+8+4)=4746.

故答案為：4725或4746

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由“角谷猜想”的運(yùn)算法則，利用逆推的方法求出前4項(xiàng)，再利用周期性求和.

14.如圖所示，由半橢圓°"+16”<°)和兩個(gè)半圓02：/+。-2)=4(x20),

2

C3:X+(J+2)=4(X20)組成曲線C/(X/)=0,其中點(diǎn)片、片分別是G的上、下焦點(diǎn)和。2、

03的圓心,若過(guò)點(diǎn)片、無(wú)作兩條平行線4、4分別與G、C?和G、交于八。和河、N,則

MM+園的最小值為.

【答案】10

【解析】

【分析】求出橢圓的方程，設(shè)直線4與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為E,由對(duì)稱性得出忸周引用"I進(jìn)而得出

\MN\+\PQ\=\PE\+4設(shè)直線4的方程為尸丘+2,將該直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理,

結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求得戶同的最小值，進(jìn)而得解.

【詳解】半圓,2：/+("2)=4(x20)的圓心為片(0,2),半徑為2,

半圓G：一+3+2)=46之0)的圓心為￡(0,-2),半徑為2,

22

二+2=1II-

對(duì)于橢圓/16的焦距為出項(xiàng)=%則16-/=4,可得/=12,

22

土+匕=1

所以，橢圓G的方程為1216如圖所示,

14/27

的另一個(gè)交點(diǎn)為E,

由橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)E與點(diǎn)〃關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

即點(diǎn)°為線段四、片片的中點(diǎn)，所以，四邊形34為平行四邊形，

所以，防二四|,

|加|+|尸0|=|好|+怩川+|尸￡|+|°周=|尸浦+|5|+4=|「￡|+4

若4的斜率不存在，則直線4過(guò)點(diǎn)工，不合乎題意，所以，直線4的斜率存在,

設(shè)直線4的方程為了=丘+2,設(shè)點(diǎn)（I）、（2歹2）,

y=kx+2

聯(lián)立i改+3/=48可得（3公+4*+12履-36=0,

△=144左2+4x36（3左2+4）=144x4伏2+1）

12k36

x,+x7=----；---x,x.=----；---

由韋達(dá)定理可得-3左+4,3k+4,

=24(?+i)8G左2+4-8

[P?=J1+左~|Xj-X2|J1+左"'J(X]+X2-4西黃2=

所以，,3左2+43左2+4

=8-

3左2+4

8

故當(dāng)左=°時(shí)，戶E|取最小值4

則\MN\+\PQ\的最小值為6+4=10

故答案為:10.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于利用對(duì)稱性得出冏=內(nèi)時(shí)，由此得出眼叫+歸o=附+<

15/27

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.在銳角三角形48c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,己知(c-a)(sin/+sinC)

=Z?(sinB-V2sinA)

(1)求角0的大??；

2

cos2A+cos2B=—

(2)求5且求sm2Z.

n6+V14

C——―---------

【答案】(1)4；(2)10.

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理將角化為邊，再利用余弦定理即可求出角0的大??；

2

cos2A+cos2B——

(2)利用降幕升角公式、三角形內(nèi)角和定理及逆用兩角差的正弦公式可將5化為

sin(2^--)=—2A--cos(2J--)

45,求出4的范圍，進(jìn)而可求出4的值，再利用角的變換即可求出

sin24

(c-a)(a+c)=b(b-拒Q)

_+62-c2_V2

22?/~cosC

即。+b-c=72ab,...—lab2,

C=匕

..Ce(0,^)；...4

C=-2B=--2A

(2)-??4,2

2,2n1+cos2^41+cos25131

cosA+cosB=------------+---------二—(zcos2A+cos2B)+1

2

2K2

=1+—(cos2A-sin2A)=\一士-sin(2^--)=-

2/>45,

-7i3^/2

sm(2N/=§

16/27

3,,,3

_qr-4、AA<—7C

.泊〉a,...8〉Z,即4，得8,

7C3左/?71,71713〃

—〈一——A<——<A<——<A<—

又...△48C為銳角三角形，...4/12f.42?.48，

)=J-sin“2Z—￡)=g

-<2A-—<—cos(2^-—

則442,4

sin2A=sin(2Z--+—)=sin(2A)-cos—+cos(2/)sm—

...444444

3V2V2V7V26+V14

=----x----1----x---=-------

525210

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和與差的正弦公式，同時(shí)考查

利用已知角和特殊角的變換求三角函數(shù)值，屬于中檔題.

