2025年中考數(shù)學二輪有關(guān)二次函數(shù)的應用存在性問題專題訓練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學二輪有關(guān)二次函數(shù)的應用存在性問題專題訓練1．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，盡可能減少庫存，增加盈利，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．(1)如果商場通過銷售這批襯衫每天盈利1050元，那么襯衫的單價降了多少元？(2)單價降了多少元時，銷售這批襯衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？2．某工廠加工一種產(chǎn)品，其銷售價隨產(chǎn)品成本的變化而變化，已知該產(chǎn)品的最低成本為40元/千克，且銷售價p（元/千克）與產(chǎn)品成本x（元/千克）符合一次函數(shù)關(guān)系；在產(chǎn)品銷售過程中，銷售量y（千克）隨著銷售價p（元/千克）的變化而變化，其函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)請求出y與的函數(shù)解析式；(2)請計算當銷售價是多少時該工廠可獲得最大利潤？3．《哪吒2》憑借其精彩的劇情、精良的制作以及深刻的文化內(nèi)涵，再次掀起觀影熱潮．某影院IMAX廳每場運營成本為2000元，該廳每場售出的電影票數(shù)量y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（，且x是整數(shù)），部分數(shù)據(jù)如下表所示：IMAX廳電影票售價x（元/張）4050IMAX廳售出電影票數(shù)量y（張）160120(1)請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)為激發(fā)文化消費活力，豐富市民文化生活，無錫市推出了春節(jié)惠民觀影的政策：觀眾購買無錫市任意影院、任意場次、任意影片均享受票價立減20元/張．該影院IMAX廳將電影票售價x定為多少時，該廳每場的獲利最大？（利潤＝實際票房收入－運營成本）4．某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內(nèi)，銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元/件）之間是一次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示．(1)求這段時間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式；(2)在這段時間內(nèi)，若銷售單價不低于100元，且不超過150元，當銷售單價為多少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？5．海安大公千畝梨園碩果累累，大大提高了廣大梨農(nóng)的生活水平．每千克梨的成本為6元，每千克售價需超過成本，但不高于14元，已知日銷售量y（千克）與售價x（元/千克）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，當每千克梨的售價為7元時，日銷售量為220千克；當每千克梨的售價為5元時，日銷售量為260千克，設(shè)日銷售利潤為W元．(1)分別求出y與x，W與x之間的函數(shù)解析式；(2)若日銷量不低于160千克，當售價定為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少元．6．合肥作為“大湖名城，創(chuàng)新高地”，憑借科技創(chuàng)新實力享譽全國．廬智高新技術(shù)企業(yè)研發(fā)部門針對新型產(chǎn)品的資金投入與生產(chǎn)利潤關(guān)系展開生產(chǎn)模擬，設(shè)定投入資金為（萬元）與生產(chǎn)利潤（萬元）的關(guān)聯(lián)機制如下：第一階段（技術(shù)卵化期）：當時，產(chǎn)值，第二階段（規(guī)模擴張期）：當時為，受多重成本因素影響，該階段生產(chǎn)利潤遵循二次函數(shù)．并且時，，第三階段（穩(wěn)定產(chǎn)出期）：當時啟動第三階段生產(chǎn)模式，發(fā)現(xiàn)投入資金每增加1萬元，生產(chǎn)利潤同步增加1萬元．(1)求、的值；(2)按當前模擬環(huán)境，求最大生產(chǎn)利潤；(3)生產(chǎn)部門發(fā)現(xiàn)在當前模擬環(huán)境下，會出現(xiàn)一段投入資金增多而生產(chǎn)利潤下降的情況，決定提前進入第三階段，即在時，進入第三階段生產(chǎn)模式．請幫助生產(chǎn)部門確定為何值時進入第三階段可以獲得生產(chǎn)利潤最大？最大生產(chǎn)利潤為多少？7．在一次高爾夫訓練中，某球員從山坡下的點打出一球，該球的飛行高度與飛行時間滿足二次函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象如圖所示．如果不考慮空氣阻力，球的落點距離點的水平距離為12米時，垂直距離為米．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．(2)求該球飛行過程中的最大垂直高度．8．小明利用電腦軟件模擬彈力球的拋物運動．如圖，彈力球從x軸上的點A處拋出，其經(jīng)過的路徑是拋物線的一部分，并在點B處達到最高點，落到x軸上的點C處時彈起，向右繼續(xù)沿拋物線G運動．已知拋物線G與拋物線L的形狀相同，且其達到的最大高度為1個單位長度．(1)直接寫出點C的坐標．(2)求拋物線G的函數(shù)表達式（不用寫出自變量的取值范圍）．