浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

/浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，，，則（）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的模為（）A． B． C． D．3．下列可以作為方程的圖象的是（）A．

B．

C．

D．

4．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，的圖象與軸交于點(diǎn)C，，，且，則（）

A．4 B． C． D．5．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A．33 B．46 C．49 D．426．如圖，橢圓與雙曲線有共同的右焦點(diǎn)，這兩條曲線在第一、三象限的交點(diǎn)分別為A、B，直線與雙曲線右支的另一個(gè)交點(diǎn)為，形成以為斜邊的等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為（）

A． B． C． D．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，滿足，且.已知均為正數(shù)，若，則的最小值（）A． B． C．1 D．8．有6張卡片，正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6，且背面均寫有數(shù)字7.先把這些卡片正面朝上排成一排.規(guī)定一次試驗(yàn)：擲一顆均勻的骰子一次，若點(diǎn)數(shù)為，則將向上數(shù)字為的卡片翻面并放置原處；若沒有向上數(shù)字為的卡片，則卡片不作翻動(dòng).進(jìn)行上述試驗(yàn)3次，發(fā)現(xiàn)卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，在這一條件下，骰子恰有一次點(diǎn)數(shù)為2的概率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（）A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則B．?dāng)?shù)據(jù)5，8，10，12，13的第40百分位數(shù)是8C．在一元線性回歸模型中，若決定系數(shù)，則殘差的平方和為0D．和的方差分別為和，若且，則10．正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別在線段、上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A．正方體被經(jīng)過、兩點(diǎn)的平面所截，其截面的形狀有可能是六邊形B．不可能與、都垂直C．有可能與正方體的六個(gè)表面所成的角都相等D．線段的中點(diǎn)所圍成的區(qū)域的面積為11．設(shè)和是兩個(gè)整數(shù)，如果和除以正整數(shù)所得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)于模同余，記作.（）A．若公比為的等比數(shù)列滿足，則B．若公比為的等比數(shù)列滿足，則C．若為等差數(shù)列，，，為的前n項(xiàng)和，則D．若為公差的等差數(shù)列，，，若，則使三、填空題（本大題共3小題）12．若非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為.13．已知P是直線上的任意一點(diǎn)，若過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，則劣弧長(zhǎng)度的最小值為.14．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.

(1)求的大小.(2)如圖所示，為外一點(diǎn)，，，，求值.16．如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，在底面的投影落在線段AD上.(1)證明：；(2)若，，，，在線段上，且滿足平面平面，求直線與直線夾角的余弦值.17．已知整數(shù)數(shù)列滿足，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.數(shù)列滿足.數(shù)列，前項(xiàng)和分別為，，其中.(1)求和(2)用表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前2025項(xiàng)和.18．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)無極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，證明：.19．位于第一象限的一點(diǎn)滿足，過作的切線，切點(diǎn)為，且滿足，設(shè)為關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn).(1)證明：(2)（i）若過的另一條切線切于，設(shè)為關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，如此重復(fù)進(jìn)行下去，若為關(guān)于切點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，證明：為等差數(shù)列.（ii）由ⅰ所設(shè)且，求的值.

參考答案1．【答案】C【詳解】已知全集，表示自然數(shù)集，所以．對(duì)于集合，解不等式，則其解為．又因?yàn)椋裕阎?，，可得．因?yàn)?，，所以．故選C．2．【答案】A【詳解】由題意可得，則，所以.故選A.3．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，若，則，即，不符合，故，不可能同時(shí)成立，故A，B，C，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D.4．【答案】C【詳解】由題干圖象可知，則，所以，所以，由，得，，即，，因?yàn)?，所以，則.又，則，又，，，解得（負(fù)根舍去），所以，所以.故選C.5．【答案】A【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，，所以.故選A.6．【答案】C【詳解】

