陜西省西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

/陜西省西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．14．已知是不共線的向量，且，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線 C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線5．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形6．已知，且關(guān)于的方程無實(shí)根，則向量與的夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD為邊長為的等邊三角形，點(diǎn)P為邊BD上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則由下列條件解三角形，其中只有一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知是夾角為的單位向量，且，則（

）A． B． C．與的夾角為 D．在方向上的投影向量為11．在中，角所對(duì)的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為銳角三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則為等腰三角形D．若，則是等腰三角形三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若復(fù)數(shù)，，且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于．13．如圖，在直角梯形中，，點(diǎn)在邊上，且，則．

14．瑞云塔位于福清市融城東南龍首橋頭，如圖，某同學(xué)為測(cè)量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正東方向找到一座建筑物，高為，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，瑞云塔頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測(cè)得瑞云塔頂部M的仰角為15°，瑞云塔的高度為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）.(1)若為實(shí)數(shù)，求的值;(2)若為純虛數(shù)，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求方程的另一根.16．已知向量，.（1）若向量與平行，求的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求的取值范圍.17．記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，(1)求；(2)若，求的面積．18．如圖，在等邊中，，點(diǎn)O在邊BC上，且.過點(diǎn)O的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)設(shè)，，試用，表示；(2)求；(3)設(shè)，，求的最小值.19．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A處的C處的緝私船奉命以的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.(1)求線段的長度；(2)求的大??；(3)問緝私船沿北偏東多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多長時(shí)間?參考數(shù)值：，

參考答案1．【答案】A【詳解】由題意，.故選A.2．【答案】B【詳解】由可得，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選B.3．【答案】A【詳解】，則，故其虛部為，故選A4．【答案】C【詳解】A：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；B：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤；C：，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，解得，所以假設(shè)成立，故C正確；D：，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選C.5．【答案】B【詳解】因，由正弦定理，，即,因,則，故,,即，故是等腰三角形.故選B.6．【答案】D【詳解】因關(guān)于的方程無實(shí)根，則，設(shè)向量與的夾角為，則，又，代入整理得：，因，故.故選D.7．【答案】B【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，又，所以，因?yàn)榍遥?，所以又，所以?故選B.8．【答案】C【詳解】由題意可知，為等邊三角形，則有，，在中，,；如圖以B為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則有，，由于，故可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,且，所以，，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值為0，所以，故選C.9．【答案】AB【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，則根據(jù)三角形全等（角邊角）可知存在且唯一的，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，，則根據(jù)三角形全等（邊角邊）可知存在且唯一的，故B正確；對(duì)于C，由余弦定理有，即，整理得，解得或，所以滿足條件的三角形有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由余弦定理有，即，整理得，且，即無解，所以此時(shí)三角形不存在，故D錯(cuò)誤；故選AB．10．【答案】ABD【詳解】設(shè)與的夾角為，對(duì)B，因?yàn)?，B正確；對(duì)A，，A正確；對(duì)C，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)D，在方向上的投影為，D正確.故選ABD.11．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可得，即，但無法判定A、C的范圍，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若為銳角三角形，則有，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，故B正確；對(duì)于C，若，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得或，又，故或，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式得又，所以，故，所以D正確.故選BD.12．【答案】/【詳解】是實(shí)數(shù)，則，．13．【答案】/0.5【詳解】

依題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則，設(shè)點(diǎn)，則，于是，解得，即.14．【答案】m【詳解】在Rt中，，由題意可得，由圖知，，所以，在中，由正弦定理可得：即，解得在Rt中，如圖可得.15．【答案】(1)或(2)3【詳解】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的定義可知若為實(shí)數(shù)，則或；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的定義可知若為純虛數(shù)，則，則，則由，得，所以另一個(gè)根為.16．【答案】(1)或；(2).【詳解】由題知，，.(1)若向量與平行，則，.解得或.(2)若向量與的夾角為銳角，由得，，.解得.又由(1)知，當(dāng)時(shí)，向量與平行.所以若向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，由及余弦定理，得，解得，而，則，由，得，又，所以.（2）由（1），得，由正弦定理得，所以的面積為18．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）由，得，所以.（2）在等邊中，，由（1）得，，，，，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，而共線，則，又，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.19．【答案】(1)(2)15°(3)緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船，最快需要.【詳解】（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB，所以，.（2）在△ABC中，由正弦定理，得，所以，sin∠ACB.又∵0°＜∠AC