安徽省2024−2025學(xué)年高三下學(xué)期逐夢星辰杯大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含答案

/安徽省2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期逐夢星辰杯大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C．2 D．13．函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A． B．C． D．無法確定，與的取值有關(guān)4．已知點在拋物線上，則點到點的距離的最小值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．向量與在上的投影向量均為，，當(dāng)最大時，則（）A． B．6 C．12 D．167．已知點，為圓上兩點，，點為線段的中點，點為直線上的動點，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．8．?dāng)?shù)列擴(kuò)充是指在一個有窮數(shù)列中按一定規(guī)則插入一些項得到一個新的數(shù)列，擴(kuò)充的次數(shù)記為.擴(kuò)充規(guī)則為每相鄰兩項之間插入這兩項的平均數(shù).現(xiàn)對數(shù)列1，3進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，2，3；第2次得到數(shù)列1，，2，，3；…依次構(gòu)造，記第次得到的數(shù)列的所有項之和為，則（）A．510 B．514 C．1022 D．1026二、多選題（本大題共3小題）9．已知，均為正數(shù)且，則下列不等式正確的有（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．為函數(shù)的最小正周期 B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)的值域為 D．當(dāng)時，函數(shù)有5個零點11．在四棱柱中，平面，四邊形為菱形，，，，為棱的中點，為四邊形內(nèi)一個動點（含邊界），且平面，則下列結(jié)論正確的有（）A．動點軌跡的長度為B．平面截四棱柱所得的截面是五邊形C．存在點使得D．當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．在中，角，，的對邊分別為，，，若，是的角平分線，點在上，，，則的面積為.13．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，直線過且與雙曲線的左支交于，兩點.若，且的周長為24，則雙曲線的焦距為.14．陽光藝術(shù)學(xué)校為提高學(xué)員學(xué)習(xí)的積極性，特意在五一期間舉辦比賽活動，共設(shè)有，，，，，六種獎品.若學(xué)員在比賽中獲得好的名次，則可獲得優(yōu)勝獎，即獲獎學(xué)員可從六種獎品中任選3種，但不能同時選，兩種獎品.若學(xué)員未獲得好的名次，則可獲得鼓勵獎，即從除，之外的獎品中選2個作為鼓勵獎.已知甲在比賽中獲得好名次的概率為，則在甲選了獎品的條件下，他又選了獎品的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列中，，，其前項和滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.16．在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為正三角形，，為中點，過的平面分別交，于點，，且平面.

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．隨著科技的不斷發(fā)展，社會對人工智能方面的人才需求不斷擴(kuò)大，我國高校畢業(yè)生中從事軟件工程職業(yè)的人數(shù)在不斷攀升.某省統(tǒng)計了該省其中四所高校2024年的畢業(yè)生人數(shù)及從事軟件工程職業(yè)的人數(shù)（單位：百人），得到如下表格：高校高校甲高校乙高校丙高校丁2024年畢業(yè)生人數(shù)（百人）87652024年從事軟件工程職業(yè)人數(shù)（百人）0.50.40.30.2(1)已知與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；(2)假設(shè)該省對從事軟件工程職業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放0.5萬元的補(bǔ)貼.①若該省高校2024年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，估計該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總金額；②若高校甲的畢業(yè)生小輝、小宇選擇從事軟件工程職業(yè)的概率分別為、，該省對小輝、小宇兩人從事軟件工程職業(yè)的補(bǔ)貼總金額的期望不超過0.8萬元，求的取值范圍.參考公式：，.18．已知橢圓的下頂點和右焦點分別為點和點，其離心率為，為原點，的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點在橢圓上（點與橢圓的頂點不重合）.（i）的垂直平分線與軸交于點，求實數(shù)的取值范圍；（ii）若點在第四象限，且，求直線的方程.19．已知函數(shù)，.(1)若與相切，求實數(shù)的值；(2)若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)有3個零點，，，求證：.

