創(chuàng)新點2 三角函數(shù)與解三角形創(chuàng)新題型突破 高三數(shù)學

板塊二三角函數(shù)與平面向量創(chuàng)新點2三角函數(shù)與解三角形創(chuàng)新題型突破高考定位三角函數(shù)與解三角形問題在高考中一般難度不大，其創(chuàng)新性主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)把問題置于新情境中；(2)新定義三角函數(shù)問題；(3)與其他知識的交匯命題.精準強化練題型一解三角形的新情境問題題型二三角函數(shù)的新定義問題題型三三角與數(shù)列的交匯題型突破題型一解三角形的新情境問題例1√解決此類問題首先應充分理解題意，作出示意圖，把已知量盡量集中在一個三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.規(guī)律方法我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖(1)，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動.如圖(2)，傘完全收攏時，傘圈D已滑動到D′的位置，且A，B，D′三點共線，AD′＝40cm，B為AD′的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，∠BAC的正弦值是________.訓練1題型二三角函數(shù)的新定義問題例1因為f(x)＝2x，則f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函數(shù)f(x)＝2x具有性質(zhì)P；因為g(x)＝cosx，則g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cosx，又g(2π)＝cos2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cosx＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cosx不具有性質(zhì)P.已知定義域為R的函數(shù)h(x)滿足：對于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，則稱函數(shù)h(x)具有性質(zhì)P.(1)判斷函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝cosx是否具有性質(zhì)P；(直接寫出結(jié)論)(3)設(shè)函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，且在區(qū)間[0，2π]上的值域為[f(0)，f(2π)].函數(shù)g(x)＝sin(f(x))，滿足g(x＋2π)＝g(x)，且在區(qū)間(0，2π)上有且只有一個零點.求證：f(2π)＝2π.由函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P及(2)可知，f(0)＝0，由g(x＋2π)＝g(x)可知函數(shù)g(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，則g(2π)＝g(0)，即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及題設(shè)可知，函數(shù)f(x)在[0，2π]的值域為[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；當k>2，f(x)＝π及f(x)＝2π時，均有g(shù)(x)＝sin(f(x))＝0，

這與g(x)在區(qū)間(0，2π)上有且只有一個零點矛盾，因此k＝1或k＝2；當k＝1時，f(2π)＝π，函數(shù)f(x)在[0，2π]的值域為[0，π]，此時函數(shù)g(x)的值域為[0，1]，而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函數(shù)f(x)在[2π，4π]的值域為[π，2π]，此時函數(shù)g(x)的值域為[－1，0]，函數(shù)g(x)＝sin(f(x))在當x∈[0，2π]時和x∈[2π，4π]時的取值范圍不同，與函數(shù)g(x)是以2π為周期的周期函數(shù)矛盾，故k＝2，即f(2π)＝2π，命題得證.解決三角函數(shù)新定義問題的思路(1)找出新定義的幾個要素及其所代表的意義；(2)把新定義下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學背景中；(3)利用三角函數(shù)的公式、性質(zhì)解答問題.規(guī)律方法訓練2題型三三角與數(shù)列的交匯例3(3)在(2)的條件下證明：數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列.規(guī)律方法訓練3【精準強化練】√由cosnx＝Tn(cosx)，得cos90°＝cos(5×18°)＝T5(cos18°)＝16cos518°－20cos318°＋5cos18°，即16cos518°－20cos318°＋5cos18°＝0，整理得16cos418°－20cos218°＋5＝0，

A.versinθ＝AM

B.cscθ＝PSC.cotθ＝BS

D.secθ＝NB√√√4.(2024·昆明一模)早期天文學家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑.假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示.√5.(2024·廣州二模)在一堂數(shù)學實踐探究課中，同學們用鏡面反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為a1＝1.00m，之后將小鏡子前移a＝6.00m，重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為a2＝0.60m，已知人的眼睛距離地面的高度為h＝1.75m，則鐘樓的高度大約是

A.27.75m B.27.25m C.26.75m D.26.25m6.(2024·漳州模擬)如圖，某城市有一條公路從正西方向AO通過路口O后轉(zhuǎn)向西北方向OB，圍繞道路OA，OB打造了一個半徑為2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道MN，則MN的最小值為_____________km.8.(2024·南京調(diào)研)我們知道：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取其定義域D中的任意值時，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函數(shù)y＝f(x)叫做周期函數(shù).對于一個周期函數(shù)y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一個最小正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做函數(shù)y＝f(x)的最小正周期.對于定義域為R的函數(shù)h(x)，若存在正常數(shù)T，使得s