人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一講義：空間向量與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（十四大題型）

專題11空間向量與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題十四大題型匯總

》?？碱}型目錄

題型1共面問(wèn)題與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題..........................................................2

題型2線線平行與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題..........................................................9

題型3線面平行與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.........................................................12

題型4面面平行與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.........................................................22

題型5線線垂直與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.........................................................26

題型6線面垂直與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.........................................................39

題型7面面垂直與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.........................................................51

題型8線線角與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題............................................................62

題型9線面角與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題............................................................68

題型10面面角與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題..........................................................83

題型11點(diǎn)面、線面距離與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題..................................................97

題型12點(diǎn)線、線線距離問(wèn)題.......................................................109

題型13面積體積相關(guān)問(wèn)題.........................................................115

題型14三角形形狀問(wèn)題............................................................125

但知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一.利用空間向量解決立體幾何的探索性問(wèn)題思路：

L根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示.

2.假設(shè)所成的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系、

數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程（組）求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不

存在.

知識(shí)點(diǎn)二.動(dòng)點(diǎn)的設(shè)法（減少變量數(shù)量）

在解決探索性問(wèn)題中點(diǎn)的存在性四，經(jīng)常需要設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，而（x,y,z）可表示空間中

的任一點(diǎn)，使用三個(gè)變量設(shè)點(diǎn)需要列三個(gè)方程，導(dǎo)致運(yùn)算量增大.為了減少變量數(shù)量，用以

下設(shè)法.

1.直線（一維）上的點(diǎn)：用一個(gè)變量可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)；依據(jù)：根據(jù)平面向量共線定

理----若刃/?=皿eR,使得a=Ab

2.平面(二維)上的點(diǎn)：用兩個(gè)變量可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo).

3.依據(jù)：平面向量基本定理，若2萬(wàn)不共線，則平面上任意一個(gè)向量0，均存在X,ywR,使得

c=xa+yb

u題型分類

題型1共面問(wèn)題與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【方法總結(jié)】

共面定理：平面向量基本定理，若2"不共線，則平面上任意一個(gè)向量5,均存在X,yeR,

使得乙=xa+yb

【例題1](2021?高二課時(shí)練習(xí))如圖,在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中,￡(0,0,1),B(1,0,0),

F(0,2,2),C(a,2,0).

(1)求向量就在向量而上的投影的數(shù)量.

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)E,F,C,B共面？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理

由.

【答案】(1)W；(2)a=2

【分析】(1)求出麗,麗的坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表

示計(jì)算簪即可求解；

(2)求出點(diǎn)，BC,麗的坐標(biāo)，設(shè)存在實(shí)數(shù)%和y使得麗=》前+y前，根據(jù)向量相等坐

標(biāo)相同列方程組，解方程組求出a的值即可.

【詳解】(1)因?yàn)镋(O,O,1),5(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0)

所以加=(0,2,1),BC=(a-1,2,0),

所以向量正在向量而上的投影的數(shù)量為：

EFBC_0x(a-l)+2x2+lx0_4_4%

\EF\-V02+22+l2-V5-51

(2)麗=(1A-1)zEF=(0,2,1),前=(a-1,2,0),

若點(diǎn)E,F,C,B共面，則存在實(shí)數(shù)%和y使得麗=xEF+yBC,

(1=y(a—1)(x=-1

所以0=2x+2y,解得：y=1,

、—1=x\a=2

所以存在實(shí)數(shù)a=2使得點(diǎn)E,F,C,B共面.

【變式11]1.(2021?高二課時(shí)練習(xí))如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體力的中，點(diǎn)E,F分別是

BC,GA的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AB上，48=38G.

(1)已知上底面&C］內(nèi)一點(diǎn)H滿足GH〃EF,求41H的長(zhǎng).

(2)棱&5上是否存在一點(diǎn)K，使得GK,EF共面？若存在，求&K的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)

明理由.

【答案】(1)當(dāng)；(2)存在，&K的長(zhǎng)為卷

【分析】(1)根據(jù)正方體的特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，會(huì)簡(jiǎn)化很多，表示出點(diǎn)”的坐標(biāo)，

利用GH〃EF求出其坐標(biāo)，再根據(jù)模的計(jì)算公式求解；

(2)根據(jù)共面的基本定理，存在實(shí)數(shù)滿足旗=xGE+yEF,求出4值，即可求出K

的坐標(biāo)，及&K的長(zhǎng).

