安徽省安慶九一六學校2024～2025學年高二下學期2月月考數學試卷含答案

/安慶九一六學校2024-2025學年第二學期2月月考高二數學試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一?單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.1.若，則（）A. B.6 C.3 D.-3【答案】C【解析】【分析】由導數的定義可得；【詳解】.故選：C.2.已知是函數的導函數，且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】求導，即可代入求解.【詳解】由可得，故，解得，故選：A3.若函數，則等于（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用復合函數求導法則求出導數，再代入求出導數值.【詳解】依題意，，所以.故選：D4.函數的圖象如圖所示，設的導函數為，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】理解導函數和函數的意義，結合圖像即可求解.【詳解】由題意，，又因為，由圖可當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以①當時，且，②當時，且；綜上，;故選：D.5.若函數在上單調遞減，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據題意轉化為導函數恒成立問題，再利用分離參數法求解即可.【詳解】因為，所以，因為在上單調遞減，所以對恒成立，得到，即對恒成立，令，則對于恒成立，當時，由反比例函數性質得在上單調遞減，得到，即，故D正確.故選：D6.已知函數是奇函數，則曲線在處的切線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數奇偶性求出，然后求解函數的導數，得到切線的斜率，然后求解切點坐標，得到切線方程．【詳解】由函數的定義域為，且是奇函數，則，即，解得，于是，求導得，則，而，所以曲線在處的切線的方程為：，即.故選：B7.已知函數在處有極小值，則極大值為（）A32 B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】求導，根據極值點可得或，即可代入導數中，確定函數單調性，得函數的極值點求解.【詳解】由題意可得，由于是極小值點，故，或,當時，，當和時，，當時，，故在單調遞減，在和單調遞增，此時是函數的極大值點，不符合題意，舍去，當時，，當和時，，當時，，故在單調遞減，在和單調遞增，此時是函數的極小值點，符合題意，且是極大值點，故極大值為，故選：C8.已知在區(qū)間內存在2個極值點，則實數a的取值范圍為（）．A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，根據極值點可得與在內有2個交點，利用導數判斷的單調性和最值，結合圖象分析求解.【詳解】因為，可知在內有2個變號零點，由可得，可知：與在內有2個交點，又因為，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，在內單調遞減，則，且，，結合圖象可得，所以實數a的取值范圍為.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用求導法則進行計算，對四個選項逐個判斷即可.【詳解】，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.若的增區(qū)間為，則B.若在上單調遞減，則C.若的極大值為0，則D.若，則曲線的對稱中心為【答案】ACD【解析】【分析】利用導數求解函數的單調區(qū)間列式求解可判斷A，由題意在上恒成立，利用二次函數圖象與性質列不等式求解判斷B，分類討論利用導數求出函數的極大值判斷C，利用函數對稱性的性質可判斷D.【詳解】函數定義域為R，求導得：，對于A，若的增區(qū)間為，則的解集為，所以，解得，正確；對于B，若在上單調遞減，則在上恒成立，所以或，解得或，錯誤；對于C，當時，令得，令得或，因此在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處有極大值，則，解得，與矛盾；當時，令得，令得或，因此在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處有極大值，則，解得，正確；對于D，若，則，因為，所以曲線的對稱中心為，正確.故選：ACD11.記函數的零點為，則（）A. B.C.當時， D.為函數的極小值點【答案】BC【解析】【分析】由題設，兩邊取對數并整理化簡判斷A；根據解析式判斷函數單調性，應用零點存在性定理判斷B；構造函數并應用導數研究區(qū)間的函數值符號判斷C；假設為極小值點，對函數求導得到，結合判斷D.【詳解】依題意，，故，即，故A錯誤；易知當時，，且在上單調遞增，而，，故，故B正確；令，則，故當時，，則在上單調遞增，故，則，故C正確；，假設為極小值點，則有，即，將，代入可得，因為，上述等式不成立，故D錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點點睛：對于D，應用反證思想，先假設為極小值點，對函數求導得到，再判斷所得方程是否成立為關鍵.