四川省瀘州市三校聯(lián)盟2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含答案

/四川省瀘州市三校聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，是時(shí)間，是位移，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A． B． C． D．2．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．58 B．63 C．75 D．844．我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲-20飛機(jī)準(zhǔn)備著艦。如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種5．在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A． B．4 C．3 D．－36．已知一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B獨(dú)立C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．88．已知，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某高中為了解該校學(xué)生的體質(zhì)情況，對(duì)全校同學(xué)進(jìn)行了身體素質(zhì)測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取所有測(cè)試同學(xué)中的100名，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這一部分同學(xué)的體測(cè)分?jǐn)?shù)均介于40至100之間；為進(jìn)一步分析該校學(xué)生體質(zhì)情況，現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理得到如下所示頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．樣本中得分不低于80分的同學(xué)有15名C．估計(jì)樣本的40%分位數(shù)為66分 D．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于眾數(shù)10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說法正確的有（

）A．與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若是空間向量的一組基底，且，則也是空間向量的一組基底C．已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為D．已知，平面的法向量為，則11．函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)B．若函數(shù)的對(duì)稱中心為，則C．若函數(shù)在上為減函數(shù)，則D．當(dāng)時(shí)，設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，曲線在點(diǎn)，，處的切線斜率分別記為，，，則三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.13．設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則的離心率是．14．某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬(wàn)元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬(wàn)元，則按照計(jì)劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為.（參考數(shù)據(jù)：）四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且滿足___________.給出下列三個(gè)條件：①，；②；③.請(qǐng)從其中任選一個(gè)將題目補(bǔ)充完整，并求解以下問題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.16．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．17．已知橢圓，以的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.求證：直線過定點(diǎn).18．已知函數(shù)．(1)若，求的極值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若對(duì)任意，有恒成立，求整數(shù)m的最小值．19．人教A版選擇性必修二第8頁(yè)中提到：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，，，，，．正偶數(shù)與不互素，所有正奇數(shù)與互素，比小的正奇數(shù)有個(gè)，所以；(1)求，，的值；(2)已知數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．注：兩個(gè)整數(shù)互素是指這兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)為1．

參考答案1．【答案】A【詳解】該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為故選A.2．【答案】C【詳解】當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，且，解得當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，兩直線平行.因此“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選C.3．【答案】D【詳解】由，所以，又，所以，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，則由題意可知，所以.故選D.4．【答案】B【詳解】將甲、乙捆綁，與除丙、丁外的另外一架飛機(jī)進(jìn)行全排列，有種排法，而后將丙、丁進(jìn)行插空，有3個(gè)空，有種排法，故共有＝24種排法.故選B.5．【答案】D【詳解】已知，得，因，則存在兩根，不妨設(shè)，則由得，或；得，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則和分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，又，是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)根，所以，，所以，則，由，且，可知，，在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以，因此．故選D.6．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所以，，；?duì)于A，因?yàn)?，所以事件A與事件B不互斥，故A不正確；對(duì)于B，，所以事件A與事件B不獨(dú)立，故B不正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，由，得，所以，故D正確；故選D.7．【答案】A【詳解】，故,記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則.故選A.

8．【答案】B【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，即，，令，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ试谏蠁握{(diào)遞增，故，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，最大值為，故，解得.故選B.【方法總結(jié)】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．9．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A：由，可得：，正確；對(duì)于B：樣本中得分不低于80分的頻率，故樣本中得分不低于80分的同學(xué)有，正確；對(duì)于C：第一個(gè)矩形面積為，第二個(gè)矩形面積為，第三個(gè)矩形面積為，，，所以樣本的40%分位數(shù)：，正確；對(duì)于D：平均數(shù)為：，眾數(shù)為：75，故D錯(cuò)誤；故選ABC.10．【答案】AC【詳解】A.與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A正確；B.，若，則與共線，所以不是空間向量的一組基底，故B錯(cuò)誤；C.在上的投影向量為，故C正確；D.因?yàn)椋?，所以或，故D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，時(shí)，，令，令，即y=fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則y=fx的極大值為，極小值，又，即函數(shù)y=fx只有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間-1,1內(nèi)，A正確；對(duì)于B，若函數(shù)的對(duì)稱中心為，則有，即，所以，B正確；對(duì)于C，可知，若函數(shù)在上為減函數(shù)，則有在上恒成立，分離參數(shù)得在上恒成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，令，令，即y=fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則y=fx的極大值為，極小值，又，即函數(shù)y=fx有一個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間內(nèi)，則有，故，所以，，則，D正確.選ABD.12．【答案】【詳解】因?yàn)?，得，則，所以切線的方程為，即.13．【答案】/【詳解】顯然，或，不妨令，將代入雙曲線方程，，解得：，由等腰直角三角形可得，則，方程兩邊同除以得：，解得：，因?yàn)?，所以離心率為．14．【答案】3937萬(wàn)元【詳解】設(shè)該公司在2024年，2025年，...，2033年的銷售額（單位：萬(wàn)元）分別為.依題意可得，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為90，公比為1.3的等比數(shù)列，則，即，則，故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3937萬(wàn)元.15．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）解：選①，因?yàn)?，所以，所以?shù)列等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列得公比為由，得或（舍去），所以；選②，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；選③，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以；（2）證明：由（1）得，所以，所以.16．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)；(2)證明見詳解【詳解】（1）由題意得解得∴橢圓E的方程為；（2）由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，則，由得，由得，∴，，∵，∴直線的方程為，令得，即，∵當(dāng)時(shí)，直線為x軸，∴若直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.當(dāng)時(shí)，，∴，故直線過定點(diǎn)，綜上，直線過定點(diǎn).18．【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值．(2)分類討論，答案見解析.(3)1【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，令，解得當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．所以在時(shí)取得極大值為，無(wú)極小值．（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則．設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以，使得，即．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．因?yàn)?，所以，故整?shù)的