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,0),8(2,2,0)((0,2,0),6(0,2,2),名(0,0,2),A1(2,0,2),

(1)因?yàn)锳B=3BG，點(diǎn)瓦F分別是BCG。1的中點(diǎn)，

所以G(2t，0),E(l,2,0),F(0,l,2),設(shè)“(九”,2)(尢〃e[0,2]),則麗=(一1,一1,2),

_4

CH=(2—2,〃—2)，因?yàn)镚H〃EF，所以=—^=|，解得4=1,〃二》，

D—1—1Z3

所以,所以砧=(—1t,0),所以|兀同=小+2+0=等,

即的長(zhǎng)為手.

(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)K,設(shè)K(/l,0,2)(0<2<2),

則魂=(4-2,-92)屈=(-1,|,0).

因?yàn)镚K,EF共面，

所以存在實(shí)數(shù)%,y滿足魂=x^+y麗,

即(2-2,2)=x(-l,|,0)+y(-l,-l,2),

A—2=—x—y

得｛-l=lx-y

2=2y

解得4=|,所以K(|,0,2)，所以不=(-1,0,0)砧|=|,

所以存在點(diǎn)K，使得GK,EF共面，且&K的長(zhǎng)為,.

【變式11】2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA1面ABCD,

AD1CD,ADIIBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且*=|.

(1)求證：CD1面PAD；

(2)求二面角尸-AE-P的正弦值；

⑶設(shè)點(diǎn)G在PB上，且瞳=4.判斷是否存在這樣的4，使得A,E,F,G四點(diǎn)共面.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

譴

⑶存在

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)有PA1CD,再根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論.

(2)以A為原點(diǎn)，面4BCD內(nèi)與4D垂直的直線為X軸，而，標(biāo)方向?yàn)閥軸，Z軸空間坐標(biāo)

系,根據(jù)已知確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出面4EF、面4EP的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐

標(biāo)表示求面面角的余弦值，即可得其正弦值.

(3)由題設(shè)有方=(2A,-2,-2A)a4G=AP+~PG,根據(jù)點(diǎn)共面結(jié)合(2)中面4EFG的一

個(gè)法向量，利用向量垂直的坐標(biāo)表示求A,即可確定結(jié)果.

【詳解】(1)-PA1平面ABCD,CDu平面ABCD,

:.PA1CD,

■：ADLCD,PACyADA,PAu平面PAD,ADu平面PAD,

：.CD1平面PAD.

(2)以A為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)過(guò)A作CD的平行線為x軸，

AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

貝!M(0,0,0),E(O,1,1),F(|,|1),P(0O2),S(2,-l,0),

所以荏=(0,1,1),南=(|,|,力

平面AEP的一個(gè)法向量為元=(1,0,0),

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為訪=(%,y,z),

m?AE=y+z=0

一，取y=1,得z=Tx=1.

m?AF=-2%+-2y+-4z=0

f33Z3

故沅=(1,1,一1),

設(shè)二面角產(chǎn)-的平面角為e,由圖可知。為銳角，

則85。=昌=+=4.

，二面角尸-AE-P的余弦值為苧.

故二面角F-AE-P的正弦值為手.

(3)存在這樣的尢

由方=2而可得：~PG=(2尢一九一24),則E=AP+PG=(2/1,-A,2-22),

右A,E,F,G四點(diǎn)共面，貝！MG在面4EF內(nèi),

又面力EF的一個(gè)法向量為記=(1,1,-1),

■-Tn-AG=0,即24—A+24—2=0,"彳尋4=

.?存在這樣的4=|，使得四點(diǎn)共面

【變式11】3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖所示，在四棱錐P-4BCD中，底面28CD為

正方形，E為側(cè)棱PC上靠近P的三等分點(diǎn)，P21底面力BCD,且P4=AD=2.

(1)在側(cè)棱PD上是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)48,四點(diǎn)共面？若存在，指出點(diǎn)F的位置，并證明；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)求二面角P-AB-E的余弦值.

【答案】Q)取PD靠近P的三等分點(diǎn)F,證明見(jiàn)解析

()丁

【分析】(1)取PD靠近P的三等分點(diǎn)F,連接樂(lè),可證得E/7/4B即可得出結(jié)果.

(2)法1：過(guò)尸作P4的垂線，垂足為H,連接力尸,求證得“4F是二面角P-AB-E的平面

角，計(jì)算即可求得結(jié)果；

法2:以力為原點(diǎn)，分別以荏，礪，/為%,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面力BE的

一個(gè)法向量為記=(0,2,-1),平面ABP的一個(gè)法向量標(biāo)=(0,2,0),利用數(shù)量積公式計(jì)算即

可得出結(jié)果.

【詳解】(1)取PD靠近P的三等分點(diǎn)F,連接EF.

因?yàn)榕?S=b所以EF//CD.

5LAB//CD,所以EF〃4B,所以4B,E,F共面.

