福建省莆田二中、仙游一中2024～2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

/莆田二中、仙游一中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一期中聯(lián)考考數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘考試滿分150分）一.選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合要求的）1．若z=1+i，則iz+i2025=（

）．A.-1+2iB.-2+iC.-1+iD.-12．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則3．平面向量，若，則（

）A．6 B．5 C． D．4．如圖所示，已知正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖，則其原圖形的周長(zhǎng)為（

）A．4 B．8C． D．5．宋代瓷器的燒制水平極高，青白釉出自宋代，又稱影青瓷．宋蔣祁《陶記》中“江、湖、川、廣器尚青白，出于鎮(zhèn)之窯者也”，印證了宋人把所說(shuō)的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史實(shí)．圖1為宋代的影青瓷花口盞及盞托，我們不妨將該花口盞及盞托看作是兩個(gè)圓臺(tái)與一個(gè)圓柱的組合體，三個(gè)部分的高相同均為6cm，上面的花口盞是底面直徑分別為8cm和10cm的圓臺(tái)，下面的盞托由底面直徑8cm的圓柱和底面直徑分別為12cm和8cm的圓臺(tái)組合構(gòu)成，示意圖如圖2，則該花口盞及盞托構(gòu)成的組合體的體積為（

）

A．B．C．D．6．如圖，在四邊形中，，則的最小值為（

）A．2B．C．D．已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，則三棱柱外接球的表面積為（

）．A． B． C． D．8．如圖所示，半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．0 D．2二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．若復(fù)數(shù)，則（

）．A． B．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C． D．復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為10．如圖所示，在正六邊形中，下列結(jié)論正確的是（

）

B．C．D．在上的投影向量為11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（

）A．過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形是梯形B．三棱錐的體積為4C．三棱錐的外接球表面積為D．一質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿正方體表面繞行到CC1的中點(diǎn)的最短距離為13三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12．已知平面平面，點(diǎn)P是平面，外一點(diǎn)（如圖所示），且直線，分別與，相交于點(diǎn)A，B，C，D，若PA=6，AB=2，BD=12，則AC=．13．已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模長(zhǎng)為，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的向量．14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．若△ABC的面積，則邊a的最小值為．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，.(1)若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，以△ABC的邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成一個(gè)幾何體，求該幾何體的表面積.16．如圖，在△ABC中，已知，，，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，，相交于點(diǎn).設(shè)，；(1)若，試用向量，表示，；(2)若，求的面積.17記△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,三個(gè)內(nèi)角滿足且為銳角，(1)若，求；(2)為上一點(diǎn)，從下列條件①、條件②中任選一個(gè)作為已知，求線段的最大值．條件①：為的角平分線；

條件②：為邊上的中線．如圖，多面體ABCD-A1B1C1是由一個(gè)直三棱柱ABC--A1B1C1與一個(gè)四棱錐D-A1C1CA組成，其中BC∥AD，AD=2BC，AB=BC=CA=AA1=4，E是AC上的一點(diǎn)。若E是AC中點(diǎn)。①求證B1C∥平面A1EB；②求異面直線A1E與B1C所成角的余弦值.若E為BD與AC交點(diǎn)，問(wèn)A1B上是否存在一點(diǎn)K，使得EK∥平面A1AD?如果存在，請(qǐng)求求出KBA19．十字測(cè)天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晚期的航海領(lǐng)域，主要用于測(cè)量太陽(yáng)等星體的方位，便于船員確定位置.如圖1所示，十字測(cè)天儀由桿AB和橫檔CD構(gòu)成，并且E是CD的中點(diǎn)，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動(dòng).十字測(cè)天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測(cè)天儀，使得眼睛可以從A點(diǎn)觀察.滑動(dòng)橫檔CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽(yáng)，此時(shí)視線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，DE的影子恰好是AE.然后，通過(guò)測(cè)量AE的長(zhǎng)度，可計(jì)算出視線和水平面的夾角（稱為太陽(yáng)高度角），最后通過(guò)查閱地圖來(lái)確定船員所在的位置.(1)若在某次測(cè)量中，橫檔的長(zhǎng)度為20，測(cè)得太陽(yáng)高度角，求影子AE的長(zhǎng)；(2)若在另一次測(cè)量中，，橫檔的長(zhǎng)度為20，求太陽(yáng)高度角的正弦值；(3)在桿AB上有兩點(diǎn)，滿足.當(dāng)橫檔CD的中點(diǎn)E位于時(shí)，記太陽(yáng)高度角為，其中，都是銳角.證明：.

參考答案一、單選題題號(hào)12345678答案ADBBDCCB二、多選題題號(hào)91011答案ACDABCAD三、填空題12．913．或（答案不唯一，寫(xiě)出任意一個(gè)即可）14．2四、解答題15．(1)(2)【詳解】（1）∵，，，，.∵三點(diǎn)共線，，，解得，即實(shí)數(shù)的值為.（2）由（1）知，.，，，即.，，，，.以△ABC的邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是底面半徑，高，母線長(zhǎng)的圓錐，故該幾何體的表面積為.16．(1)；(2).【詳解】（1）由題意，是的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，則.所以，.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，，解?所以，，則，所以.17．(1)；(2)3【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，因?yàn)?，所?（2）選擇條件①：在△ABC中，由余弦定理，得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)樗怨实淖畲笾禐?.選擇條件②：由題，平方得4CD2=CA2在△ABC中，由余弦定理得，即，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故有，從而，故的最大值為3.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)104(3)【詳解】（1）①連接AB1,-A1B交于點(diǎn)F由直三棱柱ABC--A1B1C1的性質(zhì)知：BC∥B1C1，分別為AC,AB1的中點(diǎn)，B1C，平面A1EB.，平面A1EB.取A1C1中點(diǎn)A1',連接A1'C，求異面直線A1E與B1C所成角的為∠A1'A1'B1=23，A1'C=25，B則cos做出平面圖，可得BEED=1即KBA1B即EK∥平面A1AD19．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）如圖1，由題意得，，，且E是的中點(diǎn)，，，