16.如圖所示的幾何體中，'BC—44G為三棱柱，/4,平面48C,Z4=ZC,四邊形48CQ為平

行四邊形，4D=2CD,AC=CCD

C,B,

DA

⑴求證：‘G'平面"BCD

（2）若CD=2,求三棱錐G—4CD的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4

【解析】

【分析】（I）根據(jù)AA'1平面ABC,44=AC可知AA'C'C是正方形,^-AC.LA.C.

因m而11.由

AD=2CD,NC=6可知COJ.NC,因而平面即可得CD,“q,從而由線面

垂直判定定理可得"G,平面48。；

17/27

（2）求得即可由等體積分-48=%-4GC求解即可.

【詳解】（1）證明：?.?'BC—44G為三棱柱，且平面A8C,，4=NC,

...四邊形是正方形，AC>14c.

V平面/8C,

.AA1CD

??X，

又??AD=2CDAC=V3C￡>

?，，

222

???CD+AC=AD，CD1AC，

...zcnz4=z,CD_L平面N°G4,

...ZGu平面Nee/、

.CD±

??ACA

平面45Q.

⑵?：CD=2,

...34,==716^4=2A/3；

???三棱錐,C-"A卜C”D的體積

%—A1CD=力-4G。=§*CDxS.qc

=J_X2X-X2A/3X2V3=4

32

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定，空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，三棱錐體積求

法，屬于中檔題.

17.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音

樂(lè)；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得150分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得100分，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得50

0<^<!|

分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則獲得-300分.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為I3人且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互

獨(dú)立.

（1）若一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為了（夕），求/（夕）的最大值點(diǎn)?。；

18/27

（2）以（1）中確定的P。作為°的值，玩3盤游戲，出現(xiàn)音樂(lè)的盤數(shù)為隨機(jī)變量X,求每盤游戲出現(xiàn)音

樂(lè)的概率71,及隨機(jī)變量X的期望EX；

（3）玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)

用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

119?19

Po=~—EX=—

【答案】（1）3；⑵27,9,⑶見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中概率計(jì)算,可得僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率/（?）.然后求得導(dǎo)函數(shù)/‘（?）,并

令『3）=。求得極值點(diǎn).再根據(jù)/（的單調(diào)情況，求得/（的最大值.

1

P=

（2）由（1）可知，3.先求得不出現(xiàn)音樂(lè)的概率，由對(duì)立事件概率性質(zhì)即可求得出現(xiàn)音樂(lè)的概率.

結(jié)合二項(xiàng)分布的期望求法，即可得隨機(jī)變量X的期望EX；

（3）求得每個(gè)得分的概率，根據(jù)公式即可求得得分的數(shù)學(xué)期望.構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)即可證明數(shù)學(xué)期望為負(fù)

數(shù),即可說(shuō)明分?jǐn)?shù)變少.

【詳解】（1）由題可知，一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為：

/（P）=C；P（1-2）2=3/—6/+3p

（夕）=3（3夕一1）（夕一1）

_1

由廣（p）=o得?§或r=1（舍）

當(dāng)"4］時(shí)/@）〉0；

當(dāng)時(shí)J'（P）＜°，

f（、fo,-1化21

在I3J上單調(diào)遞增，在13上單調(diào)遞減，

1

...當(dāng)§吐/（夕）有最大值，即/（夕）的最大值點(diǎn)"3.

1

P=P=~

(2)由(1)可知，03

19/27

19

P1=1一

則每盤游戲出現(xiàn)音樂(lè)的概率為27

X-B

由題可知

(3)由題可設(shè)每盤游戲的得分為隨機(jī)變量句則4的可能值為-300,50,100,150；

.尸(J=—300)=(1—2丫

,?;

尸(J=50)=C；p(l—2)；

尸6=100)=。"2(1—夕)；

產(chǎn)6=150)=p[

.EJ=-300(1-p)+50C；2(1-夕y+100C//72(1-^)+150p3

7771

g(P)=P3-^P2+~P~^8'(2)=322_62+不=3(0_])-+不〉0

令2,則22.

g(P)[Ki

所以gWJ在I單調(diào)遞增；

,,?