(2)法1:

過(guò)尸作P2的垂線，垂足為“，連接4F,

因?yàn)镻41平面ABC。"u平面2BC0,所以P21AB.

因?yàn)镻41AB,AD1AB,PAAD=A,PA,ADu平面PAD,

所UW1平面PAD.

因?yàn)锳Fu平面PAO,

所以4B1AF,結(jié)合AB1PA,

得NP”是二面角尸-48-E的平面角.

在RtAAHF^,“是PA靠近P的三等分點(diǎn),FH=PH=^PA,AH=lPA,

故尸4=7AH2+FW=QA,

?.AH275

COSZ.FAHrr=—=~,

AF5

故二面角P-AB-E的余弦值為學(xué).

法2:

以4為原點(diǎn)，分別以荏，麗,Q為X,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻4=AD=2,四邊形4BCD為正方形，

所以40,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(|,|(),

從而麗=仔―—荏=(2,0,0).

設(shè)平面4BE的一個(gè)法向量為而=(%,y,z),則

｛襄二間力二濘‘取"2'則…’2f

平面4BP的一個(gè)法向量為而=(0,2,0).

設(shè)二面角P-AB-E的平面角為9,

in-AD_4_2V5

則

cose=|7n|-|AD|-2V5-5

故二面角P-4B-E的余弦值為學(xué).

題型2線線平行與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【例題2](2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，已知空間幾何體P-48CD的底面ABCD是一

個(gè)直角梯形，其中NBA。=90°,AD//BC,BA=BC=a,AD=2a,且PA1底面ABCD,PD與

底面成30。角.

P

(1)若說(shuō)PD=8,求該幾何體的體積；

⑵若AE垂直PD于E,證明:BE1PD;

⑶在(2)的條件下，PB上是否存在點(diǎn)F,使得EF//BD,若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴竽

⑵證明見(jiàn)解析

(3)存在尸弓,0,弓a).

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，

(1)求出而，麗，利用就-PD=2a2=8可得a,再求體積即可；

(2)求出而坐標(biāo)，麗?旗=0可得答案；

(3)由EF//BD,求出E點(diǎn)的豎坐標(biāo)、F點(diǎn)的豎坐標(biāo),設(shè)尸［，。年,,由屈〃而，得x可

得答案.

【詳解】(1)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),￡)(0,2a,0),

尸(0,0,第a),

BC=(0,a,0),PD=(0,2a,a),

???BC?PD=2a2=8,，a=2,

此時(shí)V=：x：x(4+2)x2x^=竽;

(2)E(0，d),.?.BE=(0,p^a)-(a,0,0)=,

---PD-BE-(0,2a,—a)"(一CL,—,fa)=0+a?—a?=Q,

BE1而,???BEtPD；

(3)由EF〃BD,E點(diǎn)的豎坐標(biāo)為fa，二尸點(diǎn)的豎坐標(biāo)為日a,

設(shè)尸(%,0,fa),由麗〃而，得％”?存在Fg,0,ya).

【變式21】（2021高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體力Q中，點(diǎn)E,F分別是BC,

GA的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AB上，AB=3BG.

（1）已知上底面4G內(nèi)一點(diǎn)H滿足GH〃EF,求41H的長(zhǎng).

（2）棱4劣上是否存在一點(diǎn)K，使得GK,EF共面？若存在，求&K的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)

明理由.

【答案】（1）當(dāng)；（2）存在，&K的長(zhǎng)為：

【分析】（1）根據(jù)正方體的特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，會(huì)簡(jiǎn)化很多，表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，

利用GH〃EF求出其坐標(biāo)，再根據(jù)模的計(jì)算公式求解；

（2）根據(jù)共面的基本定理，存在實(shí)數(shù)滿足旗=xGE+yEF,求出4值，即可求出K

的坐標(biāo)，及&K的長(zhǎng).

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

貝!M(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),Q(0,2,2),￡)I(0,0,2),4I(2,0,2),

(1)因?yàn)?B=3BG，點(diǎn)瓦F分別是BC,CiA的中點(diǎn),

所以G(2t，0),E(l,2,0),F(0,l,2),設(shè)"(4,〃,2)(無(wú)4e[0,2])廁麗=,

_4

麗=(2—2,“—$2),因?yàn)镚H〃EF，所以號(hào)=\=|，解得41,〃=(,

所以H(l1,2)，所以初=(—1,0),所以同而=J1+扛0=手,

即的長(zhǎng)為手.

(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)K,設(shè)K(2,0,2)(0<2<2),

則蘇=("2,一92),次=(-1,|,0).

