山東省菏澤市第一中學(xué)2024～2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題

/高一數(shù)學(xué)4月自主檢測(cè)一、單選題每題5分共40分1．四等分切割如圖所示的圓柱，再將其重新組合成一個(gè)新的幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，則圓柱的側(cè)面積是（

）

A．B．C．10D．202．已知非零向量，，則在方向上的投影向量長度為（

）A． B． C． D．3．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（

）A．B．2C．D．4．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，有四個(gè)結(jié)論：

①與是異面直線；②相交于一點(diǎn)；③；④平面.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．在中,分別為角的對(duì)邊),則的形狀為A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形7．如圖所示，為線段外一點(diǎn)，若中任意相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，，則用表示，其結(jié)果為（

）A． B． C． D．8．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題每題6分共18分9．已知復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的虛部為2 D．10．已知點(diǎn)是三角形的邊上的點(diǎn)，且，以下結(jié)論正確的有（

）A．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則B．若平分，則C．三角形外接圓面積最大值為D．若，，則內(nèi)切圓半徑為211．已知直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段上（包含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直三棱柱外接球的半徑為2B．三棱錐的體積與的位置無關(guān)C．若為的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面為等腰梯形D．一只蟲子由表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最近距離為三、填空題每題5分共15分12．在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的面積為.13．如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有對(duì)．14．費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)．當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為．已知點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，角所對(duì)的邊分別為，若，，邊上的中線長為，則的值為．四、解答題15．(13分)已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中為虛數(shù)單位.(1)求的值;(2)記復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.16．(15分)已知單位向量滿足(1)求的值；(2)設(shè)與的夾角為，求的值；17．(15分)在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知向量,且為邊上一點(diǎn)，,且.(1)求；(2)求面積的最大值.18．(17分)已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為.(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)求圓錐的內(nèi)切球的表面積；(3)求該圓錐的內(nèi)接正四棱柱的側(cè)面面積的最大值.19．(17分)在中，，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，(1)求；(2)若為線段內(nèi)一點(diǎn)，且，求線段的長；(3)法國著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如對(duì)于任意的，都有被稱為柯西不等式；在（1）的條件下，若，求：的最小值；《2025年4月1日高中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案題號(hào)12345678910答案AACDCADAABDAB題號(hào)11答案ABD7．A【詳解】由正弦定理可得：，，即，即，即，即，所以或（舍去），所以，則，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，解得：，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由，可得，所以..8．D【詳解】解：的面積，，，則，，，，，，，，．10．ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，故，故A正確；對(duì)于B，在中，由正弦定理可得，因?yàn)槠椒?，，所以，所以，同理，中，，所以，又，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)正弦定理可得三角形外接圓半徑，即，因?yàn)?，所以，所以三角形外接圓面積最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如果直角三角形的話內(nèi)切圓半徑為2,不是直角三角形,半徑就不是2,故D正確.11．對(duì)于A，因?yàn)?，三棱柱為直三棱柱?/p>

如圖，故該三棱柱為長方體的一半，如圖：所以直三棱柱外接球即為長方體外接球，因?yàn)椋云渫饨忧虬霃綖?，故A正確；對(duì)于B，如圖：

，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在上，所以到的距離為定值，故的面積為定值，故三棱錐的體積與的位置無關(guān)，故B正確；對(duì)于C，如圖，連接，

因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?，且，所以，且，過三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面為梯形，又，所以，所以，所以,所以，所以四邊形不是等腰梯形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若一只蟲子由表面從點(diǎn)經(jīng)過爬到點(diǎn)，如圖1，則爬過的最小距離：為；

若一只蟲子由表面從點(diǎn)經(jīng)過爬到點(diǎn)，如圖2，則爬過的最小距離為：；

若一只蟲子由表面從點(diǎn)經(jīng)過爬到點(diǎn)，如圖3，則爬過的最小距離為：，

若一只蟲子由表面從點(diǎn)經(jīng)過爬到點(diǎn)，如圖4，過作，交于點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，在中，則爬過的最小距離為：，故D正確.12．或13．314．/【詳解】由，則，因?yàn)?，故，則，即，即，，則，故，故的三內(nèi)角都小于，則P點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為；又，則，則，解得，故，因?yàn)?，即，所以，則.15．【詳解】（1）由題意得:，即，所以，所以，，解得：，.（2），，，所以.16．【詳解】（1）因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以，所以，得到，則，則（2）因?yàn)椋裕?/p>

所以，即17．【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，利用二倍角公式和邊化角可得：，即，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，?（2）因?yàn)?，所以，兩邊平方得：，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由，可得：，所以.所以面積的最大值為.18．【詳解】（1）設(shè)圓錐母線長、底面半徑分別為、，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為，則，解得，又，所以，又因?yàn)榈拿娣e為，，解得（負(fù)值舍去），又，所以，圓錐的側(cè)面積.（2）作出軸截面如圖所示：根據(jù)圓錐的性質(zhì)可知內(nèi)切球球心在上，設(shè)球心為，切于點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切球半徑為，即，則，所以，由（1）可知，圓錐的高，，則有，解得，所以圓錐的內(nèi)切球的表面積；（3）由（1）知圓錐的高，令正四棱柱的底面邊長為，高為，則，由得，，所以正四棱柱的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以該圓錐的內(nèi)接正四棱柱的側(cè)面面積的最大值為.19．【詳解】（1）因?yàn)樗?，由正弦?/p>