陜西省西安市長安區(qū)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

/陜西省西安市長安區(qū)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則的子集的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．162．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則等于（

）A． B． C． D．3．如圖，向量，，若，，，為線段AB的5等分點，則（

）A． B． C． D．4．某學(xué)生的QQ密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字母，后六位是數(shù)字共九個符號組成．該生在登錄QQ時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數(shù)，則不超過兩次就輸對密碼的概率為（

）A． B． C． D．5．定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項起，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公方差．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列是等方差數(shù)列，且公方差為，，則數(shù)列的前33項的和為（

）A．3 B．6 C．2 D．46．已知曲線，，其中．點，，是曲線與依次相鄰的三個交點．若是等腰直角三角形，則（

）A． B． C． D．7．已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則當(dāng)?shù)闹底畲髸r，（

）A．1 B．2C． D．8．函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于對稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．?dāng)?shù)據(jù)的30%分位數(shù)為5C．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3D．若，隨機變量，則10．已知曲線，則（

）A．不是封閉圖形B．有4條對稱軸C．與坐標(biāo)軸有4個交點D．與直線有4個交點11．隨著時代與科技的發(fā)展，信號處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計算機科學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).已知某種信號的波形可以利用函數(shù)的圖象近似模擬，則（

）A．是非奇非偶函數(shù)B．的值域為C．當(dāng)時，關(guān)于x的方程在區(qū)間上所有不等實根的和為D．的圖象與的圖象恰有個交點三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為，則．13．已知拋物線，其中AC，BD是過拋物線焦點F的兩條互相垂直的弦，直線AC的傾斜角為，當(dāng)時，如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”的面積為．14．小明參加一項籃球投籃測試，測試規(guī)則如下：若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃命中，則通過測式；若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃不中，則不通過測試.已知小明每次投籃命中的概率均為，則小明通過測試的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，向量，.(1)求；(2)若.求的面積.16．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率.(1)若曲線與在處的曲率分別為，，比較，大小；(2)求正弦曲線（）曲率的平方的最大值.17．如圖，在四棱錐中，，底面是邊長為的菱形，.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成角的正切值為2，點滿足，求直線與平面所成角的余弦值.18．對于二次曲線，我們有：若是曲線上的一點，則過點與曲線相切的直線方程為．已知橢圓，，動圓，點是與在第一象限的交點．(1)求橢圓的離心率；(2)過點作動圓的切線，經(jīng)過橢圓的右焦點，求與滿足的關(guān)系式；(3)若，直線與，均相切，切點在上，切點在上，求的最大值．19．定義1：若數(shù)列滿足①，②，則稱為“兩點數(shù)列”；定義2：對于給定的數(shù)列，若數(shù)列滿足①，②，則稱為的“生成數(shù)列”.已知為“兩點數(shù)列”，為的“生成數(shù)列”.(1)若，求的前項和；(2)設(shè)為常數(shù)列，為等比數(shù)列，從充分性和必要性上判斷是的什么條件；(3)求的最大值，并寫出使得取到最大值的的一個通項公式.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，，所以，所以的子集個數(shù)為．故選D．2．【答案】D【詳解】，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，所以，故選D.3．【答案】C【詳解】取的中點為，則也是，的中點，故，因此.故選C.4．【答案】C【詳解】設(shè)為“第次按對密碼”（），則事件“不超過2次就按對”可表示為，記“密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)”為事件，由條件概率的性質(zhì)可得..故選C.5．【答案】A【詳解】解：因為數(shù)列是等方差數(shù)列，且公方差為3，所以，又，所以，又?jǐn)?shù)列的各項均為正數(shù)，所以，所以，，所以，，故選A．6．【答案】D【詳解】因為點，，是曲線與依次相鄰的三個交點，不妨設(shè)點為曲線與在軸上的交點，如圖所示，為的中點，連接,易知，,與軸平行，所以又因為是等腰直角三角形，所以，所以又因為在曲線上，所以，又因為所以：即所以.故選D.7．【答案】D【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑，側(cè)面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，，．記，，則，因為在上遞減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，故是的極大值點，也是最大值點．此時．故選D.8．【答案】A【詳解】解：因為為奇函數(shù)，即，所以，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即，因為的圖像關(guān)于對稱，所以的圖像關(guān)于對稱，即，所以，，所以，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以曲線在處的切線斜率等于曲線在處的切線斜率，因為曲線在處的切線斜率為，圖像關(guān)于對稱，所以，曲線在處的切線斜率為，因為，，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.故選A.【方法總結(jié)】由題意可以求得周期性與對稱性，然后求出該點的斜率，再用點斜式方程求即可.9．【答案】ACD【詳解】對于A，令，則，故A正確，對于B,將其從小到大排列為，且，故30%分位數(shù)為第2個數(shù)1，B錯誤，對于C，分別為，則平均數(shù)為，故方差為，故標(biāo)準(zhǔn)差為3，C正確，對于D，，故，故D正確，故選ACD.10．【答案】ACD【詳解】對于A，因為，所以或，所以E是由單位圓M和實軸長為2，焦點為的等軸雙曲線構(gòu)成，故A正確；對于B，由A項分析知，E只關(guān)于軸，軸對稱，所以E只有兩條對稱軸，故B錯誤；對于C，由A項分析可知，曲線E與坐標(biāo)軸的交點為，故C正確；對于D，因為C的一條漸近線方程為且，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，直線與雙曲線有2個交點，又直線與圓M有2個交點，故直線與有4個交點，故D正確.故選ACD.11．【答案】BD【詳解】對于A，由于，所以是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故當(dāng)時，是一個周期函數(shù)，其中一個周期為，故只需考察這個函數(shù)在內(nèi)的情況.當(dāng)時，.此時，故，當(dāng)時，，此時，故，綜上可得時，的值域為，故B正確；對于C，作出在上的圖象，故當(dāng)，時，由圖可知直線與的圖象有個交點，設(shè)這個交點的橫坐標(biāo)分別為，，，，由圖可知，，和，分別關(guān)于直線，對稱，故，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，由圖可知的圖象與的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有個交點，又為偶函數(shù)，故的圖象與的圖象恰有個交點，故D正確.故選BD.

