2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第5節(jié)橢圓第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系教學(xué)案理含解析北師大版

PAGE1-第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系1．若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5D[∵直線y＝kx＋1恒過定點(diǎn)(0,1)，∴要使直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，只需eq\f(02,5)＋eq\f(12,m)≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范圍為m≥1且m≠5，故選D．]2．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)．[解]將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)當(dāng)Δ＞0，即－3eq\r(2)＜m＜3eq\r(2)時(shí)，方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)．(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)相互重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－3eq\r(2)或m＞3eq\r(2)時(shí)，方程③沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．[規(guī)律方法]直線與橢圓位置關(guān)系的判定方法直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程時(shí)，設(shè)其判別式為Δ，①Δ＞0?直線與橢圓相交；②Δ＝0?直線與橢圓相切；③Δ＜0?直線與橢圓相離．提示：過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線均與橢圓相交．弦長及中點(diǎn)弦問題?考法1中點(diǎn)弦問題【例1】(1)過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，且被點(diǎn)P平分的弦所在直線的方程是()A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0(2)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1(1)B(2)D[(1)設(shè)所求直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),16)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),16)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，②))①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,16)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,4)＝0，又P(3,1)是A，B的中點(diǎn)．∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(3,4).故直線AB的方程為y－1＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－13＝0，故選B．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0.又AB的中點(diǎn)為(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(0＋1,3－1)＝eq\f(1,2)，又右焦點(diǎn)為F(3,0)，∴a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，即所求橢圓方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1，故選D．]?考法2弦長問題【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，|AB|＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．[解](1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿意條件．②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)．將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2).同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12k2＋1,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2)＋eq\f(12k2＋1,3k2＋4)＝eq\f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.[規(guī)律方法](1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡潔．(2)與橢圓中點(diǎn)弦有關(guān)的問題應(yīng)用橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)比較便利快捷，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為eq\f(3,4)，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，B．[解](1)依據(jù)c＝eq\r(a2－b2)及題設(shè)知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的離心率為eq\f(1,2).(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1＜0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②將①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).(2024·全國卷Ⅱ)已知橢圓E：eq\f(x2,t)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.(1)當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時(shí)，求△AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|＝|AN|時(shí)，求k的取值范圍．[解](1)設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0.當(dāng)t＝4時(shí)，E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，A(－2,0)．由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為eq\f(π,4).因此直線AM的方程為y＝x＋2.將x＝y(tǒng)－2代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得7y2－12y＝0.解得y＝0或y＝eq\f(12,7)，所以y1＝eq\f(12,7).因此△AMN的面積S△AMN＝2×eq\f(1,2)×eq\f(12,7)×eq\f(12,7)＝eq\f(144,49).(2)由題意知t＞3，k＞0，A(－eq\r(t)，0)．將直線AM的方程y＝k(x＋eq\r(t))代入eq\f(x2,t)＋eq\f(y2,3)＝1得(3＋tk2)x2＋2eq\r(t)·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－eq\r(t))＝eq\f(t2k2－3t,3＋tk2)得x1＝eq\f(\r(t)3－tk2,3＋tk2)，故|AM|＝|x1＋eq\r(t)|eq\r(1＋k2)＝eq\f(6\r(t1＋k2),3＋tk2).由題設(shè)知，直線AN的方程為y＝－eq\f(1,k)(x＋eq\r(t))，故同理可得|AN|＝eq\f(6k\r(t1＋k2),3k2＋t).由2|AM|＝|AN|得eq\f(2,3＋tk2)＝eq\f(k,3k2＋t)，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．當(dāng)k＝eq\r(3,2)時(shí)上式不成立，因此