河北承德市高新區(qū)第一中學(xué)2024～2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

/河北承德市高新區(qū)第一中學(xué)2024--2025學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.2.是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則首項(xiàng)（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A. B. C.1 D.24.的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.5.某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200頭，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣出100頭牛.若該牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，則大約為（參考數(shù)據(jù)：（）A.1420 B.1480 C.1520 D.15806.甲、乙等5人計(jì)劃去上海、蘇州及青島三個(gè)城市調(diào)查農(nóng)民工薪資情況．每個(gè)人只能去一個(gè)城市，并且每個(gè)城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數(shù)為（）A.150 B.300 C.450 D.5407.若函數(shù)在區(qū)間(,)內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.[－5,1) B.(－5,1) C.[－2,1) D.(－2,1)8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對(duì)任意的滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.10.為弘揚(yáng)我國古代“六藝”文化，某研學(xué)旅行夏令營主辦單位計(jì)劃在暑假開設(shè)“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗(yàn)課程，若甲乙丙三名同學(xué)各只能體驗(yàn)其中一門課程．則（）A.甲乙丙三人選擇課程方案有120種方法B.甲乙丙三人選擇同樣課程有6種方案C.恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中的選課方案有120種D.若有五名教師教這6門課程，每名老師至少教一門，且老師不教“數(shù)”，則有1440種排課方式.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)只有極大值沒有極小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則t的最小值為2三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.已知函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．13.已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝xlnx－ax2＋x有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．14.將3種農(nóng)作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊試驗(yàn)田種植一種農(nóng)作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種農(nóng)作物，不同的種植方法共有________種．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(本小題13分）已知在的展開式中，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng)；（3）求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).16.(本小題15分）已知函數(shù)．（1）若，求在上的最值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．17.(本小題15分）某企業(yè)在2023年全年內(nèi)計(jì)劃生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x百件，生產(chǎn)過程中總成本w（x）（萬元）是關(guān)于x（百件）的一次函數(shù)，且，．預(yù)計(jì)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，且當(dāng)年產(chǎn)量為x百件時(shí)，每百件產(chǎn)品的銷售收入（萬元）滿足．（1）寫出該企業(yè)今年生產(chǎn)這種產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）今年產(chǎn)量為多少百件時(shí)，該企業(yè)在這種產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？（參考數(shù)據(jù)：，，，）18.(本小題17分）已知數(shù)列，滿足，其中，.（1）若，.①求證：為等比數(shù)列；②試求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（2）若，數(shù)列的前6291項(xiàng)之和為1926，前77項(xiàng)之和等于77，試求前2024項(xiàng)之和是多少？19.(本小題17分）已知函數(shù)．（1）若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明:．參考答案;1.【答案】A【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以yx=-1=-4，所以切線方程為：2.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，等差?shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和；所以，3.【答案】B【解析】由，求導(dǎo)可得：，令，得到，所以解得.4.【答案】A【解析】，的通項(xiàng)公式為，對(duì)于的通項(xiàng)，所以含的項(xiàng)為，的系數(shù)為對(duì)于的通項(xiàng)，含的項(xiàng)為，的系數(shù)為所以，的展開式中含的系數(shù)為；故的系數(shù)為．5.【答案】B【解析】已知，由每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為且每年年底賣出頭牛，可得數(shù)列的遞推公式.設(shè)，展開得，令，解得，所以，由此可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，可得，即.當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?所以大約為，答案選B.6.【答案】A【解析】根據(jù)條件，有兩類分配方案，即：把5人分組為兩類情況：和.若把5人按分組，有種分組方法，若按分組，有種分組方法，因此不同分組方法數(shù)為，再把三組人安排到三個(gè)城市，均有有種方法，所以不同分配方法種數(shù)是.7.