(3)在x軸上有一個矩形接球筐，其中，點N位于點處，彈力球只可通過矩形接球筐的邊落入框內(nèi)．為使彈力球落入接球筐內(nèi)（落在點M，N上也視為落在筐內(nèi)），需將接球筐沿x軸向左移動b個單位長度，求出b的取值范圍．（結(jié)果保留根號）9．社區(qū)利用一塊矩形空地ABCD修建了一個小型停車場，其布局如圖所示，已知，，陰影部分設(shè)計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為的道路．已知鋪花磚的面積為．(1)求道路的寬是多少？(2)該停車場共有車位64個，據(jù)調(diào)查分析，當每個車位的月租金為400元時，可全部租出，若每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位，求當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入最高，最高為多少元？10．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．(1)現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？(2)若該商場單純從經(jīng)濟角度看，每千克這種水果漲價多少元，能使商場獲利最多？11．如圖，某苗圃師傅用木制柵攔設(shè)計了一個矩形育苗試驗田，一面緊靠圍墻，圍墻的長度為21米，提供的木制柵欄的總長度為40米，在安裝過程中柵欄不重疊使用，且無損耗和浪費．設(shè)該矩形育苗試驗田的一邊長為（單位：），另一邊長為（單位：），面積為（單位：）．(1)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出的取值范圍）．(2)該矩形育苗試驗田的面積能達到嗎？如果能，求出的值；如果不能，請說明理由．(3)當?shù)闹凳嵌嗌贂r，該矩形育苗試驗田的面積最大？最大面積是多少？12．某商場以每件50元成本價新進一批商品．據(jù)市場調(diào)查分析知，如果按每件60元銷售，一周能賣出400件；若銷售單價每漲1元，每周銷量就減少10件．設(shè)銷售單價為元．(1)求出一周銷售量y（件）與x（元）的函數(shù)關(guān)系式：(2)設(shè)一周銷售獲得毛利潤w元，寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式：(3)若物價部門要求該商場銷售這種商品的利潤不能超過40%，求該商場銷售這種商品一周毛利潤的最大值以及此時的銷售單價．13．某科技展覽館在周末開放時，統(tǒng)計了參觀者到達展覽館檢票口的情況，如果把參觀者到達檢票口的累計人數(shù)（為整數(shù)，單位：人）和時間（為整數(shù)，單位：分鐘）的數(shù)據(jù)點標記到坐標系中，用光滑的曲線連數(shù)據(jù)點，可近似看作的二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過原點，且頂點坐標為，若展覽館入口處有一個自動檢票機，每分鐘可處理張票．(1)求與之間的函數(shù)解析式；(2)展覽館入口處排隊等待檢票的參觀者人數(shù)最多時有多少人？(3)檢票開始后的第分鐘開始，為了減少排隊等候時間，展覽館在入口處臨時開放了一個自動檢票機若新自動檢票機每分鐘可處理張票，則新機器投入使用多長時間后，展覽館檢票處不再出現(xiàn)排隊等待的情況（直接寫出結(jié)果）．14．某商店經(jīng)銷一種雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個30元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種雙肩包每天的銷售量y（單位：個）與銷售單價x（單位：元）關(guān)系如下圖所示，設(shè)這種雙肩包每天的銷售利潤為w元．(1)求w與x之間的函數(shù)解析式；(2)如果物價部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？15．某商品的進價為每件30元．當售價為每件50元時，每星期可賣出80件．現(xiàn)需降價處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價1元，每星期可多賣出10件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：(1)若設(shè)每件降價x元，每星期售出商品的利潤為y元，請寫山y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學二輪有關(guān)二次函數(shù)的應用存在性問題專題訓練》參考答案1．(1)襯衫的單價應下降25元(2)單價降了15元時，銷售這批襯衫每天盈利最大，最大盈利是1250元．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，找出數(shù)量關(guān)系列出方程和函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“總利潤每件利潤銷售量”列方程，求解即可；（2）設(shè)每天利潤為w元，每件襯衫應降價x元，根據(jù)題意可得利潤表達式，運用函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】（1）設(shè)襯衫的單價應下降x元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗都符合題意．∵為了擴大銷售，盡可能減少庫存，增加盈利，∴x應取25元．答：襯衫的單價應下降25元．（2）設(shè)每天利潤為w元，由題意，得：，，當時，盈利最多為1250元，所以單價降了15元時，銷售這批襯衫每天盈利最大，最大盈利是1250元．2．