山東省濟南市商河弘德中學(xué)2024～2025學(xué)年高一下學(xué)期階段性教學(xué)質(zhì)量檢測（第二次）數(shù)學(xué)試題含答案

/商河弘德中學(xué)高中2024級高一階段性教學(xué)質(zhì)量檢測（第二次）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）注意事項：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不涂在答題卡上，只答在本卷上無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A． B． C． D． 2．在中,設(shè),,若,,則()

A． B． C． D． 3．已知,與同向的單位向量為,,,的夾角為,則向量在向量方向上的投影向量為()A． B． C． D． 4.如圖,在長方體中,已知,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()

A． B． C． D． 5．已知三棱錐是球的內(nèi)接三棱錐,其中是等腰直角三角形,平面ABC,AD=4,,則該球的表面積為()A． B． C． D． 6.桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔,日塔別名叫金塔,月塔別名叫銀塔,所以也有金銀塔之稱.如圖1,這是金銀塔中的金塔,某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量該塔的高度,在塔底的同一水平面上的兩點處進行測量,如圖2.已知在處測得塔頂?shù)难鼋菫?在處測得塔頂?shù)难鼋菫?米,,則該塔的高度()

A．米 B．米 C．米 D．米 7．如圖，在棱長為2的正方體中，M為棱的中點，則點C到平面的距離為（

）A．5 B． C．1 D．8．如圖,在三棱錐中,點分別為棱的中點.若點在線段上,且滿足平面,則的值為()

A． B． C． D． 二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知復(fù)數(shù),,則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng),時,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限B．當(dāng)且僅當(dāng)時,為純虛數(shù)

C．當(dāng)時,D．表示在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是圓10．在中,角的對邊分別為,且,則下列說法正確的是()A．B．若的周長為,內(nèi)切圓半徑為,則

C．若,,則有兩解D．若，則外接圓的面積為11．如圖,已知在長方體中,,,點為棱上的一個動點,平面與棱交于點,則下列命題正確的是()

A．當(dāng)點在棱上的移動時,恒有B．在棱上總存在點,使得平面

C．四棱錐的體積為定值D．四邊形的周長的最小值是第Ⅱ卷（非選擇題共92分）注意事項：第Ⅱ卷所有題目的答案，考生必須用0.5毫米黑色簽字筆答在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)，在區(qū)域外答題或在試卷上答題均無效。三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若向量,,與的夾角為鈍角,則實數(shù)的取值范圍是__________.13．某水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是梯形(如圖所示),已知,,,將該平面圖形繞其直角腰邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓臺,則該圓臺的側(cè)面積為__________.

14．正三棱錐中，，，則直線和平面所成的角的正弦值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知向量.

(1)若,求的值.

(2)設(shè),向量與的夾角為,求的大小.16．當(dāng)實數(shù)取什么值時,復(fù)數(shù)分別滿足下列條件?

(1)實數(shù);

(2)純虛數(shù);

(3)在復(fù)平面內(nèi)表示的點位于第四象限.17．如圖,直三棱柱內(nèi)接于一個圓柱,,為底面圓的直徑,圓柱的體積是,底面直徑與圓柱的高相等.

(1)求圓柱的側(cè)面積;

(2)求三棱柱的體積.(3)求直三棱柱的外接球的體積.18．已知,,分別是的內(nèi)角,,的對邊,且.

(1)求;

(2)若的面積為,求的周長.19.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，E為側(cè)棱PD上的點，且.(1)證明：；(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1．若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A． B． C． D． 【答案】A【解析】由,可得,所以,所以,

所以的虛部為.

故選:A.2．在中,設(shè),,若,,則()

A． B． C． D． 【答案】B【解析】在中,設(shè),,因為,,

所以,即得,即,

則.故選:B.3．已知,與同向的單位向量為,,,的夾角為,則向量在向量方向上的投影向量為()A． B． C． D． 【答案】D【解析】由題意知,

又因為與同向的單位向量為,所以向量在向量方向上的投影向量為.

故選:D.4.如圖,在長方體中,已知,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()

A． B． C． D． 【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為,為的中點,

所以,

所以,

假設(shè)異面直線與所成的角為,

則.

故選:D.5．已知三棱錐是球的內(nèi)接三棱錐,其中是等腰直角三角形,平,,,則該球的表面積為()A． B． C． D． 【答案】A【解析】因為平面,平面,平面,

所以,,

又因為是等腰直角三角形,,所以,

所以可將三棱錐補成長方體,如圖:

則三棱錐的外接球就是長方體的外接球,

長方體外接球的直徑等于長方體的對角線,

即,

所以外接球的表面積為,

故選:A.

6．桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔,日塔別名叫金塔,月塔別名叫銀塔,所以也有金銀塔之稱.如圖1,這是金銀塔中的金塔,某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量該塔的高度,在塔底的同一水平面上的兩點處進行測量,如圖2.已知在處測得塔頂?shù)难鼋菫?在處測得塔頂?shù)难鼋菫?米,,則該塔的高度()

A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B【解析】由題意可知,,,

設(shè)米,則

在中,米,

在中,米.

由余弦定理可得,即,解得.

因為米,所以米.