因?yàn)镚K,EF共面，

所以存在實(shí)數(shù)”,y滿足a="旗+丫麗,

即(4—2,V，2)=x(-l,|,0)+y(-l,-l,2),

A,—2=-x—y

得｛-l=lx-y

2=2y

解得4=I,所以K(|,0,2)，所以和=(-|,0,0)，O|=I,

所以存在點(diǎn)K，使得GK,EF共面，且&K的長(zhǎng)為T.

題型3線面平行與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【例題3](2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在

的平面互相垂直，SAB//CD,AB1BC,AP1PB,AB=2,BC=CD=1.

⑴求證：AB1PD；

(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；

(3)線段PA上是否存在點(diǎn)E，使得PC〃平面EBD?若存在，求出爺?shù)闹?；若不存在，?qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

譴；

⑶存在；—

—AP3

【分析】(1)取AB的中點(diǎn)為0,利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理作答.

(2)以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦作答.

(3)確定點(diǎn)E的位置，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理判斷作答.

【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)為0,連接DO,P0,由P4=PB,得P。1AB,

又四邊形ABCD為直角梯形，且AB1BC,AB//CD,AB=2,BC=CD1,

則四邊形OBCD為正方形,DOJ.AB,又DOnP。=。，DO,POu平面POD,

因此2B_L平面POD,又PDu平面POD,

所以ZB1PD.

(2)P01ABS.POu平面PAB，又平面PAB1平面ABCD,且平面/MBCl平面ABC。=AB,

貝!|P。_L平面ABCD,DOu平面ABC。,有P。1DO,即有OA,OD,OP兩兩垂直，

以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD、OA、OP分別為x、v、z軸的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

由等腰直角△PAB,AB=2,BC=CD1,得。4=OB=OD=OP=1,

則。(O,O,O),4(O,I,O),B(O,-LO),C(I,TO),Z)(LO,O),P(O,O,D,

即無(wú)=(1,-1,-1),平面PAB的一個(gè)法向量為赤=(1,0,0),設(shè)直線PC與平面PAB所成

的角為。,

因此sin。=|cos(PC,OD)|=.鬻=y,即cos。=V1-sin26?=y,

所以所求直線PC與平面ABP所成角的余弦值為當(dāng)

(3)線段PA上存在點(diǎn)E,且當(dāng)筆=用寸，使得PC〃平面EBD.

由屋=.同=(0，，-5)，得E(0,j|)，則麗=(0,-|,-|),BO=(1,1,0),

33

設(shè)平面EBD的法向量為元=(x,y,z)則_>，令y=-1得元=(1,-1,2),

n-BD=x+y=0

又近?元=1x1+(-1)x(-1)+(-1)x2=0，則無(wú)_1有，而PCC平面EBD,因此PC//平

面EBD,

所以點(diǎn)E滿足笫=|時(shí)，有PC〃平面EBD.

【變式31】1.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯

形,AB||CD,/.DAB=60°,FC，平面ABC。,AELBD,CB=CD=CF.

(1)求二面角?！狟F—C的余弦值；

(2)在線段AB(含端點(diǎn))上,是否存在一點(diǎn)P,使得FP||平面&ED.若存在，求出笫的值；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴誓

⑵存在，務(wù).

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解二面角，

(2)由平面法向量與直線方向向量垂直，結(jié)合向量共線，即可由坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】(1)過(guò)D作DM14B于M,由于=60°,貝=ADCOS^DAB=由于

AD=DC=BC,且四邊形ABC。是等腰梯形，所以AB=2AM+DC=2DC,在三角形2BD中,

220

由余弦定理可得BO=y/AD+AB-2AD-XBCOS60=WAD,所以4。2+BD2=人爐,故

BD1DA,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DB為無(wú)軸，y軸，過(guò)點(diǎn)。作CF的平行線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)CD=CB=2,貝=2?AD=2,

D(0,0,0),X(2,0,0)E(l,0,l),F(-l,V3,2),B(0,2V3,0),C(-l,V3/0),

DB=(0,2V3,0),DF=(-1,V3,2)

設(shè)面DBF的法向量瓦=(x,y,z),

則叵絲=0[2V3y=0，取x=2,得蘇=(2,0,1).

向?DF=0l-x+V3y+2z=0

設(shè)面CBF的法向量荻=(a,b,c),CB=(l,V3,0),BF=(-1,-祗2)

則但.竺=0,即1a+V3b=0，則取k二，得即=(_3,工0).

顯?BF=0t-a-V3fo+2z=0

??,cos<n^,n^>=空％=廣6廠=—,

12

|n1||n2|V5X2V55

由幾何體的特征可知二面角。-BF-C的平面角為銳角，

??二面角D—BF-C的余弦值為半.

(2)■■■AE1BD,BD1AD,AECtAD=A,AD,AEu面2ED,

BD1面.