(1)(2)當銷售價為80元時，工廠可獲最大利潤【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由圖形可知銷量與價格有兩段，所以分兩段去討論，然后比較求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)函數(shù)解析式為，由題意可得，解得：，所求的函數(shù)解析式為；（2）設(shè)該工廠獲得的利潤為w，由，可得，，對稱軸，且拋物線開口向上，在對稱軸左側(cè)，y是隨x增大而減小，，，∴當時，可獲得最大利潤，由圖像可得，當時，，，，隨x增大而減小，當時，可獲得最大利潤，，當銷售價為80元時，工廠可獲最大利潤．3．(1)（，且是整數(shù)）；(2)該影院將電影票售價定為元時每場的獲利最大，最大利潤是元．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用，實際問題與二次函數(shù)，正確列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，將，代入，得，解方程組即可求出與的值，進而得出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)“每日利潤每張電影票售價每天售出的電影票數(shù)量每天的運營成本”得出二次函數(shù)解析式，先將其化成頂點式，然后求二次函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)，將，代入，得：，解得：，（，且是整數(shù)）；（2）解：設(shè)每場的獲利為元，根據(jù)題意，得：，拋物線開口向下，又，且是整數(shù)，時，取得最大值，，答：該影院將電影票售價定為元時每場的獲利最大，最大利潤是元．4．(1)(2)當銷售單價為120元時，商場獲得利潤最大利潤8000元【分析】本題考查了求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值的求解．（1）設(shè)這段時間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為，函數(shù)經(jīng)過，，可以利用待定系數(shù)法建立二元一次方程組，即可求出解析式；（2）根據(jù)銷售單價不低于100元，且不超過150元，得求出銷售單價的取值范圍，要求最大利潤，首先設(shè)獲得利潤為，寫出關(guān)于的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的增減性和的取值范圍，即可求出獲得利潤的最大值．【詳解】（1）解：設(shè)這段時間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為，由圖象可知，函數(shù)經(jīng)過，，可得，解得，這段時間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為；（2）銷售單價不低于100元，且不超過150元，，設(shè)獲得利潤為，即，對稱軸，，即二次函數(shù)開口向下，的取值范圍是，即當銷售單價時，獲得利潤有最大值，最大利潤元．即：當銷售單價為120元時，商場獲得利潤最大利潤8000元．5．(1)(2)當時，最大，元【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與利潤問題，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可求得與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)利潤（售價進價）銷量，可表示出；（2）根據(jù)日銷量不低于160千克，可得，由，可知，該圖象開口向下，對稱軸為直線，從而判斷出時，有最大值，將代入，可求得答案．【詳解】（1）解：由題意可知，當時，，當時，，設(shè)，則，得，，則日銷售利潤；（2）解：，，∴，，則，對稱軸為直線，該圖象開口向下，∴當時，隨增大而增大，∴當時，取得最大值，此時，（元），即：當售價定為10元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是640元．6．(1)(2)最大生產(chǎn)利潤為30萬元(3)當萬元時，生產(chǎn)利潤最大為萬元【分析】該題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意．（1）根據(jù)第二階段與第一階段函數(shù)在處值相同可求出對應，再結(jié)合題目已知數(shù)據(jù)代入二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分別求出各階段函數(shù)的最大值，取三個階段中的最大值即可求出最大利潤．注意第二階段為二次函數(shù)，需要判斷開口方向來判斷最值．（3）根據(jù)題意利用第二，三階段函數(shù)在處函數(shù)值相同求解第三階段函數(shù)，第三階段函數(shù)為一次函數(shù)，判斷值大小即可求解在時取得最值，從而得到提前進入第三階段后的最大利潤．【詳解】（1）解：第二階段函數(shù)在處與第一階段相連，即第一，二階段在處函數(shù)值相同，故當時，．將代入二次函數(shù)得：，即，解得：．（2）解：由（1）知第二階段函數(shù)為，∵，開口向下，函數(shù)在處取得最大值，∴當時，最大利潤為：，當時，，由題意知第三階段函數(shù)為，當時，最大利潤為．比較各階段最大值可知最大生產(chǎn)利潤為30萬元．（3）解：當時，在拋物線上點時進入第三階段生產(chǎn)模式，設(shè)點橫坐標為，則點縱坐標為，當時，函數(shù)值隨x的增大而增大，設(shè)解析式為，代入得，∴解析式為，∴點縱坐標值為，即為最大生產(chǎn)利潤．∴，∴當萬元時，生產(chǎn)利潤最大為萬元．7．