福建省福州市福九聯(lián)盟（高中）2024～2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含答案

/福建省福州市福九聯(lián)盟（高中）2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在等比數(shù)列中，，，則的公比為（

）A． B． C． D．2．下列求導(dǎo)正確的是（）A． B．C． D．3．平潭島是祖國大陸距離臺灣最近的地方，島上的龍鳳頭海濱浴場（沙灘玩?；蛴^賞日出）、猴研島（離臺灣最近地方）、長江澳風(fēng)車田（日落美景）、殼丘頭遺址博物館（了解南島語族文化）自然風(fēng)光優(yōu)美、文化底蘊(yùn)深厚，是游客喜歡的打卡景點(diǎn).某天甲、乙、丙三位同學(xué)準(zhǔn)備從這個(gè)景點(diǎn)任選一個(gè)景點(diǎn)游玩，則不同游玩方案的種數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可以是（

）

A． B．C． D．5．已知函數(shù)在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值為（）A．或1 B．2或 C． D．16．漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每個(gè)月延遲個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：出生時(shí)間年月—月年月—月年月—月年月—月……改革后法定退休年齡歲個(gè)月歲個(gè)月歲個(gè)月歲個(gè)月……那么年月出生的男職工退休年齡為（）A．歲個(gè)月 B．歲個(gè)月 C．歲個(gè)月 D．歲個(gè)月7．有4張分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和4張標(biāo)有1、2、3、4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中任選4張排成一列，如果4張卡片上的數(shù)字之和等于10，則不同的排列種數(shù)為（）A．72 B．144 C．288 D．4328．已知，，，則（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知二項(xiàng)式的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)和為，則下列說法正確的是（）A．展開式共有項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)C．展開式的常數(shù)項(xiàng)為 D．展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為10．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，，，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)（不在軸上），下列選項(xiàng)正確的是（）A．的周長為 B．存在點(diǎn)使得C．直線與直線的斜率乘積為 D．的最小值為111．對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．的最小值為；B．有兩個(gè)零點(diǎn)；C．若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為D．若恒成立，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則13．如圖，將一張的長方形紙片剪下四個(gè)全等的小正方形，使得剩余部分經(jīng)過折疊能糊成一個(gè)無蓋的長方體紙盒，則剪下的小正方形的邊長為cm時(shí)，這個(gè)紙盒的容積最大.14．“朗博變形”是借助指數(shù)運(yùn)算或?qū)?shù)運(yùn)算，將化成，的變形技巧，已知函數(shù)，，若，則的最小值為四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對一切正整數(shù)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知函數(shù)(1)求的極值；(2)證明：17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，且，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若與底面所成角的正切值為2，求平面與平面所成角的余弦值.18．設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若，討論在上的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的乘積，形成一個(gè)新數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“延拓”.如數(shù)列1，2第一次“延拓”后得到數(shù)列1，2，2，第二次“延拓”后得到數(shù)列1，2，2，4，2.將數(shù)列，，經(jīng)過次“延拓”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為、所有項(xiàng)的乘積記為.(1)給定數(shù)列，，，回答下列問題：①寫出該數(shù)列的第一次與第二次“延拓”后得到的數(shù)列，并求出與的值；②將定數(shù)列，，經(jīng)過次“延拓”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為，現(xiàn)將，，，，構(gòu)成數(shù)列，求的值；(2)已知數(shù)列，，，其中，，，該數(shù)列經(jīng)過3次“延拓”后，能被45整除，則滿足上述條件的數(shù)列，，有幾個(gè)？