設(shè)AP=xAB=2(-2,2V3,0)=(-22,2g,0),FP=AP-ZF=(-22+3,2舊4-

V3,-2),

DB=(0,2V3,0)

若FPII平面4ED,則而1~BD，所以(2舊4-V3)2>/3=004=]

所以笫制

【變式31】2.（2023?全國(guó)?高二假期作業(yè)）如圖：在正方體4BCD-&B]C也中，M為DD1

的中點(diǎn).

⑴求證：BD】||平面4MC；

⑵在線段CG上是否存在一點(diǎn)N，使得平面4MCII平面BN%,說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵存在，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）連接BD交AC于。，連接M0,通過(guò)證明。M||BO1可證明結(jié)論;

（2）CG上的中點(diǎn)N即滿足平面AMCII平面BN5,通過(guò)證明QN||平面2MC結(jié)合8%||平

面AMC可證明結(jié)論.

【詳解】（1）連接BD交AC于0,連接M0.

?.2BCD-48停1。1為正方體，底面4BCD為正方形，二0為BD的中點(diǎn).

.M為DA的中點(diǎn)，在4DBA中，0M是^DBA的中位線，所以。MIIBD「

又。Mu平面4MC,BD1,平面4MC,:.BDr||平面4MC；

（2）CCi上的中點(diǎn)N即滿足平面2MCII平面BN%,

.N為CQ的中點(diǎn),M為DDi的中點(diǎn),.-.CN||MDr,且CN=MDr,

二四邊形CNOiM為平行四邊形，血N||MC,

■：MCu平面4MC,D]NC平面4MC,

:.D[N||平面4MC；

由（1）知BD】||平面4MC,

又〈BD]n%N=,

，平面4MC||平面BN5.

【變式31J3.（2023?全國(guó)?高二假期作業(yè)）如圖在平面五邊形ABCDE中,AB//DC,zBCD

^90°,AB=AD=10,AE=6,BC=8,CD=4,A.AED=90°,EH1AD,垂足為H,

將AADE沿2。折起（如圖），使得平面ADE,平面ABCD.

(1)求證：平面ABCD;

(2)求三棱錐C-2DE的體積；

(3)在線段BE上是否存在點(diǎn)M，使得〃平面CDE?若存在，求翳的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵詈

⑶存在，翳

【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)證明即可；

(2)利用等體積法,由左-ADE=%-4CD求解即可；

(3)過(guò)點(diǎn)H作平行線得出與平面CDE平行的平面，然后利用三角形一邊平行線的性質(zhì)求

解.

【詳解】(1)因?yàn)镋H1AD,平面4DE1平面ABCE,平面ADEC平面力BCD=AD,EHu平

面ADE,

所以EHL平面ABCD;

(2)在直角三角形ADE中，1ZE=6,AD=10,:.DE=8,

24

vDE,AE=AD,EH".EH=y,

vzBCD=90。，BC=8,CD=4,

△acn的面積S=|x4x8=16,

所以三棱錐C-ADE的體積為％TDE=VE-ACD=(XSxEH=X16Xy=等；

(3昉法一過(guò)點(diǎn)H作HNIIDE交AE于點(diǎn)N過(guò)點(diǎn)N作NMIIAB交EB于點(diǎn)M連接.

又因?yàn)锳BIIDC,所以MNIICD,又CDu平面CDE,MN仁平面CDE,

CDE,同理NHII平面CDE,

又因?yàn)镸NC\NH=N,MNu平面MNH,NHu平面MNH,

所以平面MNH〃平面CDE.

因?yàn)镸Hu平面MNH,所以MH〃平面CDE.

在Rt△4ED中,EH1AD,DH-DA=DE2,

又DE=8,AD=10DH

...clENDH16

???HrrNTDE,??.一=—=—

EADA25

-r—j...J.ACEMEN16

又??,NrMAB,??.一=—=—

EBEA25

所以在線段BE上是否存在點(diǎn)M，使得MHII平面CDE，且翳=色

方法二：過(guò)點(diǎn)H作HG〃C。交BC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GM〃C￡"交EB于點(diǎn)M,連接HM.

E

AB

又因?yàn)椤癎IICD,CDu平面CDE,HGC平面CDE,

所以HGII平面COE,同理GMII平面COE.

又因?yàn)镠GCGM=G,HGu平面MHG,GMu平面MUG,

所以平面MHGII平面CDE.

因?yàn)镸Hu平面MHG,所以〃/711平面。?！?.