【答案】C【解析】依題意，求導(dǎo)得，，令，解得或；令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值，當(dāng)時(shí)，，解得或，所以要使函數(shù)在(,)內(nèi)存在最小值，則，解得．8.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞減，又，則，又不等式，等價(jià)于，即，解得，所以不等式的解集是.9.【答案】CD【解析】解：因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故C正確；，故D正確；10.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，甲乙丙三人每人都有6種選擇，共有種，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，甲乙丙三人選擇同樣課程，即從6門課程中選一門，有6種方案，故B正確，對(duì)于C，6門課程中恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中即3名學(xué)生選擇了不同的三門，故有種方案，故C正確，對(duì)于D，法一：分類五名教師教這6門課程，每名老師至少教一門，則有一名老師需要教兩門課程若老師教2門課程，則有種，若老師教1門課程，且教2門課的老師教“數(shù)”，則有種，若老師教1門課程，且教2門課的老師不教“數(shù)”，則有種，因此一共有種方案，故D正確，法二：五名教師教這6門課程，所以將6門課程分成5組，在分配給老師第一步：分為5組，有一組有兩門課程，其余每組都只有一門課程：種；第二步：因?yàn)槔蠋煵唤獭皵?shù)”這一組，所以從另外4組中選一組給老師，在將剩下4組分配給4個(gè)老師：種；則一共有種；故D正確，11.【答案】BD【解析】選項(xiàng)A：由，可得，解得，故A正確；選項(xiàng)B：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，令解得；令解得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B的分析過程可知，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值是，結(jié)合對(duì)選項(xiàng)A的分析，可得函數(shù)的大致圖象，所以當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，故C正確；選項(xiàng)D：由B知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其中，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間時(shí)，可得，故D錯(cuò)誤.12.【答案】【解析】由函數(shù)可得，令，解得或，因?yàn)槭菂^(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，所以或，解得或，故實(shí)數(shù)取值范圍是.13.【答案】0＜a＜【解析】f′(x)＝lnx＋2－2ax，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝lnx與函數(shù)y＝2ax－2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)兩函數(shù)圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，對(duì)函數(shù)y＝lnx求導(dǎo)(lnx)′＝1x則有解得要使函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則0＜2a＜e即0＜a＜.14.【答案】42【解析】方法一分別用a，b，c代表3種農(nóng)作物．先安排第1塊田(從左往右數(shù)，下同)，有3種種植方法，不妨設(shè)種植a.再安排第2塊田，可種植b或c，有2種種植方法，不妨設(shè)種植b.再安排第3塊田，若第3塊田種植c，則第4,5塊田各有2種種植方法，即此時(shí)第4,5塊田的種植方法種數(shù)為2×2＝4；若第3塊田種植a，則第4塊田可種植b或c，①若第4塊田種植c，則第5塊田有2種種植方法，②若第4塊田種植b，則第5塊田只能種植c，有1種種植方法．綜上所述，不同的種植方法種數(shù)為3×2×(4＋2＋1)＝42.方法二從左往右5塊試驗(yàn)田分別有3,2,2,2,2種種植方法，所以不同的種植方法種數(shù)為3×2×2×2×2＝48，這些方法中包含“5塊試驗(yàn)田只種植2種作物”的情況種數(shù)為3×2×1×1×1＝6.所以滿足題意的不同的種植方法種數(shù)為48－6＝42.15.【答案】解：（1）的展開式的通項(xiàng)為：；則可得第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，所以，即，則，或（舍去）；（2）展開式的通項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)，即，解得，所以，所以第5項(xiàng)時(shí)常數(shù)項(xiàng)為60；（3）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，根據(jù)通項(xiàng)知，項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值為：則，，解得，又，，，即展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為.16.【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，由可得，，，令，解得，令，解得，所以當(dāng)，，f'x，的變化情況如下表所示，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為.（2）由求導(dǎo)可得，令，得或，當(dāng)，即時(shí)，令f'x>0，得或，令f'x<0，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)，即，此時(shí)恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；當(dāng)，即時(shí)，f'x>0，得或，f'x<0，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.17.【答案】解：（1）設(shè)總成本函數(shù)（為常數(shù)），由已知，，可得，解得，所以，已知每百件產(chǎn)品的銷售收入，所以.（2）由（1）可知，求導(dǎo)可得，令，得，，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有，答：當(dāng)產(chǎn)量為7百件時(shí)，該企業(yè)在這種生產(chǎn)中獲利最大且最大利潤(rùn)為51萬元．18.【答案】（1）①證明：由于，則當(dāng)時(shí)利用累加法得，則，又因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.②解：由①得，則，不妨設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，①，②①②得，即，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（2）解：因?yàn)?，則，.所以數(shù)