即有EJ<0；

這說(shuō)明每盤游戲平均得分是負(fù)分，由概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)可知：經(jīng)過(guò)若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)

沒(méi)有增加反而會(huì)減少.

【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)期望的求法，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算

量較大，屬于難題.

C—7+=1(a〉b〉°)p

18.已知橢圓a卜短軸長(zhǎng)為2,左、右焦點(diǎn)分別為

C交于N兩點(diǎn)，其中必N分別在x軸上方和下方，回P=尸耳，皿=°耳，直線尸工與直線

20/27

(2)在(1)的條件下，過(guò)點(diǎn)八并垂直于x軸的直線交。于點(diǎn)3,橢圓上不同的兩點(diǎn)4。滿足

成等差數(shù)列.求弦/。的中垂線在了軸上的截距的取值范圍；

4V<7c<

(3)若外3MNGz-aaNF\G\3MNG。,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3/2

----FV=1

【答案】(1)4---"

(2)6,6)

、，4

(3)1」

【解析】

【分析】(1)短軸長(zhǎng)為2,則有6=1,136J為孫瑪?shù)闹匦?，得I2人代入橢圓方程求解。即

可；

⑵由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到曰+優(yōu)必=2優(yōu)到=百，再由弦長(zhǎng)公式得到“3%,然

kAD*0)

后分當(dāng)N3斜率存在時(shí)由點(diǎn)差法得到4%,再由點(diǎn)斜式寫出弦的中垂線方程，得弦幺。的

中垂線在了軸上的截距；當(dāng)N8斜率不存在時(shí)，的中垂線為x軸，得在了軸上的截距，最后得到范圍；

s=_(&+邑)SNFG=-SX+-S,

△Iyr\(jiclc，

(3)根據(jù)重心性質(zhì)及面積公式得3,33,再結(jié)合已知不等式條件解

22

y?4mc△「5個(gè)

AeU-1]A—=一一2~7-2e--5-2

不等式組可得當(dāng)L2」，然后直曲聯(lián)立得到當(dāng)+%"+/L2」，轉(zhuǎn)化為

21/27

o<癡?:<-^（8a2-9）m2<a2

機(jī)？+片2'7對(duì)任意的加恒成立，解不等式即可.

【小問(wèn)1詳解】

222

C:—+Ty=l(a>Z)>0)C:―+v2=1

橢圓ab一短軸長(zhǎng)為2,則有6=1,故橢圓a

—>—?G

MP=PK,則尸為加片的中點(diǎn)，又。為丹片的中點(diǎn)，可知?為孫旦的重心,

11,43x22?

—-H..-1CL2——----Fy=1

代入橢圓方程得a，4，解得3,所以橢圓c的方程為4

【小問(wèn)2詳解】

|%4|,叵見(jiàn)怩必成等差數(shù)列，國(guó)旬+內(nèi)。|=2后同=唐,

設(shè)'6/）。（”2，先），3中點(diǎn)&，汽），由弦長(zhǎng)公式，

E止

\F2D\=---X2再+%2

同理32,代入可得

22/27

3x；2,

才+必=1

苧+只=1-泣-0弁-達(dá)

44

①當(dāng)40斜率存在時(shí)，由[,兩式作差可得

3xx+x2必一p2,

K2(%豐°)

現(xiàn)必+上43%。4%)

y-y0=

.?.弦的中垂線方程為

y

Ay二0

當(dāng)x=o時(shí)，的中垂線在7軸上的截距為.3

‘走,v]121_V1近

/D中點(diǎn)135在橢圓C內(nèi)，.?4+”<，得2<為<2,且％

②當(dāng)/。斜率不存在時(shí)，的中垂線為X軸，在了軸上的截距為紳二°.

???綜上所述66,即弦/。的中垂線在夕軸上的截距的取值范圍為I

【小問(wèn)3詳解】

MP=PF[,NQ=QF],則P為孫的中點(diǎn)，0為片N的中點(diǎn)，

又。為片鳥(niǎo)的中點(diǎn)，可知點(diǎn)G"G2分別為△〃百心，△犯