浙江省臺州市十校聯(lián)盟2024-2025學年高二下學期4月期中考試 數(shù)學 含解析

浙江省臺州十校聯(lián)盟2024-2025學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．學校要求學生從物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這7科中選3科參加考試，不同的選法種數(shù)共有（

）A．10種 B．35種 C．105種 D．210種2．無人機飛行最大距離是無人機性能的一個重要指標．普宙系列是我國生產(chǎn)的一款民用無人機，其飛行的最大距離（千米）服從正態(tài)分布，記，，當變小時，則（

）A．變大 B．變小 C．不變 D．變小3．下列求導過程錯誤的選項是（

）A． B．C． D．4．2025年哈爾濱亞洲冬季運動會高山滑雪比賽的滑雪賽場中某一段滑道的示意圖如圖所示，綜合考慮安全性和趣味性，在滑道最陡處點P處的切線方程是，則（

）A． B． C．1 D．35．語文老師要從10篇課文中隨抽3篇不同的課文讓同學背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某位同學只能背誦其中的6篇，則他能及格的概率是（

）A． B． C． D．6．若的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（

）A． B． C．60 D．2407．將三項式展開，得到下列等式：…觀察多項式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它正上方與左右兩肩上的3個數(shù)（不足3個數(shù)時，缺少的數(shù)以0計）之和，第k行共有2k+1個數(shù)．則關(guān)于x的多項式式的展開式中，項的系數(shù)（

）

A． B． C． D．8．已知，，，試比較，，的大小（

）A． B． C． D．二、多選題9．某影院在2024年春節(jié)檔引入了4部電影，包含2部喜劇電影、2部動畫電影，其中《熊出沒·逆轉(zhuǎn)時空》是一部動畫電影．該影院某天預留了A，B兩個影廳用于放映這4部電影，這4部電影當天全部放映，每部電影固定在一個影廳內(nèi)放映，每個影廳當天至少放映一部電影，則下列選項正確的是（