在Rt△AEDdp,EHLAD,：.DH-DA=DE2,

又DE^8,AD=10DH

itz->r>CGDH16

vHGCD,—=—=—

CBDA25

又MGUCE謂」若

所以在線段BE上是否存在點(diǎn)M，使得平面CDE，且翳=蔡

【變式31】4.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)如圖在直三棱柱XBC-a/1Cl中ABAC=90°,

28=4C=2,441=2/.M是AB的中點(diǎn)，N是當(dāng)酊的中點(diǎn)，P是2C1與/C的交點(diǎn).

(1)求直線&P與平面&CM所成角的正弦值；

(2)線段&N上是否存在點(diǎn)Q,使得PQ〃平面41cM?

【答案】Q)答

⑵存在

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值;

(2)設(shè)出荻=/L^JV(O<A<1),結(jié)合第一問(wèn)中求出的平面&CM的法向量，需元1萬(wàn)，

從而元-PQ=O,列出方程，求出4的值，得到答案.

【詳解】(1)以A為原點(diǎn),AC,AB,A4i所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?1,C,M的坐標(biāo)分別為(0,0,2/),(2,0,0),(0,1,0),所以北=(2,0,-272),A^M=

(O,l,-2V2).

設(shè)元=(%y,z)是平面&CM的法向量，貝歸竺=°,

即產(chǎn)一;*=>所以,

(y-2v2z=0(y=2V2z

取z=/，貝！]x=2,y=4,所以元=(2,4,夜)是平面41cM的一^法向量.

P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,魚(yú)),所以不=(1,1,-V2).

設(shè)&P與平面&CM所成的角為0,

貝(]sine=用=里邛=名.

問(wèn)必㈤V22XA/411

(2)由4,N的坐標(biāo)分別為(0,0,2企),(1,1,272),故京R=(1,1,0),

設(shè)砧=4審(0<A<1),則不。=(2,A,0),得Q。42魚(yú)),

又P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,魚(yú))，所以直線PQ的一個(gè)方向向量所=(A-1,A-1,V2),

若PQ〃平面41cM，需元，而，從而元PQ=0,

即2(4-1)+4(4—1)+2=0,解得4=|,這樣的點(diǎn)P存在.

所以線段4N上存在點(diǎn)Q,使得PQ〃平面&CM，此時(shí)，Q為線段4N上靠近點(diǎn)N的三等分

點(diǎn).

題型4面面平行與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【例題4】（2023?高三校聯(lián)考單元測(cè)試）如圖，在三棱錐力BOC中，4。，平面8。。,^OAB=

^OAC=-,AB=AC=2,BC=y12,D,E分別為AB,OB的中點(diǎn).

6

（1）求。到平面力BC的距離；

（2）在線段CB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面DEF〃平面40C?若存在，試確定尸的位置，并證

明此點(diǎn)滿足要求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）九=亨；

⑵答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）證明。。10B,利用等體積法，求出O到平面ABC的距離；

（2）取CB的中點(diǎn)F,連接。尸,EF,^\DF//AC,DE//AO,利用面面平行的判定定理可以

證明平面DEF〃平面AOC.

【詳解】（1）因?yàn)?。1平面COB,所以4。1CO,AO1BO,SPA4。8為直角三角

形.

又因?yàn)?。48=4。4c=^,AB=AC=2

所以。B=OC=L40=V3

由。B2+0C2=1+1=2=BC2,可知△BOC為直角三角形.

所以C。1BO,所以S"℃=l.ShABC=jxV2xJ22一停『=?

設(shè)。到平面ABC的距離為h,

由于%-BOC=^O-ABCi得§SABOC,V3=-S^ABC-h,解得：h=

(2)在線段C8上存在一點(diǎn)F，使得平面。EF〃平面40C,此時(shí)F為線段C8的中點(diǎn).

如圖，

連接DF,EF,因?yàn)镈,E分別為的中點(diǎn)，所以DE〃O4

又DE0平面40C,OAu平面40C,所以?！?平面AOC.

同理可證：EF〃平面40C,

又EFCDE=E,EFu平面。EF,DEu平面DEF,

所以平面DEFII平面AOC.

【變式41】1.(2023?全國(guó)?高二假期作業(yè))如圖，四棱錐P—2BCD中,AB//CD,AB=2CD,

E為PB的中點(diǎn).

(1)求證：C￡7/平面P4D.

(2)在線段28上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD〃平面CEF?若存在,證明你的結(jié)論，若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用構(gòu)造平行四邊形的方法證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得

線面平行；

(2)點(diǎn)尸為線段48的中點(diǎn)，再利用面面平行判定定理證明，即可證明平面24?！ㄆ矫鍯M.

【詳解】(1)證明：如圖所示，取P4的中點(diǎn)H,連接EH,DH.