參考答案1．【答案】B【詳解】因為，所以，所以，又，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】設(shè)，，，則，所以，解得，所以.故選A3．【答案】A【詳解】因為時，由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)時，，，所以，當(dāng)時，，，所以，又當(dāng)時，，所以函數(shù)只有一個零點，

故選A.4．【答案】C【詳解】記點，，則，所以，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.即點到點的距離的最小值為.故選C.5．【答案】D【詳解】①當(dāng)時，；若，則，當(dāng)時，；若，當(dāng)時，取得最小值－3，即；若，，，，在時單調(diào)遞增，；②當(dāng)時，函數(shù)的圖象是一個二次函數(shù)，其對稱軸為；若，則在上單調(diào)遞減，；若，；若，則在上單調(diào)遞增，；因為函數(shù)的值域為，當(dāng)時，在時最小值為，在時，不滿足值域為；當(dāng)時，，，，不滿足值域為；當(dāng)時，在時，在時；為使值域為，需滿足，解得.綜上，.故選D.6．【答案】C【詳解】設(shè)，，所以，因為，所以，所以可設(shè)，，與的夾角為，若，，則知，，即，，，則當(dāng)最大時，最大，即最小，即此時，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.故選C.7．【答案】A【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，因為點為線段的中點，，則，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，點在直線上，可得圓心到直線的距離，所以的最小值為.故選A.

8．【答案】B【詳解】設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為1，，3，則，則第次構(gòu)造后得到的數(shù)列為1，，，，，…，，，3，于是，，顯然，而，因此數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即，所以.故選B.9．【答案】BD【詳解】由，因為，均為正數(shù)，所以，，故A錯誤；由上知，，所以，，所以，故B正確；，，所以，故C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故D正確.故選BD.10．【答案】ABD【詳解】因為，故B正確；因為，因為，所以為函數(shù)的一個周期，又，因為，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，結(jié)合選項B可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象故A正確；經(jīng)分析可知，，所以，故C錯誤；結(jié)合和圖象易知兩個圖象有5個交點，故D正確.

故選ABD.11．【答案】ACD【詳解】如圖1，取分別，中點為，，,平面，平面，易得平面平面，即的軌跡為線段，又，故A正確；如圖2，取中點為，連接，，可得，所以平面截四棱柱所得的截面是四邊形，故B錯誤；因為四邊形為菱形，，所以，因為平面平面，平面平面,平面,所以平面，因為為直角三角形，所以此時存在，當(dāng)時，因為平面，平面，所以，又平面平面，所以平面，即平面，則有，故C正確；三棱錐的體積最大時，此時點與點重合，如圖3.由已知得此時，所以在底面的射影為的外心，又由為直角三角形，所以在底面的射影為中點，設(shè)為，設(shè)外接球的球心為，半徑為，，，，由，，可得外接球半徑，所求外接球的表面積為，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】在中，由角平分線定理得，所以，，即，解得，，所以.13．【答案】【詳解】由題知，，，的周長為，，，由得，即，，故，，，，，在中，，解得，焦距為.

14．【答案】【詳解】設(shè)M：甲選了獎品，N：甲選了A獎品，則，，所以.15．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由已知，得，即，且.數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列.；（2），所以，，兩式相減，得，所以，因為，，所以.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)，則為，的中點，連接，因為為菱形，則，又因為，且為的中點，則，，，平面，所以平面，且平面，則，又因為平面，平面，平面平面，可得，所以.又因為為正三角形，所以因為，，且與相交，所以平面；（2）因為，且為的中點，則，且，，，平面，所以平面，設(shè)，則，，且平面，平面，可得平面，平面，且平面平面，所以，即，，交于一點，因為為的中點，則為的重心，且，則，由題，，，，，如圖，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，可得，，設(shè)平面的法向量，則令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，可得，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)①（萬元）；②【詳解】（1）由題意得（百人），（百人），，，，，，所以，故得關(guān)于的線性回歸方程為；（2）①當(dāng)畢業(yè)生人數(shù)（百人）時，由回歸方程（百人），補(bǔ)貼總金額為（萬元）；②設(shè)兩人從事軟件工程職業(yè)的補(bǔ)貼總金額為（萬元），的取值可能為0，0.5，1.，，，由，即，得.又因為解得.綜上，的取值范圍是18．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）由已知得，，所以，由得，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）法一：（i）題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，聯(lián)立與得：，解得或.將代入，得，所以，點的坐標(biāo)為，設(shè)為線段的中點，點的坐標(biāo)為，所以點的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為，又因為，所以，整理得，因，所以且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號.因為異于橢圓的頂點，所以，解得的取值范圍是.（ii）由，且，兩式相除得，由（i）知，點的坐標(biāo)為，且點在軸的下方，則.設(shè)到直線的距離為，.，.則有，化簡得解得：或（舍）.則直線的方程為，即.法二：（i）設(shè)，則或，的中垂線方程：，令，則，又，，.；（ii）設(shè)直線的傾斜角為，，，即，，，直線的方程為，聯(lián)立解得（在第四象限），而，直線的方程為，即.19．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1），，，設(shè)切點為，則且，即，，聯(lián)立得，化簡得，令，，.所以在上單調(diào)遞減，又，所以，故.（2