參考答案1．【答案】A【詳解】，，.故選A.2．【答案】B【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選B.3．【答案】C【詳解】因?yàn)槊课煌瑢W(xué)均有種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同游玩方案的種數(shù)為，故選C.4．【答案】B【詳解】由圖象知函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)，對于A，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)是偶函數(shù)，不滿足條件，排除A，對于D，定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，所以此函?shù)是非奇非偶函數(shù)，不滿足條件，排除D，對于C，因?yàn)楹驮谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，不滿足條件，排除C，對于B，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；又因?yàn)椋視r(shí)，，故B選項(xiàng)符合題意.故選B．5．【答案】C【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，解得或；令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，此時(shí)，在處函數(shù)取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，此時(shí)，在處函數(shù)取得極大值，符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.故選C.6．【答案】C【詳解】由題知每個(gè)月延遲個(gè)月，則每年延遲個(gè)月，所以年月出生的男職工退休年齡延遲個(gè)月，又，故退休年齡為歲個(gè)月，故選C.7．【答案】D【詳解】分三類：第一類，當(dāng)所取的4張卡片上分別標(biāo)有1，2，3，4時(shí)，滿足題意的不同排法共有（種）；第二類，當(dāng)所取的4張卡片上分別標(biāo)有1，1，4，4時(shí)，滿足題意的不同排法共有（種）；第三類，當(dāng)所取的4張卡片上分別標(biāo)有2，2，3，3時(shí)，滿足題意的不同排法共有（種）；因此，滿足題意的所有不同的排法共有（種）.故選D.8．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，即，則有，故.記，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，?綜上可得：.故選C.9．【答案】BD【詳解】由題知，得到，所以展開式共有項(xiàng)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，由二?xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，所以選項(xiàng)B正角，對于選項(xiàng)C，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，由，得到，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，令，則，所以展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，故選項(xiàng)D正確，故選BD.10．【答案】ABD【詳解】橢圓，則，則，對于A：因?yàn)?，所以的周長為，故A正確；對于B：當(dāng)在橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，不妨取，此時(shí)，所以為鈍角，所以存在點(diǎn)使得，B正確；對于C：因?yàn)?，設(shè)，則，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故D正確；故選ABD.11．【答案】ACD【詳解】對于A，由于，所以，令，解得，若，，若，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故A正確；對于B，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，，所以有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線距離最小，令，解得，所以，所以切點(diǎn)為，故到直線的距離為：.故C正確；對于D，等價(jià)于（*），設(shè)，等價(jià)于，則，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又，若，則與（*）矛盾舍去.②當(dāng)時(shí)，由可知，滿足，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，與取交集，.故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】因?yàn)?，則或，解得或，又，所以，則.13．【答案】1【詳解】設(shè)剪下的小正方形的邊長為，由題知紙盒的容積為，則，令，得到（舍）或，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的增區(qū)間為，減區(qū)間為所以在處取到最大值，最大值為.14．【答案】1【詳解】依題意：，即，則，設(shè)，則在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，令，顯然在上單調(diào)遞增，,設(shè)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證，滿足，所以.（2）因?yàn)椋瑒t，又為常數(shù)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.16．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析【詳解】（1）易知的定義域?yàn)椋?，令，得到，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，極小值為，無極大值.（2）要證明，即證明，即證明恒成立，令，則，令，得到，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即恒成立，所以成立.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，交與點(diǎn)，連接.因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)

又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以

因?yàn)槠矫?，且平面?/p>

因此平面；（2）因?yàn)槠矫?，所以在平面上的射影為，所以為與底面所成角.

所以，因?yàn)?，則

方法一：因?yàn)榈酌媸橇庑危?，設(shè)中點(diǎn)為，易知，，兩兩互相垂直，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，

顯然平面的一個(gè)法向量是，

而，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，解得，，，

故

所以平面與平面所成角的余弦值為.

方法二：如圖：取的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以由已知平面，所以平面，底面是菱形，，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系且，則，，，，，，

顯然平面的一個(gè)法向量是，

則

，設(shè)平面的法向量為，則取，解得，，所以，

故

所以平面與平面所成角的余弦值為

法三：因?yàn)槠矫?，所以在平面上的射影為，所以為與底面所成角.

所以，因?yàn)?，則

過點(diǎn)作的平行線交的延長線于，交的延長線于，由于，則，因此、、、四點(diǎn)共面

所以平面平面，過點(diǎn)作交于，則面，因?yàn)槊?，所以，過點(diǎn)作于，連接，又，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以為平面與底面所成角，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以，，則在中，所以

即平面與平面所成角的余弦值為.18．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，即切點(diǎn)為，

，則切線的斜率，

切線的方程為，即.（2）依題意定義域?yàn)椋?/p>

①若，則，，即在上單調(diào)遞增，

②若，由，則，當(dāng)時(shí)，則，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，則，時(shí)，，時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，（3），依題意當(dāng)時(shí)，，整理可得（*），

當(dāng)時(shí)，，（*）成立①，

當(dāng)時(shí)，（*）可變式為成立，設(shè)，等價(jià)于②，

，

設(shè)，，，?，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，

在區(qū)間在單調(diào)遞增，在區(qū)間在單調(diào)遞減，則，由②可知，當(dāng)時(shí)，，只需滿足，

由①②可得，當(dāng)時(shí)，成立，實(shí)數(shù)的取值范圍.19．【答案】(1)①第一次得到數(shù)列：1，2，2，，，第2次得到數(shù)列：1，2，2，4，2，，，2，；，；②(2)96【詳解】（1）①數(shù)列1，2，第一次“延拓”后得到數(shù)列1，2，2，，，第2次“延拓”后得到數(shù)列1，2，2，4，2，，，2，，，.②數(shù)列1，2，第次“延拓”后得到數(shù)列，記為，，，，，第次“延拓”后，每兩項(xiàng)之間添加1項(xiàng)，共添加了項(xiàng)，

總項(xiàng)數(shù)，故，即，又，即，