三?填空題：本題共3小題，每小題滿分5分，共15分.12.已知函數，則曲線在點處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】先對函數求導，再把代入導函數中可求出切線的斜率，根據切點坐標，從而利用點斜式可求出切線方程.【詳解】因為函數，所以，所以當時，，即切線方程的斜率為，又因為切點為，所以由直線的點斜式方程為：，即.故答案為：.13.若函數在處取得極大值，則常數a的值為_______．【答案】3【解析】【分析】由題意得出，可求得實數的值，然后將實數的值代入導數，就函數是否在處極大值進行檢驗，由此可得出實數的值.【詳解】，，由題意可得，整理得，解得或.當時，，令，或;令，,此時，函數在處取得極小值，不符合題意，當時，.令，得或；令，得得.此時，函數在處取得極大值，合乎題意.綜上所述，.故答案為：3.14.已知兩個函數和.（其中為實數），若對，，使成立，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】由題設將問題化為在上，并利用導數求區(qū)間上最大值，即可得參數范圍.【詳解】由題設，則在上，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，而，由，則在、上，在上，所以在、上單調遞增，在上單調遞減，而，要使對，，使成立，所以，只需在上，則，可得.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：在上為解題的關鍵.四?解答題：本題5小題，15題13分，16-17題15分，18-19題17分，共77分.15.已知函數.（1）求的圖象在點處的切線方程；（2）求函數的極值；【答案】（1）（2）極小值為，無極大值【解析】【分析】（1）求出，求導，得到，由導數幾何意義得到切線方程；（2）求定義域，求導，得到函數單調性，從而求出極值.【小問1詳解】，，故的圖象在點處的切線為，即；【小問2詳解】的定義域為，由（1）知，令得，令得，故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故在上取得極小值，極小值為，無極大值；16.已知函數的圖象在點處的切線為．（1）求函數的解析式;（2）若曲線在點P處的切線與直線垂直，求點P的橫坐標．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用導數的意義求出切線的斜率，再利用切線方程求出即可；（2）由兩直線垂直得到斜率關系，再利用導數的意義求解即可；【小問1詳解】函數，，在點處的切線為，解得，所以【小問2詳解】設，則由題可知，即，所以P的橫坐標為2．17.已知函數在處取得極值.（1）求函數的解析式及單調區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間的最大值與最小值.【答案】（1），單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）最大值為2，最小值為.【解析】【分析】（1）求導，根據，求出，求出解析式，并解不等式，求出單調區(qū)間；（2）在（1）基礎上，得到函數極值情況，和端點值比較后得到答案.【小問1詳解】，由題意得，即，解得，故解析式為，定義域為R，令，令得或，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，顯然為極小值點，故，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，【小問2詳解】由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，表格如下：1+0-0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增又，故的最大值為2，最小值為.18.已知函數．（1）若函數在處的切線與直線垂直，求實數a；（2）若函數有極大值，且極大值不大于0，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導，由導數的幾何意義結合垂直關系求解即可；（2）利用導數分類討論分析函數的單調性，由極值求解參數的取值范圍即可.【小問1詳解】由題意可知：函數的定義域為，，因為函數在處的切線與直線垂直，所以，解得：.【小問2詳解】因為.當時，，所以函數在上單調遞減，所以無極值；當時，令得；令得；可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，則的極大值為.因為極大值不大于0，即，且，可得，記，，則，所以在上單調遞增.而，所以由可解得.即實數的取值范圍為.19.已知曲線和曲線．（1）若為曲線上的一動點，當點到直線的距離最小時，求點的坐標；（2）若直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意得到當曲線在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離最小，再借助直線平行，斜率相同，再結合導數求切點即可；（2）設出切點，再運用導數幾何意義構造方程組計算即可.【小問1詳解】