(1)(2)12米【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用及解直角三角形的知識．（1）根據(jù)已知條件得到，把A點代入得到，于是得到結(jié)論；（2）把配方得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：點A距離點O的水平距離為12米時，垂直距離為米，∴，把A點代入得，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）解：∵，∴當時，，∴該球飛行過程中的最大垂直高度是12米．8．(1)(2)（或）(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的應用．（1）令，解方程即可得出點C的坐標；（2）根據(jù)題意設(shè)拋物線G的函數(shù)表達式為，再將點代入求解即可；（3）當時，求得，分別求出當彈力球恰好砸中筐的最左端時，當彈力球恰好砸中筐的最右端時，b的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：令，解得，，∴點C的坐標為；（2）解：拋物線G與拋物線L的形狀相同，且最高點的縱坐標為1，設(shè)拋物線G的函數(shù)表達式為，拋物線G經(jīng)過點C，將點代入，得，解得（舍去），，拋物線G的函數(shù)表達式為（或）；（3）解：當時，，解得，（不合題意，舍去）．球筐的最左端與原點的距離為6.5，當彈力球恰好砸中筐的最左端時，，，球筐的最右端與原點的距離為7.5，當彈力球恰好砸中筐的最右端時，，b的取值范圍為．9．(1)6m(2)當每個車位的月租金上漲元時，停車場的月租金收入最高，最高為元．【分析】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應用，讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，列出方程和函數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）由題意知，道路的寬為米，根據(jù)矩形的面積公式列出方程并解答即可；（2）設(shè)車位的月租金上漲元，則租出的車位數(shù)量是個，根據(jù)：月租金每個車位的月租金車位數(shù)，列出二次函數(shù)解析式并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：由題意得，整理得：，解得：（舍去），，答：道路的寬為米．（2）解：設(shè)當每個車位的月租金上漲a元時，停車場的月租金收入為元，根據(jù)題意得，，∵∴當時，有最大值，最大值為，答：當每個車位的月租金上漲元時，停車場的月租金收入最高，最高為元．10．(1)每千克應漲價5元(2)若該商場單純從經(jīng)濟角度看，每千克這種水果漲價7.5元，能使商場獲利最多【分析】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應用．（1）設(shè)每千克應漲價x元，則每千克盈利元，每天可售出千克，根據(jù)利潤每千克盈利日銷售量，列方程解出即可，根據(jù)要讓顧客得到實惠，所以漲價要選擇最小的，即每千克應漲價為5元；（2）設(shè)漲價z元時總利潤為y，根據(jù)（1）的等量關(guān)系列函數(shù)解析式，配方求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)每千克應漲價x元，則，解得或，因為要顧客得到實惠，所以，答：要保證每天盈利6000元，同時又使顧客得到實惠，那么每千克應漲價5元；（2）解：設(shè)漲價z元時總利潤為y，則，即，∵，∴y有最大值，當時，y取得最大值，最大值為6125．答：若該商場單純從經(jīng)濟角度看，每千克這種水果漲價7.5元，能使商場獲利最多．11．(1)（）(2)不能；理由見解析(3)；【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)矩形的面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)矩形的邊長大于0，圍墻的長度為21米，求出的取值范圍即可；（2）當時，利用判別式進行判斷即可；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．【詳解】（1）解：，．，，∵，∴．（2）不能．理由：當時，，即：．，故此時方程無解，該試驗田的面積不能達到．（3），當時，有最大值，最大值為，即當時，該矩形育苗試驗田的面積最大，最大面積是．12．(1)(2)(3)該商場銷售這種商品一周毛利潤的最大值為6000元，此時的銷售單價為70元【分析】此題考查了二次函數(shù)的應用，正確列出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)每件的利潤乘以總件數(shù)即可得到w與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】（1）解：由題意得，，一周銷售量（件）與（元）的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由題意得，；（3），，，，當時，隨的增大而增大，當時，毛利潤有最大值，最大值為（元），該商場銷售這種商品一周毛利潤的最大值為6000元，此時的銷售單價為70元．13．(1)(2)排隊等待人數(shù)最多時是人；(3)自動檢票機分鐘時間后，展覽館入口處不再出現(xiàn)排隊等待的情況．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，一元二次方程的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，由頂點坐標為，可設(shè)，再將代入，求得的值，則可得與之間的函數(shù)解析式；（2）依據(jù)