解三角形（八大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)（原卷版）

解三角形

CCC

題型概覽

目錄

【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】余弦定理解三角形

【題型二】正弦定理解三角形

【題型三】三角形解的個(gè)數(shù)問題

【題型四】判定三角形狀問題

【題型五】面積公式的應(yīng)用

【題型六】三角形中最值范圍問題

【題型七】距離、高度、測量問題

【題型八】與其它知識(shí)綜合問題

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)：最值范圍忽視角度取值范圍問題

CCC

解密高考

考情分析:作為高考固定題型，每次會(huì)出現(xiàn)在解答題的第一題或者第二題，新高考出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良題

的新題型，無外乎的就是和三角函數(shù)與解三角形結(jié)合出現(xiàn)在解答題第一題里，占15分，難度不大也適應(yīng)了

新高考的新題型，所以是熱門，必須要把各題型都能熟練掌握

備考策略：常規(guī)題型的歸納總結(jié)，基礎(chǔ)知識(shí)的記憶與推導(dǎo)理解；最值范圍的問題以構(gòu)造函數(shù)求范圍。

6題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】余弦定理解三角形

【例1】在VABC中，角A,B,C所對(duì)邊分別是a,b,c,若a:b:c=3:2:2,則cosA=.

【例2】在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，。，c,且滿足/一/=°2—其|歷，貝!Jtan2A=.

3

7T

【變式1】在VABC中，ZB=-,AB=S,AC=T,則BC=()

A.5B.3或5C.4D.2或4

【變式2】在VABC中，內(nèi)角A民C所對(duì)的邊分別為a,6,c,>cosA=1,Z?=2,a=75,貝！|c=.

【題型二】正弦定理解三角形

【例1】(多選)在VABC中，a=?b=gB=A5°,則角4為()

A.60°B.120°C.75°D.30°

【例2】在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且人=7,cosC=,c=4,則。=（）

47

A7&12A/2240

RrD.40

377

【變式1】在VABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、6、c,。=若，4=60。，若cos2B=：,則6=

()

A.1B.6C.2D.20

【變式2】。是RtZkABC斜邊3c上一點(diǎn)，AB=AD,AC=y［3DC,貝！!sinNABC的值（）

A1R小D括

A.D.C..U.

2322

【題型三】三角形解的個(gè)數(shù)問題

［例1］符合下列條件的三角形有且只有一個(gè)的是（）

__.71I-.7T

A.a=2,c=3A=—B.a=2<3,b=6,A=—

f66

C.a=2,b=6，。=5D.a=2,b=3,B=—

【例2】已知VABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為a/,c,且滿足。=2四,8=：的三角形有兩個(gè)，則6的取值

4

范圍為（）

A.（0,2A/2）B.（2A/2,4）C.（2,4）D.（2,2①

【變式1】（多選）在VABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中恰有一解的是（）

7171

A.Z?=7,c=3,C=—B.b=5,c=6,C=—

64

C.a=6b=3^3,B=—D.a=20,Z?=15,B=

f36

【變式2】已知VABC中，a=3,A=60°,VA3C有兩解，則人的取值范圍是（）

A.（2,2⑹B.[3,2向C.（3,2向D.（3,2力）

【題型四】判定三角形的形狀問題

【例1】在△28C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若bcos力+acosB=csinC,貝!!△ABC為（）.

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【例2】在ANBC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,若等=萼=苧（k為非零實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論簿

送的是（）

A.當(dāng)k=5時(shí)，AABC是直角三角形B.當(dāng)k=3時(shí)，AABC是銳角三角形

C.當(dāng)k=2時(shí)，△力BC是鈍角三角形D.當(dāng)k=l時(shí)，△4BC是鈍角三角形

【變式1】在AABC中，a,b,c分別為角4、B,C的對(duì)邊，下列敘述正確的是（）

A.若acosB=bcosZ,則△ABC為等腰三角形

B.若atan/=htanB,則△ABC為等腰三角形

C.若siM/+sin2B+cos2c<1,則^ABC為銳角三角形

D.若cos2A+cos2B+cos2c>—1,則為鈍角三角形

【變式2】已知△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,a=—+^~,則△ABC的形狀是

cosB+cosC

【題型五】面積公式的應(yīng)用

【例1】在VA3C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、6、c,若。=5,b=7,c=4,則VABC的面積

為()

A.4A/6B.2A/6C.4D.8

【例2】在VABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為b、c,且滿足絲空+>=%嗎.

csinncosn<2sinn

⑴求B；

(2)若a=2,c=3,求AC邊上的高.

【變式1】VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosA(ccosB+/7cosc)=a.

⑴求A;

(2)若a=2,VABC的面積為也，求6,c的值.

【變式2］已知在VABC中，a2+c2-^ac=b2,b2=2.

⑴求N3的大小

(2)若A8邊上的高等于1,求VABC的面積.

【題型六】三角形中最值范圍問題

【例1】已知a,b,c分別為VA2C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且bsinA-NcosB=0.

⑴求3；

⑵若6=2,求VABC的面積的最大值.

【例2】記銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=2,bcos2=JIsin2B.