因?yàn)镋為P2的中點(diǎn)，

所以弛/4B,EH=^AB.

又AB"CD,CD=\AB,

所以,EH=CD.

因此四邊形OCEH是平行四邊形，

所以.

又DHu平面PAD,CE0平面,

因此CE〃平面PAD.

(2)解：如圖所示，取4B的中點(diǎn)F,連接CF,EF,

p

所以4F=\AB

又CD=^AB,所以4F=CD.

又AF〃CD,所以四邊形4FCD為平行四邊形，

因此CF//4C.

又CFc平面24。,所以CF〃平面24。.

由（1）可知CE//平面PAD.

因?yàn)镃ECiCF=C,故平面CEF〃平面PAO.

【變式41】2.（2023?全國(guó)?高二假期作業(yè)）如圖，在三棱柱XBC-4/G中，E,F分別為

線段46,4G的中點(diǎn).

⑴求證：EF//平面BCC/i.

（2）在線段8G上是否存在一點(diǎn)G，使平面EFG//平面力B/4?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵存在，理由見(jiàn)解析

【分析】（1沖艮據(jù)中位線的性質(zhì)可得EF〃&A，再根據(jù)線面平行的判定可得EF〃B卷即可;

（2）取BCi的中點(diǎn)G,連接GE,GF，根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可

【詳解】(1)證明：因?yàn)镋,F分別為線段aQ&G的中點(diǎn)所以EF〃&A.因?yàn)椤?a,所

以EF//B1B.又因?yàn)镋F仁平面BCC/1,BrBu平面BCC/i,所以EF〃平面BCC/1.

(2)取BCi的中點(diǎn)G,連接GE,GF.因?yàn)镋為AC1的中點(diǎn)所以GE〃42.

因?yàn)镚EC平面力幽4，ABu平面4BB14,所以GE〃平面4幽4,

同理可彳導(dǎo)，EF//平面ZBBiAi,又因?yàn)镋F(\EG=E,EG,EFu平面EFG,所以平面EFG〃

平面4881al

故在線段8Ci上存在一點(diǎn)G，使平面EFG〃平面

題型5線線垂直與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【例題512023秋?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)如圖所示，三棱柱-ABC中^A=a^B=b,

=

CC1=c,CA=CB=CCr=1,^d,b)=(a,c)~：(b,c)=,N是4B中點(diǎn).

(1)用2,b,1表示向量&N；

(2)在線段GBi上是否存在點(diǎn)M,使4M1ArN?若存在,求出”的位置，若不存在，說(shuō)明理

由.

【答案】(1)-7+

(2)當(dāng)=：CiBi時(shí)，AM1A]N

【分析】(1)根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)焉而=Ue[0,1]),^a,b,3表示向量贏，依題意可得詢.=0,根

據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出4,即可得解.

【詳解】(1)解：因?yàn)镹是中點(diǎn),所以前=觀,

fifTUUjV=方+麗=京+lAB

=-Cq+j(CB-CX)=-ja+jb-c；

(2)解：假設(shè)存在點(diǎn)M，使AM1ArN,設(shè)的=2QK,(2e[0,1]),

吊=Ab,AM=AA-i+241cl+C-yM=c—a+Ab,

因?yàn)锳M1A±N,所以前?A^N=0,

即—a+Ab),(——a+—￡>—c)=0,

IffIf_>TO1to17TTT1fT1T?！?/p>

—-c-a+-c-h—c2+-a2--a-fo+c-a--2a-fo+-A.b2—Ab-c=0

乙乙乙乙乙乙

VCA=CB=CQ=1,{a,b)=(a,c)=y,(b,c)=^,

?1?2C'a-c+2a―(2+2^a'b+2Ab=0

即如""(一》—12+打12-?+/)*””(一》+”12=0,

解得2=|,所以當(dāng)GM=|GBi時(shí)，AM1A]N.

【變式51]1.(2023春?浙江杭州?高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中)如圖，將長(zhǎng)方形CM&Oi(及

其內(nèi)部)繞。。1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中04=I,。]。=2,劣弧AB1的長(zhǎng)為，4B為圓。的

直徑.

(1)在弧力B上是否存在點(diǎn)C(C,Bi在平面04&01的同側(cè))，使BC1AB1,若存在，確定其位

置，若不存在，說(shuō)明理由；

(2)求平面與平面當(dāng)0把夾角的余弦值.

【答案】(1)存在,當(dāng)當(dāng)C為圓柱。。1的母線,BC1ABt

()17

【分析】(1)當(dāng)/C為圓柱。。1的母線，證明BC1平面四停,從而得出BC1ABr；

(2)以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出平面4。/與平面B］。/夾角的余

弦值

【詳解】(1)存在，當(dāng)4C為圓柱。。1的母線,BC1AB1.

