天津市河?xùn)|區(qū)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷含答案

/天津市河?xùn)|區(qū)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則等于（）A．2 B．1 C． D．2．學(xué)校食堂的一個窗口共賣3種菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)每人從中選一種，則選法的可能方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．的展開式中系數(shù)最大的項是（）A．第項 B．第n項C．第項 D．第項4．下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．6．學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到.用X表示候選人來自甲班的人數(shù).則下列說法不正確的是（）A．隨機變量X的所有取值為0，1，2，3，4B．甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為C．隨機變量D．隨機變量X的期望為7．為貫徹落實《健康中國行動(2019——2030年)》文件精神，某校組織學(xué)生參加大課間體育活動，共安排了5個項目，分別為跑步、體操、乒乓球、街舞、踢毽子，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設(shè)每人參加每個項目的可能性相同，已知甲同學(xué)參加的3個項目中有“乒乓球”，則他還參加“踢毽子”項目的概率為（）A． B．C． D．8．進行n次獨立試驗，每次試驗成功的概率均為p，則第r次成功之前恰失敗k次的概率為（）A． B． C． D．9．已知的展開式中x的系數(shù)為19，求的展開式中x2的系數(shù)的最小值為（）A．81 B．C．10 D．9二、填空題（本大題共6小題）10．若組合數(shù)，則.11．在的展開式的中間一項是.12．的展開式中的系數(shù)為(用數(shù)字作答).13．已知，若，則．14．如圖，現(xiàn)要用紅，橙，黃，綠，藍5種不同的顏色對某市的6個行政區(qū)地圖進行著色，要求有公共邊的兩個行政區(qū)不能用同一種顏色，則共有種不同的涂色方法.

15．如圖所示，正方形是一塊邊長為的工程用料，陰影部分所示是被腐蝕的區(qū)域，其余部分完好，曲線為以為對稱軸的拋物線的一部分，．工人師傅現(xiàn)要從完好的部分中截取一塊矩形原料，當(dāng)其面積有最大值時，的長為．

三、解答題（本大題共5小題）16．根據(jù)二項式定理完成下列各題：(1)求的展開式；(2)化簡17．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求方程在區(qū)間上的解的個數(shù).18．已知函數(shù)（a為常數(shù)）.(1)若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.19．已知f(x)＝(＋3x2)n的展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項．20．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意可知：，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】因為每名同學(xué)均有3個選擇，且互不干擾，所以選法的可能方式共有種.故選A.3．【答案】C【詳解】因為的展開式的通項為，可知第項的系數(shù)為，即為第項的二項式系數(shù)，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知：的最大值為，所以系數(shù)最大的項為第項.故選C.4．【答案】D【詳解】對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確；故選D.5．【答案】D【詳解】因為，則，令，可得，解得.故選D.6．【答案】C【詳解】因為從12名候選人中選4名同學(xué)，且有4名候選人來自甲班，可知隨機變量X服從超幾何分布，故C不正確；所以X的所有取值為0，1，2，3，4，故A正確；甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為，故B正確；隨機變量X的期望為，故D正確；故選C.7．【答案】B【詳解】設(shè)甲同學(xué)參加的“乒乓球”項目為事件，甲同學(xué)參加的“踢毽子”項目為事件，則，所以.故選B.8．【答案】B【詳解】因為第r次成功之前恰失敗k次，可知一共進行次，第r次成功，前次中成功次，所以所求概率.故選B.9．【答案】A【詳解】的展開式通項為，則展開式中x的系數(shù)為，即展開式中的系數(shù)為，且，根據(jù)二次函數(shù)的知識知，當(dāng)或10時，上式有最小值，所以當(dāng)，或時，項的系數(shù)取得最小值81.故選A.10．【答案】8【詳解】因為，則，解得或，又因為，所以.11．【答案】20【詳解】由二項式展開式的性質(zhì)可得展開式一共有7項，所以中間一項為第4項，所以在的展開式的中間一項是.12．【答案】【詳解】由題意可知：的展開式中的系數(shù)即為的展開式中的系數(shù)，因為的展開式通項為，則含的項為，所以展開式中的系數(shù)為.13．【答案】【詳解】因為，所以，解得．14．【答案】1260【詳解】若只用3種顏色，先涂，則有種不同的涂色方法，此時與的顏色相同，與的顏色相同，與的顏色相同，所以共有種不同的涂色方法；若只用4種顏色，先涂，則有種不同的涂色方法，此時第4種顏色可以涂，當(dāng)涂時，則與的顏色相同，與或的顏色相同，有2種不同的涂色方法；當(dāng)涂時，則與的顏色相同，與的顏色相同，有1種不同的涂色方法；當(dāng)涂時，則與的顏色相同，與或的顏色相同，有2種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法；若用5種顏色，先涂，則有種不同的涂色方法，此時第4和第5種顏色可以涂，當(dāng)涂時，則與的顏色相同，有種不同的涂色方法；當(dāng)涂時，則與或或的顏色相同，有種不同的涂色方法；當(dāng)涂時，則與的顏色相同，有種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法；綜上所述：共有種不同的涂色方法.15．【答案】【詳解】由題知，以為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)方程為：，所以，，方程為：，令矩形面積為，當(dāng)時，，當(dāng)，設(shè)，則，所以，則，令，則，在上遞增，令，則或，在上遞減，又，，，所以當(dāng)?shù)拈L為時，該矩形面積最大.

16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，因為，所以.17．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)答案見解析【詳解】（1）對求導(dǎo)得，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，且，從而當(dāng)或時，方程在區(qū)間上的解的個數(shù)為0；當(dāng)或時，方程在區(qū)間上的解的個數(shù)為1；當(dāng)時，方程在區(qū)間上的解的個數(shù)為2.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：的定義域為，且，則，即切點為，切線斜率，可得切線方程為，將點代入得，整理可得解得：，所以.（2）因為，當(dāng)，即時，在定義域內(nèi)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，所以無極值點，不合題意；當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有兩個極值點，符合題意；當(dāng)，即時，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有1個極值點，不符合題意；綜上所述：a的取值范圍是.19．【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）令，則展開式中各項系數(shù)和為，展開式中的二項式系數(shù)和為，依題意，，即，整理得，于是得，解得，而5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為中間兩項，它們是，；（2）由(1)知展開式通項為，令Tr＋1項的系數(shù)最大，則有，即，整理得，解得，而，從而得，所以展開式中系數(shù)最大項為.20．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.【方法總結(jié)】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1通常要