⑴求A；

⑵求(g-l)b+后c的最大值.

【變式1】已知|皿1=4,河為A5上一點(diǎn)，S.AM=3MB.動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|=2|CM|,。為線段3C上一點(diǎn),

滿足|8|=|0暇則下列說法中不正確的是()

A.若〃，四，則D為線段BC的中點(diǎn)B.當(dāng)［4。=3時(shí)，VABC的面積為孚

C.點(diǎn)。到距離之和的最大值為5D.NMCB的正切值的最大值為3

3

【變式2】已知a=(J§sinx,-cosx),B=(cosx,cosx),f(＜x)=a-b.

⑴求函數(shù)〃x)圖象的對(duì)稱軸方程；

⑵求函數(shù)/(X)單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶設(shè)VA2C的內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為。，4c,若且b=g.求VA2C面積的最大值.

【變式3】若一個(gè)三角形中兩邊的平方和是第三邊平方的，"倍(加＞1,meN*),則稱該三角形為正階準(zhǔn)直角

三角形.在VABC中，角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,且出+學(xué)=的2.

abc

⑴證明：VA3C是2階準(zhǔn)直角三角形；

(2)若4sinA=3sinB,求cosC的值；

⑶若c=4,求VABC的面積的最大值.

【題型七】距離、高度、測量問題

【例1】如圖，為了測量一條大河兩岸48之間的距離，無人機(jī)升至九米的空中沿水平方向飛行至C點(diǎn)進(jìn)行

測量，AB,C在同一鉛垂平面內(nèi).在C點(diǎn)測得A8的俯角為名伙尸＜0,則AB=.

h

AB

【例2】某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量某建筑的高度。P,選取了在同一水平面上的A,B,C三處，如圖.已知

在A,B,C處測得該建筑頂部P的仰角分別為30。，45。,60°,OA=2OB-OC，43=10米，則該建筑的

高度OP=()

C.5?米D.50米

【變式1】如圖，A,B,C三點(diǎn)位于同一水平面，A位于B的北偏西30。方向，C位于B的北偏東60。方向，

A在C的正西方向，且A,C之間的距離為50米，8處正上方建有一棟樓房，C處正上方建有一座塔，從A

處觀察塔尖E,測得仰角為45。，從樓房頂。處觀察塔尖E,測得仰角為30。，則樓房的高度為米.

【變式2】某高中高一學(xué)生成立了課外實(shí)踐數(shù)學(xué)小組，計(jì)劃通過數(shù)學(xué)建模的方法來測量某人工圓形湖泊的直

徑，如圖為該人工湖泊的大致俯視圖，該小組成員首先在湖泊邊緣處A點(diǎn)處固定一旗幟，然后從A點(diǎn)沿逆

時(shí)針方向繞著湖泊邊緣走到8點(diǎn)處固定一旗幟,并在紅外線角度測量儀的幫助下從8點(diǎn)逆時(shí)針走至C點(diǎn)處，

此時(shí)測得0ABC=12O。，且測得BC=20米，A3=10米.

⑴求該人工圓形湖泊的直徑；

⑵若。為人工圓形湖泊優(yōu)弧AC上一動(dòng)點(diǎn)(異于A，C兩點(diǎn))，求四邊形ABC。面積的取值范圍.

【變式3】為了測量一座底部不可到達(dá)的建筑物的高度，復(fù)興中學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下測量方案:

如圖，設(shè)A,B分別為建筑物的最高點(diǎn)和底部.選擇一條水平基線施，使得G,8三點(diǎn)在同一直線上,

在G,H兩點(diǎn)用測角儀測得A的仰角分別是a和6，測角儀器的高度是〃，CD=a,由此可計(jì)算出建筑物

的高度AB.若a=75。，4=45。，則此建筑物的高度是（答案用〃表示）

【題型八】與其它知識(shí)綜合問題

【例11在邊長為2的正方形ABCD中作出RtAEFG.直角頂點(diǎn)G為的中點(diǎn).其他兩頂點(diǎn)Eb分別在邊

【例2】已知NA08=e，|礪|=2,5.ABJ.OA,則卜麗一倒+x麗一xeR）的最小值為（）

3

A.2小B.2月C.3D.

2

【變式1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，VABC的三個(gè)頂點(diǎn)均位于拋物線「:9=2/（。＞0）上，點(diǎn)尸為「的

焦點(diǎn)，若sinA:sin8:sinC=B：l:l,直線的斜率為由，貝U使淺.器+品.器=%莽?成立的實(shí)數(shù)4的值

為.

22

【變式2】已知鳥的頂點(diǎn)片,B分別為雙曲線c：二-2=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C的右

ab

支上，且A耳與C的一條漸近線垂直，記C的離心率為e,若tan/￡AK=f,則e?=()

A.4+2&B.3+20

C.14-60D.13-673

【變式3】(多選)阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤?！分?

螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)A(T，o)，&(0，-2),4(3,0),4(0,4),A(-5,0),4(0,-6),4(7,0),4(0,8),

并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，則()

A.對(duì)于任意的正整數(shù)“，|AA+」=4

B.對(duì)于任意的正整