云南省昭通明達(dá)中學(xué)2024−2025學(xué)年高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

/云南省昭通明達(dá)中學(xué)2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知，則（

）A． B．C． D．3．已知，的值為（）A．4 B．2 C．8 D．164．某同學(xué)參加跳遠(yuǎn)測(cè)試，共有3次機(jī)會(huì)．用事件（）表示隨機(jī)事件“第i（）次跳遠(yuǎn)成績(jī)及格”，那么事件“前兩次測(cè)試成績(jī)均及格，第三次測(cè)試成績(jī)不及格”可以表示為（

）A． B． C． D．5．若，則（）A． B． C． D．6．規(guī)定，其中，且，這是排列數(shù)（，且）的一種推廣.則（

）A． B．1 C． D．27．已知某圓臺(tái)的體積為，其軸截面為梯形，，，則在該圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到的最短路徑的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．6 D．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線過點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，若的面積為，則（

）A．B．C．以為直徑的圓與軸僅有1個(gè)交點(diǎn)D．或二、多選題（本大題共3小題）9．函數(shù)的部分圖象如圖所錄，則（）

A．B．在的值域?yàn)镃．將的圖象向左平移個(gè)單位后為奇函數(shù)D．的單調(diào)遞增區(qū)間為10．素?cái)?shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想．19世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家波利尼亞克提出了“廣義孿生素?cái)?shù)猜想”：對(duì)所有自然數(shù)，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)（，）．其中當(dāng)時(shí)，稱為“孿生素?cái)?shù)”，時(shí)，稱為“表兄弟素?cái)?shù)”．在不超過的素?cái)?shù)中，任選兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，令事件為孿生素?cái)?shù)，為表兄弟素?cái)?shù)，，記事件，，發(fā)生的概率分別為，，，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A．B．C．D．11．已知函數(shù)，則（）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值B．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條C．當(dāng)時(shí)，若是與的等差中項(xiàng)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，若，則三、填空題（本大題共3小題）12．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.13．已知無窮等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，則．14．幻方是一種數(shù)學(xué)游戲，具有悠久的歷史，其要求每行每列以及兩條對(duì)角線的數(shù)字之和均相等，且每格的數(shù)字均不相同現(xiàn)將填入幻方，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則的取值集合是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，是該橢圓的短軸，且，三角形的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，求的最值.16．在中，.(1)求A；(2)若，從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇了不合適的條件，則第（2）問記0分.17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，．(1)證明：平面PAD；(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．18．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求的值，并求的通項(xiàng)公式；(2)探究是否存在唯一的最大項(xiàng)；(3)證明：．19．對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令函數(shù)，若是的極值點(diǎn)，則稱點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”．(1)對(duì)于函數(shù)，證明：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”；(2)對(duì)于函數(shù)，若不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”，求的取值范圍；(3)對(duì)于函數(shù)，若存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”，求的取值范圍．