故選:B.7．如圖，在棱長為2的正方體中，M為棱的中點，則點C到平面的距離為（

）A．5 B． C．1 D．【答案】D【知識點】求點面距離、錐體體積的有關(guān)計算【分析】利用等體積轉(zhuǎn)化求點到平面的距離.【詳解】由條件可知，平面，平面，所以，，設(shè)點到平面的距離為，由，所以，解得：.故選：D8．(22廣西玉林期中聯(lián)考)如圖,在三棱錐中,點分別為棱的中點.若點在線段上,且滿足平面,則的值為()

A． B． C． D． 【答案】C【解析】連接,交于,連接,如圖,

平面,平面平面,

,

點,分別為棱,的中點.

是的重心,

.

故選:C.

二、多選題（每小題5分，共3小題15分）9．已知復(fù)數(shù),,則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng),時,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

B．當(dāng)且僅當(dāng)時,為純虛數(shù)

C．當(dāng)時,

D．表示在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是圓【答案】A,C,D【解析】A選項,因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為,,,所以對應(yīng)的點在第一象限,因此A正確;

B選項,為純虛數(shù),則且,因此B錯誤;

C選項,,而,因此,因此C正確;

D選項,,因此,即軌跡是圓心為,半徑為的圓,因此D正確;故選:ACD.10．在中,角的對邊分別為,且,則下列說法正確的是()A．

B．若的周長為,內(nèi)切圓半徑為,則為正三角形

C．若,,則有兩解

D．在C選項的條件下,的取值范圍為【答案】A,B,C【解析】由,可得,

所以,

所以,

所以,

因,所以,所以,

所以,所以,

因為,所以,所以,所以,故A正確;

若的周長為6,內(nèi)切圓半徑為,所以,所以,

在中,由余弦定理可得,

所以,所以,解得,

所以,又,解得,所以為正三角形,故B正確;

當(dāng)時,滿足,有兩解,所以,即,有兩解,故C正確;

故D不正確;

故選:ABC.11．如圖,已知在長方體中,,,點為棱上的一個動點,平面與棱交于點,則下列命題正確的是()

A．當(dāng)點在棱上的移動時,恒有

B．在棱上總存在點,使得平面

C．四棱錐的體積為定值

D．四邊形的周長的最小值是【答案】A,C,D【解析】對于A,當(dāng)點為棱上的移動時,平面,由于平面,故,故A正確;對于B,當(dāng)點在時,平面,故B錯誤;對于C,在長方體中,平面平面,

平面平面,平面平面,

故,同理,則四邊形為平行四邊形;

故,

由于,故,故,故C正確;對于D,如圖,將長方體展開,使四個側(cè)面在同一個平面內(nèi),

連接(左側(cè))交于點,由于,則為的中點,同理為的中點,則四邊形的周長的最小值是,則D正確,故選:ACD.三、填空題（每小題5分，共3小題15分）12．若向量,,與的夾角為鈍角,則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為向量,,與的夾角為鈍角,

所以且,即且,

即實數(shù)的取值范圍是.

故答案為:.13．某水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是梯形(如圖所示),

已知,,,

將該平面圖形繞其直角腰邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓臺,則該圓臺的側(cè)面積為__________.

【答案】【解析】由題可得,,,,

則所得圓臺上底面為以為半徑的圓,下底面為以為半徑的圓,高為,

其母線為,故其側(cè)面積.

故答案為:.14.正三棱錐中，，，則直線和平面所成的角的正弦值為．【答案】【解析】取正中心為O，連接并延長交于D，連接，則D為中點，平面，則為直線和平面所成的角，中，，，，則，中，，，，則，則.則直線和平面所成的角的正弦值為.四、解答題（每小題12分，共4小題48分）15．已知向量.

(1)若,求的值.

(2)設(shè),向量與的夾角為,求的大小.【答案】見解析【解析】【小問1詳解】

由可得,解得,;

【小問2詳解】

由可得,,即,解得,

此時,,,

則,因,故.16．當(dāng)實數(shù)取什么值時,復(fù)數(shù)分別滿足下列條件?

(1)實數(shù);

(2)純虛數(shù);

(3)在復(fù)平面內(nèi)表示的點位于第四象限.【答案】見解析【解析】(1)若為實數(shù),則,解得或.

(2)若為純虛數(shù),則,解得.

(3)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限,

則,解得.17．如圖,直三棱柱內(nèi)接于一個圓柱,,為底面圓的直徑,圓柱的體積是,底面直徑與圓柱的高相等.

(1)求圓柱的側(cè)面積;

(2)求三棱柱的體積.【答案】見解析【解析】(1)設(shè)底面圓的直徑為,則其高也為;

由題可知,圓柱的體積,解得,

因此圓柱的側(cè)面積為;

(2)因為是等腰直角三角形,底面圓的半徑為,因此邊長,

所以三棱柱的體積.（3）18．已知,,分別是的內(nèi)角,,的對邊,且.

(1)求;

(2)若,的面積為,求的周長.【答案】見解析【解析】(1)在中,,

由正弦定理得:,則,

即,即,

由正弦定理得,即;

(2)由,得,

則,得,

由余弦定理得,

即,整理得,

即,解得,

則,

所以的周長為.19.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，E為側(cè)棱PD上的點，且.(1)證明：；(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)