）A．若B影廳僅放映1部電影，有4種安排方法B．一共有16種安排方法C．若將《熊出沒·逆轉(zhuǎn)時空》安排至A影廳，有7種安排方法D．若將2部動畫電影安排至不同影廳，有4種安排方法10．甲箱中有2個白球和3個黑球，乙箱中有3個白球和2個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．若函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．有且僅有1個零點C．有且僅有2個極值點 D．是的一條切線方程三、填空題12．隨機變量，則．13．的展開式中的系數(shù)為．14．已知函數(shù)，．若在上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為．四、解答題15．計算：（用數(shù)字作答）(1)；(2)．16．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值．17．已知離散型隨機變量X的分布列．(1)求常數(shù)的值；(2)求；(3)求隨機變量的分布列及方差．18．若，；求：(1)求的值；(2)求的值；(3)求的最大值．19．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當時，設(shè)，若有兩個不同的零點，求參數(shù)的取值范圍．題號12345678910答案BCBADCDBACBCD題號11答案ABD1．B由組合數(shù)的定義即可求解.【詳解】由組合數(shù)的定義可知共有種選法.故選：B.2．C根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和原則判斷即可.【詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，則，，當時，，，當變小時，與的值不變，則、都不變，故選：C.3．B利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，，D對.故選：B.4．A由導數(shù)的幾何意義可知，再利用導數(shù)的定義計算即可.【詳解】由題意可知，，則.故選：A5．D先得出總的選法為，該同學能及格分為能背誦的6道里抽3道和能背誦的6道里抽2道及不會背誦的4道抽1道，即該同學能及格的情況有，由古典概型可計算及格的概率.【詳解】從10篇課文中隨抽3篇不同的課文，總共的選法為種，該同學能及格的情況有種，由古典概型可知，該同學能及格的概率為.故答案為：.6．C先求出，利用二項展開式的通項公式即可求解.【詳解】,由題意可得，解得.故展開式的通項為，令，所以，所以，所以展開式中的常數(shù)項為.故選：C.7．D直接利用廣義楊輝三角和數(shù)據(jù)的組合的應用求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)廣義楊輝三角的定義：；故；關(guān)于的多項式的展開式中項的系數(shù)為．故選：D．8．B構(gòu)造函數(shù)以及，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)則當時單調(diào)遞減，故故進而，設(shè)由于函數(shù)和均為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此，故，故，因此，故選：B9．AC利用分步選取，只要確定影廳放映的電影，剩下的就是給影廳，即可解決問題.【詳解】對于A，按影廳僅放映1部電影，有種安排方法，故A正確；對于B，按影廳放映的電影，有種安排方法，故B錯誤；對于C，按影廳放映的電影一定有《熊出沒逆轉(zhuǎn)時間》，則有種安排方法，故C正確；對于D，按影廳放映的電影一定有1部動畫電影，有種安排方法，故D錯誤．故選：AC．10．BCD對于A，由古典概型可得結(jié)果；對于B，由樣本空間點可得結(jié)果；對于C，先求出，再由條件概率的定義可得；對于D，由全概率公式可算得.【詳解】對于A，由古典概型可知，故A錯誤；對于B，由條件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的條件下，從乙箱中取出的是白球的概率，當甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4個白球和2個黑球，由古典概型可知；對于C，由B選項分析同理可得，由條件概率的定義可知，故C正確；對于D，由全概率公式可得，故D正確.故選：BCD.11．ABD對于A，利用奇函數(shù)的定義即可判斷；對于B，將解析式分段寫出，然后分別求導，得在上單調(diào)遞增，由零點存在定理可判斷；對于C，由B可知在上恒成立，可判斷C；對于D，分類討論在和范圍內(nèi)是否有導數(shù)值即斜率為的點，再驗證函數(shù)值是否相等，由此可判斷正誤.【詳解】對于A，的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于B，當時，，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，且此時；同理當時，，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，且此時，又，故在上單調(diào)遞增，又，由零點存在定理可知有且僅有1個零點，故B正確；對于C，由B選項分析可知在上恒成立，且在處兩邊導數(shù)值均為正不變號，由函數(shù)極值點的定義可知，函數(shù)在上無極值點，故C錯誤；對于D，當時，令，解得，且，此時，故不是在內(nèi)的切線方程；當時，令，解得，且，此時，故是在處的切線方程；當時，因為，此時，故不是在處的切線方程；綜上，是在處的切線方程，故D正確.故選：ABD.12．應用二項分布期望公式計算求解.【詳解】隨機變量，則．故答案為：.13．14根據(jù)二項式定理求出含的項，即可得其系數(shù).【詳解】，的展開式中含的項為的展開式中的系數(shù)為14.故答案為：1414．根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得關(guān)于的不等式，求解即得答案．【詳解】由，得，令，得∵，∴當時，；當時，;所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).若在上不單調(diào)，則，解得.即a的取值范圍為.故答案為：15．(1)(2)（1）利用排列數(shù)，組合數(shù)和階乘的定義計算即可；（2）利用組合數(shù)的定義直接計算或者是利用組合數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】（1）原式.（2）法一（直接計算）：原式法二（組合數(shù)的性質(zhì)）：原式16．(1)(2)的最大值為，最小值為（1）求出導函數(shù)，利用極值點的定義即可求出，由此得到函數(shù)的解析式；（2）求出導函數(shù)零點，分析零點左右的的正負情況，由此得到的單調(diào)性和極值，比較極值和區(qū)間端點的函數(shù)值，即可得到函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值．【詳解】（1），由題意得，即，解得，經(jīng)檢驗，時函數(shù)在處取得極大值，故解析式為；（2）由（1）知，令解得或，因，列表格如下：x1+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增又，，故的最大值為，最小值為．17．(1)(2)(3)分布列見解析，（1）利用分布列中概率之和為可求得實數(shù)的值；（2）根據(jù)分布列可求得；（3）由題意可知，的所有可能值為、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得、的值.【詳解】（1）由題意得隨機變量X的分布列如下表所示．1由分布列的性質(zhì)得，解得．（2）．（3）由題意可知，的所有可能值為、、、，，，，，所以的分布列為：P所以，．18．(1)(2)(3)（1）已知等式右邊是關(guān)于的多項式，令，此時都變?yōu)?，等式左邊就是，右邊就是所求式子的?（2）分別令和得到兩個等式，兩式相加后，含奇數(shù)項系數(shù)的部分正負抵消，剩下的就是倍所求式子，再除以即可.（3）先把變形為，根據(jù)二項式展開得到.設(shè)最大，列出且的不等式組，解出的范圍，結(jié)合是自然數(shù)確定的值，進而求出最大值.【詳解】（1）已知，令，則可得：所以.（2）令，得①；令，得②；①+②得：所以.（3）因為，根據(jù)二項式定理，可得，所以.設(shè)最大，則，即.由可得：，解得;由可得：解得;所以，又因為，所以.則.19．(1)(2)答案見解析(3)（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）分、兩種情況討論，求出函數(shù)的定義域，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（3）令可得，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，則，故，．所以當時，曲線在點處的切線方程．