重慶市2025屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測（第二次） 數(shù)學(xué)試題【含答案】

重慶市2025屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測（第二次）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合滿足，則（）A． B． C． D．2．從小到大排列的一組數(shù)據(jù):80，86，90，96，110，120，126，134，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為（）A．88 B．90 C．123 D．1263．已知命題，命題:復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則命題是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．某學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，該校高二年級(jí)2班有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將參加跳高、跳遠(yuǎn)、100米三個(gè)項(xiàng)目的比賽，每人只能參加一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有一個(gè)人參加，若甲、乙兩人不能參加同一項(xiàng)目的比賽，則不同參賽方案總數(shù)為（）A．20 B．24 C．30 D．365．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，設(shè)，，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．6．若函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為-2，則點(diǎn)到直線的最大距離為（）A．2 B．3 C．4 D．68．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知為內(nèi)部的一點(diǎn)，滿足，則（）A． B．C． D．10．如圖，已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，則（）A．B．平面平面C．三棱錐的體積為D．四面體的外接球的表面積為11．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且.設(shè)直線的傾斜角分別為，則（）A．點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為B．設(shè)，則的最小值為C．為定值D．當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為三、填空題（本大題共3小題）12．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.13．過點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的最大值為.14．已知函數(shù)滿足，且，則.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角所對(duì)的邊分別，且

.(1)求角的值；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.16．某工廠采購了甲、乙兩臺(tái)新型機(jī)器，現(xiàn)對(duì)這兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的第一批零件的直徑進(jìn)行測量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)如下:零件直徑(單位:厘米)[1.8，2.0]零件個(gè)數(shù)1025302510(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，零件的直徑服從正態(tài)分布，據(jù)此估計(jì)這批零件直徑在區(qū)間內(nèi)的概率;(2)以頻率估計(jì)概率，若在這批零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，記直徑在區(qū)間內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)在甲、乙兩臺(tái)新型機(jī)器生產(chǎn)的這批零件中，甲機(jī)器生產(chǎn)的零件數(shù)是乙機(jī)器生產(chǎn)的零件數(shù)的2倍，且甲機(jī)器生產(chǎn)的零件的次品率為0.3，乙機(jī)器生產(chǎn)的零件的次品率為0.2，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件，若檢測出這個(gè)零件是次品，求這個(gè)零件是甲機(jī)器生產(chǎn)的概率.參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量，則，，.17．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，平面平面,為側(cè)棱的中點(diǎn),為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn).(1)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證:直線平面；(2)若，且點(diǎn)到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.18．已知函數(shù).(1)設(shè)過點(diǎn)且與曲線過此點(diǎn)的切線垂直的直線叫做曲線在點(diǎn)

處的法線.若曲線在點(diǎn)處的法線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求的最小值;(3)若存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)且，求實(shí)數(shù)取值范圍.19．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求的方程;(2)過點(diǎn)且斜率存在的兩條直線互相垂直，直線交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，其中.①求；②設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，記的面積為，令，求證:.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)槿?，，可得，所以，，?故選D.2．【答案】A【詳解】由題意，所以下四分位數(shù)為，故選A3．【答案】C【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故命題是命題的充要條件故選C.4．【答案】C【詳解】對(duì)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分成3組，則三組各有位同學(xué)，共有種，又因?yàn)榧?、乙兩人不能參加同一?xiàng)目的比賽，且甲乙在一組時(shí)僅有種分法，則共有種分組方法，所以不同的參賽方案共有種.故選C.5．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，又，，所以，則，故選B.6．【答案】A【詳解】對(duì)于，因，則，作出函數(shù)在上的圖象，要使原函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極值點(diǎn)，需使，解得.故選A.7．【答案】C【詳解】設(shè)直線，，則，可得，所以，又，，所以，所以，所以，所以直線恒過，則點(diǎn)到直線的最大距離為4.故選.8．【答案】A【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，兩式相減得，整理可得，且，則，可得，即，可知等差數(shù)列的公差，當(dāng)時(shí)，則，解得；所以，可知數(shù)列為正奇數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，可得為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，可得為奇數(shù)；所以數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，所以.故選A.9．【答案】ACD【詳解】由，又，所以，故A對(duì)；由，所以，故B錯(cuò)；，故C對(duì)；，故D對(duì)；故選ACD.10．【答案】BD【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)A，不是0，所以A不正確；對(duì)B，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則.設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則.所以，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C：，故C不正確；對(duì)于D：三棱錐的外接球球心為，由，四面體的外接球的表面積為，故D正確.故選BD.11．【答案】BCD【詳解】

由題意可得，設(shè)，對(duì)于A，由可得雙曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，將代入雙曲線方程可得，則，代入上式可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義可得，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且，故的最小值為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程消去可得，，由韋達(dá)定理可得，由直線方程，令，則，即，則，，，，由可得，則，由可得，則，則為定值，故C正確；對(duì)于D，由條件可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，則，故D正確；故選BCD.12．【答案】【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，得，則.13．【答案】【詳解】由曲線，得，作出圖象如下：設(shè)過點(diǎn)且與半圓相切的直線的斜率為，則直線方程為，即．由，解得或（舍去），直線的斜率的最大值為．14．【答案】-10【詳解】由，得，兩式相加得，則，所以函數(shù)的周期為，設(shè)，則，，，又，則，即，所以，，，，所以，.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由及正弦定理可得，得，得，得，因，故，故，即，又，故.（2）由得，由為銳角三角形可得得，由正弦定理可得，故，即，因，故，故，故，，故，故面積的取值范圍為16．【答案】(1)(2)的分布列見解析；(3)【詳解】（1）由題意，得.（2）由題意，隨機(jī)抽取一個(gè)零件，直徑在區(qū)間的概率為，故由題意滿足二項(xiàng)分布，故，，，，，故的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望為（3）設(shè)事件為“從這批零件中隨機(jī)抽取一件來自甲機(jī)器生產(chǎn)”，事件為“從這批零件中隨機(jī)抽取一件為次品”則為“從這批零件中隨機(jī)抽取一件來自乙機(jī)器生產(chǎn)”，由題意，，，，則，，故，故從這批零件中隨機(jī)抽取一件，若檢測出這個(gè)零件是次品，求這個(gè)零件是甲機(jī)器生產(chǎn)的概率為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故，因底面為矩形，為的中點(diǎn)，則，故有，即得，則，因平面，平面，故有直線平面；（2）如圖，因平面平面，平面平面，為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則，故平面，取中點(diǎn)，連接，則，故可以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，因?yàn)閭?cè)棱的中點(diǎn)，則，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，又，則點(diǎn)到平面的距離為，解得.因，則，因，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，設(shè)直線與平面所成角為，則.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由得：，則，又由直線的斜率為，根據(jù)題意可知：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式可化為，變形為同構(gòu)函數(shù)，求導(dǎo)得，所以在上是增函數(shù)，而原不等式可化為，根據(jù)單調(diào)性可得：，再構(gòu)造，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，即滿足不等式成立的,所以的最小值為；（3）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)所以由可得：，，因