福建省泉州市永春第二中學(xué)等五校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

/福建省泉州市永春第二中學(xué)等五校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A．63 B．10 C．21 D．02．已知函數(shù)，則（）A．2 B． C．1 D．3．某校準(zhǔn)備下一周舉辦運(yùn)動會，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)報名參加這4個項目的比賽，每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，則不同的報名方法種數(shù)有（

）A．18 B．21 C．23 D．724．若曲線在點處的切線方程為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．45．隨機(jī)變量，且，則（）A．64 B．128 C．256 D．326．已知偶函數(shù)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)為，若對任意，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．7．是定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若方程在上至少有3個不同的解，則稱為上的“波浪函數(shù)”.已知定義在上的函數(shù)為“波浪函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．考察下列兩個問題：①已知隨機(jī)變量，且，，記；②甲、乙、丙三人隨機(jī)到某3個景點去旅游，每人只去一個景點，設(shè)表示“甲、乙、丙所去的景點互不相同”，表示“有一個景點僅甲一人去旅游”，記，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)B．的單調(diào)遞增區(qū)間為和C．的最大值為D．的極值點為10．已知二項式的展開式中共有7項，則下列說法正確的有（

）．A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為1C．二項式系數(shù)最大的項為第4項 D．有理項共3項11．記，分別為，的對立事件，且，，.則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．用5種不同的花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是.13．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是．14．若，且，則．四、解答題（本大題共5小題）15．2025年春節(jié)期間，全國各大影院熱映《哪吒之魔童鬧?！贰ⅰ短铺?900》、《封神2》、《射雕英雄傳》4部優(yōu)秀的影片．現(xiàn)有4名同學(xué)，每人選擇這4部影片中的1部現(xiàn)看．(1)如果這4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？(2)如果這4名同學(xué)中的甲、乙2名同學(xué)分別選擇觀看影片《哪吒之魔童鬧海》、《封神2》，那么共有多少種不同的選擇方法？(3)如果這4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？16．為了增強(qiáng)學(xué)生的國防意識，某中學(xué)組織了一次國防知識競賽，高一和高二兩個年級學(xué)生參加知識競賽，現(xiàn)兩個年級各派一位學(xué)生代表參加國防知識決賽，決賽的規(guī)則如下：①決賽一共五輪，在每一輪中，兩位學(xué)生各回答一次題目，兩隊累計答對題目數(shù)量多者勝；若五輪答滿，分?jǐn)?shù)持平，則并列為冠軍；②如果在答滿輪前，其中一方答對題目數(shù)量已經(jīng)多于另一方答滿次題可能答對的題目數(shù)量，則不需再答題，譬如：第輪結(jié)束時，雙方答對題目數(shù)量比為，則不需再答第輪了；③設(shè)高一年級的學(xué)生代表甲答對比賽題目的概率是，高二年級的學(xué)生代表乙答對比賽題目的概率是，每輪答題比賽中，答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.(1)在一次賽前訓(xùn)練中，學(xué)生代表甲同學(xué)答了輪題，且每次答題互不影響，記為答對題目的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求在第輪結(jié)束時，學(xué)生代表甲答對道題并剛好勝出的概率.17．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求在上的最值；(2)討論的單調(diào)性．18．某種電子玩具按下按鈕后，會出現(xiàn)紅球或綠球．已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)紅球與綠球的概率都是，從按鈕第二次按下起，若前一次出現(xiàn)紅球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為、，若前一次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為、，記第次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為．(1)求的值；(2)若，，試用表示．19．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】由題意得，故C正確.故選C.2．【答案】B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選B3．【答案】A【詳解】要做到每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，可以分成兩步完成：①讓甲在三個項目中任選一個，有種方法；②讓另外三個同學(xué)在剩下的三個項目中各任選一個，有種方法.由分步乘法計數(shù)原理，可得符合條件的報名方法種數(shù)為.故選A.4．【答案】B【詳解】由題設(shè)，則，又，所以，故.故選B5．【答案】A【詳解】隨機(jī)變量服從二項分布，且，所以，則，因此.故選A.6．【答案】C【詳解】令，則，則A錯誤；令，則，當(dāng)時，由，，則在上單調(diào)遞增，又因為偶函數(shù)的定義域為R，∴為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，，故B錯誤；，，故C正確；由題意，不妨假設(shè)(c為常數(shù))符合題意，此時，故D錯誤.故選C.7．【答案】D【詳解】，，，顯然不滿足上式，所以，令，則，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，畫出的圖像，可知：.故選D.8．【答案】C【詳解】解：問題①，由，解得，則.問題②，根據(jù)題意，事件B的可能情況有種，事件發(fā)生的可能情況為種，所以，.故選C.9．【答案】AB【詳解】因為對，根據(jù)奇函數(shù)定義可知函數(shù)是上的奇函數(shù)，即A正確；令可得或，即的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故B正確；由B可知，在單調(diào)遞增，所以無最大值，即C錯誤；由得，結(jié)合選項B可知，是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，極值點不是點，所以錯誤.故選AB.10．【答案】BC【詳解】因為二項式的展開式中共有7項，所以，則二項式為，對于A，所有項的二項式系數(shù)和為，所以A錯誤，對于B，令，則所有項的系數(shù)和為，所以B正確，對于C，因為二項式的展開式中共有7項，所以由二項式的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第4項，所以C正確，對于D，二項式展開式的通項公式為，因為，所以當(dāng)時，其對應(yīng)的項為有理項，即共有4個有理項，所以D錯誤，故選BC.11．【答案】ABC【詳解】由題可知，，則，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選ABC.12．【答案】240【詳解】由題意，區(qū)域A可選的方法數(shù)為5，區(qū)域B可選的方法數(shù)為4，區(qū)域C可選的方法數(shù)為3，區(qū)域D可選的方法數(shù)為4，可得總的方法數(shù)為.13．【答案】【詳解】，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，∴，當(dāng)時，，，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，則實數(shù)m的取值范圍是.14．【答案】32【詳解】，，，時，.15．【答案】(1)24(2)16(3)144【詳解】（1）因為這4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，所以不同的選擇方法共有種；（2）因為甲、乙2名同學(xué)選擇觀看的影片已確定，所以其余2人觀看影片的不同方法有種；（3）因為這4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，所以不同的選擇方法有種.16．【答案】(1)分布列見解析，(2)【詳解】（1）解：由題可得，的可能取值為、、、，所以，，，，，所以，的分布列為：所以，.（2）解：將“在第輪結(jié)束時，學(xué)生代表甲答對道題并剛好勝出”記為事件，“在第輪結(jié)束時，學(xué)生代表乙答對道題”記為事件，“在第輪結(jié)束時，學(xué)生代表乙答對道題”記為事件，則、互斥，且，則，，所以，.因此，在第輪結(jié)束時，學(xué)生代表甲答對道題并剛好勝出的概率為.17．【答案】(1)最大值為32，最小值為(2)答案見解析【詳解】（1）因為，所以．當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．因為，所以在上的最大值為32，最小值為．（2）因為，所以令，得或．當(dāng)，即時，由，解得或，由，解得．當(dāng)，即時，恒成立．當(dāng)，即時，由，解得或，由，解得．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．18．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)“第1次出現(xiàn)紅球”，“第1次出現(xiàn)綠球”，B＝“第2次出現(xiàn)紅球”，則，，，由全概率公式得．（2）設(shè)“第次出現(xiàn)紅球”，“第次出