福建省寧德市部分學校2024～2025學年高二下學期4月期中質量監(jiān)測數學試題含答案

/福建省寧德市部分學校2024?2025學年高二下學期4月期中質量監(jiān)測數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列關于空間向量的說法正確的是（）A．任意兩個空間向量不一定共面 B．模相等的兩個向量是相等向量C．平行于同一個平面的向量叫做共面向量 D．空間中任意三個向量都可以構成空間的一個基底2．設向量不共面，已知，若三點共線，則（）A．1 B．2 C．3 D．43．若函數滿足，則（）A．1 B． C． D．4．如圖，在直三棱柱中，點在棱上，且．設，則（）A． B．C． D．5．函數的部分圖象大致是（）A． B．C． D．6．函數圖象上一點到直線的最短距離為（

）A． B． C． D．7．如圖，在四棱臺中，底面ABCD是菱形，平面，直線AC與直線所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．記是的導函數，是的導函數，若曲線在點處的曲率，則曲線在點處的曲率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知定義在上的函數的導函數為，的圖象如圖所示，則（）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．有1個極大值點 D．有1個極小值點10．已知函數，下列說法正確的是（）A．有3個零點B．的圖象關于點對稱C．既有極大值又有極小值D．經過點且與的圖象相切的直線有2條11．在四棱錐中，，四邊形是平行四邊形，分別為棱的中點，，點在平面的射影恰好是棱的中點，則（

）A．平面B．線段的長為C．三棱錐的外接球的表面積為D．平面與平面夾角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間中的三點，，，則點到直線AB的距離為.13．若函數在上單調遞增，則的取值范圍是.14．若將一塊體積為的橡皮泥捏成一個圓柱，則圓柱表面積的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數.(1)求在處的切線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線方程.16．如圖，在正四棱柱中，為棱的中點．(1)求三棱錐的體積．(2)證明：平面．(3)求直線與平面所成角的正弦值．17．已知函數．(1)若，求的極值；(2)若，討論的單調性．18．在矩形中，為上兩個不同的三等分點，如圖1．將和分別沿向上翻折，使得點重合，記重合后的點為，如圖2．已知，四棱錐的體積為．(1)求；(2)求平面與平面所成角的正弦值．19．已知函數.(1)若在其定義域內單調遞增，求的取值范圍；(2)若，證明：，；(3)若在上有兩個極值點，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】任意兩個空間向量一定共面，A錯誤.方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，B錯誤．平行于同一個平面的向量叫做共面向量，C正確.空間中任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底，D錯誤.故選C.2．【答案】B【詳解】，因為A，C，D三點共線，所以，即，解得．故選B.3．【答案】D【詳解】由，得．故選D.4．【答案】A【詳解】連接,．故選A.5．【答案】A【詳解】根據題意，函數的定義域為，當時，，所以．排除BC.當時，，所以在上單調遞增，排除D.故選A.6．【答案】C【詳解】設與直線平行且與曲線相切的直線的切點坐標為．因為，所以，解得，則切點坐標為．最短距離為點到直線的距離，即．故選C.7．【答案】A【詳解】取BC的中點，連接AF，則由題意可得,，且，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，所以，所以，所以直線AC與直線所成角的余弦值為．故選A.8．【答案】C【詳解】由題意得，則，則曲線在點處的曲率為，故C正確.故選C.9．【答案】AD【詳解】由圖可得，當時，所以函數在上單調遞減，當時，當且僅當，所以函數在上單調遞增.綜上在上單調遞減，在上單調遞增，故A正確，B錯誤；有1個極小值點，無極大值點，故C錯誤，D正確.故選AD.10．【答案】ACD【詳解】對A：由或或.所以函數有3個零點.故A正確；對B：因為，所以的圖象關于點對稱，故B錯誤；對C：因為函數有3個零點，結合三次函數的性質，可得函數草圖如下：所以函數既有極大值又有極小值.故C正確；對D：設函數圖象上任意一點，因為，所以函數在該點處的切線方程為：，因為切線過點，所以，整理得：，因式分解得：或.故過點與函數的圖象相切的直線有兩條.故D正確.故選ACD.11．【答案】ABD【詳解】對于A，取線段的中點，連接，，因為棱的中點，則為的中位線，則，且，因為棱的中點，且四邊形是平行四邊形，則且，則且，則四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，則平面，故A正確；對于B，取分別取線段、的中點、，連接、、，由于為的中位線，則，且，由于為的中位線，則，且，又因為四邊形是平行四邊形，則，且，則，且，則四邊形是平行四邊形，則，因，則，則，即，故B正確；對于C，因點在平面的射影恰好是棱的中點，則以為原點，分別以平行于、的直線為軸、軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖，在中，，則，則，則，設三棱錐的外接球的球心，半徑為，則，解得，則外接球的表面積為，故C錯誤；對于D，由C選項可知，，設平面的法向量為，則，令，則得，容易知平面的法向量為，則，則平面與平面夾角的余弦值為，故D正確.故選ABD.12．【答案】【詳解】因為空間中的三點，，，所以，，所以，，點到直線AB的距離為．13．【答案】【詳解】由，得，又函數在上單調遞增，所以在上恒成立，即，所以．14．【答案】（或）【詳解】設圓柱底面圓的半徑為，高為，則，即．由圓柱的表面積公式得圓柱的表面積為，令函數，則，當時，，單調遞增，當時，單調遞減，則在上單調遞減，在上單調遞增，得到．故圓柱表面積的最小值為.15．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）..在處的切線方程為，即.（2）設所求直線與曲線相切于點，則曲線在點處的切線斜率為，所以切線方程為.因為切線過點，所以，解得或，則或.故所求直線方程為或.16．【答案】(1)(2)證明見解析(3)．【詳解】（1）易知三棱錐即三棱錐，其體積為．（2）以為坐標原點，所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則．．因為，所以．因為平面，所以平面（3）由（2）得是平面的一個法向量設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17．【答案】(1)極大值，無極小值；(2)答案見解析.【詳解】（1）當時，，定義域為，則．當時，單調遞增；當時，單調遞減．故當時，取得極大值，無極小值．（2）由，得．令，得或．若，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減．若，則，當和時，單調遞減；當時，單調遞增．若，則在上恒成立，單調遞減．綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為和；當時，的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）取的中點分別為，連接，過點作，垂足為，設，則，為等邊三角形，，在中，，在中，，，又梯形的面積，所以四棱錐的體積為，解得（舍去），即；（2）由（1）可得．以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以．．設平面的法向量為，則取，得．設平面的法向量為，則取，得．所以，，所以平面與平面所成角的正弦值為．19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）因為在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.設，則，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以，則，即的取值范圍為.（2）證明：若，則.設，則，，則在上單調遞減，在上單調遞增