連接,因?yàn)闉閳A柱。。1的母線，所以4C1平面4BC,

又因?yàn)锽Cu平面ABC,所以BiC1BC.

因?yàn)?B為圓。的直徑，所以8c1AC.

BC1AC.BrC1BC,ACC/C=C,所以BC1平面,

因?yàn)锳%u平面A/C,所以BC1ABr.

(2)以。為原點(diǎn)，。4。。1分別為力2軸,垂直于y,z軸直線為久軸建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示.

(0,1,2),C)!(0,0,2),5(0,-1,0),

因?yàn)锳Z的長(zhǎng)為g,所以乙41。/1=三/6淳,2),取=(0,—1,—2),

oo\ZZ/

1V3

OB=

112亍°

設(shè)平面O/iB的法向量而=(尤,y,z),

—y—2z=o,r

i,V3令％=-3，解得y=遮,z=一-

-xH——y=0,2

、2z)

所以布=(一3,巡,一日).

因?yàn)閤軸垂直平面4。聲,所以設(shè)平面4。/的法向量元=(1,0,0).

匚匚/—>一\-32V51

所以cos〈m,7i)=「==——.

J9+3+Z

所以平面公。/與平面當(dāng)。/夾角的余弦值為等.

【變式51]2.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，在三棱錐P-ABC中,PB1平面2BC,

AB上BC,AB=PB=2,BC=26，E、G分另!J為PC、PA的中點(diǎn).

(1)求證：平面BCG1平面P2C；

(2)在線段2C上是否存在一點(diǎn)N，使PN1BE?證明你的結(jié)論.

【答案】Q)證明見(jiàn)解析

(2)存在,證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由線面垂直得到BC1PB,再由481BC,即可得到BC1平面P22,從而證得

PA1BC,又Rt△24B為等腰直角三角形，故BG1PA,從而得24，平面BCG,結(jié)論可證；

(2)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，B4為%軸，BC為y軸，BP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求得瓦點(diǎn),

N點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得前、前的坐標(biāo)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算航-PN=0即可得到答案.

【詳解】(1)證明：PB1平面4BC,BCu平面4BC,

???BCLPB,

又ABJ.BC,ABClBP=B,AB,BPu平面P48

???BC1平面P28,PAu平面P28,

???BC1PA.

又4B=PB=2,△PAB為等腰直角三角形，G為斜邊PA的中點(diǎn)，

???BG1PA,又BGCBC=B,BG,BCu平面BCG,

???PA，平面BCG,PAu平面PAC,

;平面BCG1平面PAC；

(2解以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),B2為x軸￡。為酒由,BP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則4(2,0,0),

C(O,2V3,O),P(0,0,2),￡(0,V3,l),

設(shè)存在點(diǎn)NGAC，使PN1BE，點(diǎn)N的坐標(biāo)設(shè)為NQo，yo,0),

所以而=(O,V3,l),PN=Oo，yo,-2),

由相似三角形得需=,即q=矗，

***y0=2-^3^—^/^XQ.

???PN=(%。，2A/5—V5%o,—2),

又PN1BE,

???麗?兩=0.

*e*0xXQ+V3x(2^3—V3%Q)+1x(—2)=0,

???x0=-e[0,2],

故存在點(diǎn)NGAC，使PN1BE.

【變式51]3.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）在①（礪+DF）1（D￡-DF）,@\DE\=?,

③0<cos（EF,DB）<1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答.

問(wèn)題：如圖，在正方體48C。-4/停1。1,中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-

xyz.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,0,2）,E為棱。iG上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱/G上的動(dòng)點(diǎn)則是

否存在點(diǎn)E,F，使得麗?碇=0?若存在，求出版?豆的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)可得向量的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算模長(zhǎng)以

及數(shù)量積，進(jìn)而可求解.

【詳解】方案一：選條件①.

假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)E，尸.由題意，知正方體力BCD-&B1GD1的棱長(zhǎng)為2，則。(0,0,0),

4(2,0,0),B(2,2,0),4(2,0,2),C(0,2,0),所以中=(—2,2,—2).設(shè)E(0,a,2)(0<a<2),

F也2,2)(0<b<2),則而=(b,2-a,0),AE=(-2,a,2),BF=(b-2,0,2),所以而?

A^C=4-2(a+6),族歷=8-26.

因?yàn)?反+CF)1-CF)，所以(礪+CF)--CF)=DE2-CF2=0,BPDE2=CF2.

因?yàn)榈Z=(0,a,2),而=(b,0,2),所以a?+4=b2+4,所以a=b.又加?卡=4—

2(a+b)=0,