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)交點問題常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．12．【答案】【詳解】由得，，因為向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為，所以，即，所以，所以.13．【答案】8【詳解】由題意知，直線的傾斜角，則直線的方程為，聯(lián)立，消去可得：，解得，，，由拋物線的定義可得，，根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合是過拋物線焦點的兩條互相垂直的弦，可知，故，故“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”的面積為．14．【答案】【詳解】設(shè)第一次投籃成功為事件B，通過測試為事件A，則，所以，所以.15．【答案】(1)(2).【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以，，即，又，故，即.（2），所以，，,又,即,,或（舍）,故.16．【答案】(1)；(2)1.【詳解】（1）由，，則，由，，則，所以；（2）由，，則，，令，則，故，設(shè)，則，在時，遞減，所以，最大值為1.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點，連接，因為是菱形，所以，又因為為的中點，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）過作交于點，面面，面面面，所以面，因為面，所以面，又面，所以，所以為的交點，為等邊三角形，所以H為的重心，設(shè)DH與AB交點為M，連接，則為二面角的平面角，因為，在中，解得，因為，所以，所以平面，以為原點，所在直線為軸建立如圖坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得：即，又，設(shè)平面和直線所成的角為，則，所以.18．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）在橢圓中，由，得，所以橢圓的離心率.（2）橢圓，由，解得，而，則，圓在處切線方程為，又過焦點，則，所以.（3）當(dāng)時，橢圓，，設(shè)，橢圓在處切線為，圓在處切線為，由直線與均相切，得，即，由，得，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最大值為，所以的最大值為.19．【答案】(1)(2)是的充要條件.(3)的最大值為，【詳解】（1）依題意故因為，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，即的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成等比數(shù)列.故當(dāng)為偶數(shù)時，.當(dāng)為奇數(shù)時，.綜上所述，（2）充分性：因為，所以，所以，又因為，所以是以1為首項，1