設(shè)左焦點(diǎn)為，則，，，，在中用勾股定理，化簡(jiǎn)得，所以所以，所以.故選C.7．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?又因?yàn)椋?所以.所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，即，令，則，由對(duì)勾函數(shù)知單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選B.8．【答案】C【詳解】翻動(dòng)正面數(shù)字為偶數(shù)的卡片時(shí)，奇偶性發(fā)生改變，翻動(dòng)正面數(shù)字為奇數(shù)的卡片時(shí)，奇偶性不變，進(jìn)行上述試驗(yàn)3次，發(fā)現(xiàn)卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則分為兩類：（1）正面數(shù)字為偶數(shù)的卡片翻一次：①擲3次骰子1次偶數(shù)2次奇數(shù)：種，其中恰有一次點(diǎn)數(shù)為2有27種，②擲3次骰子2次同一個(gè)偶數(shù)1次奇數(shù)：種，③擲3次骰子3次同一個(gè)偶數(shù)：3種，（2）正面數(shù)字為偶數(shù)的卡片一次翻三次：種，其中恰有一次點(diǎn)數(shù)為2有6種，所以骰子恰有一次點(diǎn)數(shù)為2的概率為.故選C.9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，又，則，正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋詳?shù)據(jù)5，8，10，12，13的第40百分位數(shù)是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若決定系數(shù)，則散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，所以殘差的平方和為0，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)的平均數(shù)為，，，，的平均數(shù)為，因?yàn)椋瑒t，又，，所以，故選D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】CD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)六邊形截面交于點(diǎn)，如下圖所示：設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，所以，平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，，由圖可知，截面在平面的交線與線段無交點(diǎn)，因此，正方體被經(jīng)過、兩點(diǎn)的平面所截，其截面的形狀不可能是六邊形，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，取，，則、，所以，，，，所以，，，此時(shí)，與、都垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為，同理可知，直線與表面其余各面所成角的正弦值都為，因此，有可能與正方體的六個(gè)表面所成的角都相等，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，其中，，則線段的中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，則，即，其中，，，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的平面四邊形，則，，則，，因?yàn)?，所以，故四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，且，則為等邊三角形，故線段的中點(diǎn)所圍成的區(qū)域的面積為，D對(duì).故選CD.11．【答案】ABD【詳解】由題意可知，，，，，∴A正確；，若，則，，，∴B正確；為偶數(shù)，也為偶數(shù)，顯然不能成立，∴C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立，∴D成立.故選ABD．12．【答案】【詳解】在上投影向量，，，則，由于，.13．【答案】【詳解】如下圖所示：易知圓心到直線的距離為，在直角三角形中，，，所以，所以；因此可知當(dāng)時(shí)，劣弧最小，此時(shí)，即可得；所以劣弧AB長(zhǎng)度的最小值為.14．【答案】【詳解】因?yàn)椋约?設(shè)函數(shù)，因?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)為，令，解得.所以在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增.所以，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，即，令，所以，令，解?所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減.所以，所以.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1），在中，由正弦定理得，，由三角形內(nèi)角和為可得，，，即，，，，即，又，，即，（2）設(shè)，令，，在中，由正弦定理得，，，.在中，由正弦定理得，，，，，解得，.16．【答案】(1)證明見解析(2)1【詳解】（1）因?yàn)椋珼為的中點(diǎn)故，又平面，平面，故得，平面，于是平面，平面，從而.（2）法1：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線為軸正半軸，射線為軸正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.于是，，令，所以，又因?yàn)椋O(shè)面的法向量為.所以，所以.又，，所以.設(shè)面的法向量為.所以，所以根據(jù)平面，即，所以.所以，，，，所以，得所成角為90度，正弦值為1.法2：幾何法.作，垂足為M.連CM，由三角形全等得，平面，得平面，平面，從而平面平面.在中，得，在中，得，在中，，在中，所以得，又，從而故，同理，因?yàn)?，所以，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，得所成角?0度，正弦值為1.17．【答案】(1)，(2)2024【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)椋栽O(shè)，則依題意，，得恒成立，解得，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，.所以，.得到，聯(lián)立得解得或（舍去），代入中，解得得數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）……①……②①-②，得即時(shí)，，，所以；時(shí)，，所以，所以所以.18．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1），，又，在點(diǎn)處的切線方程為：.（2）由題意知：的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)無極值點(diǎn)，在上單調(diào)，或在上恒成立；，在上恒成立，，，解得：；下面證明充分性：當(dāng)時(shí)，，又，，，令，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，為定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，充分性成立；綜上所述：.（3）由（2）可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，又，為定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上