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，所以中有1個(gè)元素.故選B.2．【答案】A【詳解】由題意知：，，所以故選A.3．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則.故選C.4．【答案】C【詳解】表示前兩次測(cè)試成績(jī)均及格，故A錯(cuò)誤；表示后兩次測(cè)試都沒有及格，故B錯(cuò)誤；表示前兩次測(cè)試成績(jī)均及格，第三次測(cè)試成績(jī)不及格，故C正確；表示三次測(cè)試成績(jī)均不及格，故D錯(cuò)誤，故選C.5．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以．故選C．6．【答案】C【詳解】,故選C.7．【答案】B【詳解】由圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，故對(duì)邊不是母線，分別是下、上底面圓的直徑.故由，得圓臺(tái)的下底面的半徑為，上底面的半徑為，設(shè)圓臺(tái)的高為，由圓臺(tái)的體積為，得，解得.在梯形中，則，即母線長(zhǎng)為.如圖，由圓臺(tái)性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由與相似，得，解得.設(shè)該圓臺(tái)的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，所以，連結(jié)，則從點(diǎn)到的最短路徑為線段，又在中，，，由余弦定理得所以.驗(yàn)證知，由，得，，此時(shí)，恰與扇形弧所在圓相切，滿足題意.故選B.8．【答案】C【詳解】依題意，設(shè)直線，，，由，整理得，則，所以，，所以，解得，所以，又，解得，所以，又，所以，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，又線段的中點(diǎn)到軸的距離為，所以以為直徑的圓與軸相切，即僅有個(gè)交點(diǎn)，故正確；因?yàn)?，若，則，解得或；若，則，解得或；即、或、，所以或，故錯(cuò)誤.故選.9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于，觀察圖象得，的最小正周期，解得，由，得，而，則，A正確；對(duì)于B，，由，得，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將的圖象向左平移個(gè)單位后，得，是奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，，由，解得，因此單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確．故選ACD.10．【答案】ABC【詳解】不妨取，不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個(gè)，從中任意取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，共有（個(gè)）樣本點(diǎn)；，共4個(gè)樣本點(diǎn)；，共4個(gè)樣本點(diǎn)；，共10個(gè)樣本點(diǎn)，所以，，顯然，，從而A，B，C均不成立；中始終包含樣本點(diǎn)，，,故D成立．故選ABC．11．【答案】BCD【詳解】由得，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則有，所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒有兩個(gè)極值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)過點(diǎn)且與曲線相切于點(diǎn)，則斜率為，可得切線方程為，代入得，整理得，令，則，令得或，令得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解，所以過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以直線即為直線，即，該直線過定點(diǎn)，且此點(diǎn)在曲線上，又，令得或，令得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由題意作出函數(shù)的示意圖，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱中心為，則，即，整理得，所以，解得，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，設(shè)，則有，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，令得或，令得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，作出作出函數(shù)的示意圖所以在上單調(diào)遞減，所以，即，令，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，故D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】直線方程可化為，則該直線過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，所以，解得且.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．【答案】【詳解】是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則.14．【答案】【詳解】注意到，且幻方為幻方，故每行每列以及兩條對(duì)角線的數(shù)字之和為，不妨記第列從左往右，第行從下往上的數(shù)字坐標(biāo)為，如，易知，，，，．設(shè)，則，，由對(duì)角線可得到，解得，故，，，．注意到，故，而，，均在幻方中出現(xiàn)過，故或．當(dāng)時(shí)，，但，矛盾當(dāng)時(shí)，給出一種幻方成立的情況：綜上，的取值集合是．15．【答案】(1)(2)最小值為，最大值為【詳解】（1）由題意可知，且，所以，，則,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，則，，易知點(diǎn)、，所以，設(shè)，則，且，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，，故的最小值為，最大值為.16．【答案】(1)或(2)18【詳解】（1）因?yàn)?，則由正弦定理可得，，因?yàn)樗运曰?（2）若選①，即，則，所以，所以，則，由正弦定理得：，則存在且唯一確定，面積為.若選②，即，又，所以，矛盾所以②不成立；若選③，由，，，得，由余弦定理可得：，當(dāng)時(shí)，得或舍；當(dāng)時(shí)，得或舍；此時(shí)存在但不唯一確定，所以不合題意.17．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）在PD上找中點(diǎn)G，連接AG，EG，如圖：∵G和E分別為PD和PC的中點(diǎn)，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由F為棱PC上一點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)平面FAD的法向量為，由可得，解得：，令，則，則，取平面ADC的法向量為，則二面角的平面角滿足：,解得：，解得：或（舍去），故存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)．18．【答案】(1)，；(2)不存在唯一的最大項(xiàng)；(3)證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，取前3項(xiàng)知2，，成等差數(shù)列，即，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，取前3項(xiàng)知，，成等比數(shù)列，即．代入，得，這等價(jià)于，也即，所以或．若，那么，所以，但不為等比數(shù)列，與題干不符，所以，得，經(jīng)檢驗(yàn)得符合題意，故．（2）令，解得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，．所以，即最大項(xiàng)不唯一，故不存在唯一的最大項(xiàng)．（3）法一：因?yàn)椋?，注意到，所以，于是，因此．法二：①．兩邊同乘，得②．①－②，整理得③．兩邊同乘，得④．③－④，整理得，即?9．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則2是的極小值點(diǎn)，故存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”；（2），因?yàn)椴淮嬖邳c(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”，所以沒有極值點(diǎn)，若，則沒有極值點(diǎn)，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞堿，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，綜上，；（3），因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不同的點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)