山東省菏澤市單縣第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

/山東省菏澤市單縣第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C．. D．4．已知正三棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱臺(tái)的體積為（）A． B． C． D．5．已知，，，，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足，則（

）A．45 B．50 C．55 D．607．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知曲線系，離心率為，曲線系，離心率為，若，，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為二、多選題（本大題共3小題）9．下面說(shuō)法正確的是（）A．若數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為4B．若是等差數(shù)列，則這些數(shù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等C．已知是隨機(jī)變量，則D．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于110．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，與的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn)11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列命題正確的是（

）A．若，則平面平面B．若，則與所成角的取值范圍為C．若，則平面D．若，則線段長(zhǎng)度的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．某研究性學(xué)習(xí)小組針對(duì)“使用大綠書(shū)的用戶是否存在性別差異”，向個(gè)人進(jìn)行調(diào)查.用表示所有調(diào)查對(duì)象構(gòu)成的集合.以為樣本空間建立古典概型，并定義一對(duì)分類變量和如下：對(duì)于中的每一名學(xué)生，，現(xiàn)得到下表：是大綠書(shū)的用戶不是大綠書(shū)的用戶男性女性若根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為（其中），則的最小值為.（參考公式：，其中）13．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為.14．定義：對(duì)于一個(gè)位正整數(shù)，若其各位數(shù)字的極差（即最大數(shù)字與最小數(shù)字之差）不超過(guò)2，則稱其為位“穩(wěn)定數(shù)”，則三位“穩(wěn)定數(shù)”共有個(gè).四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為圓上不同于，的一點(diǎn)．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．(1)求角；(2)若，求的面積．16．已知函數(shù)（）.(1)若，求的極小值；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)的極大值為，求證：.17．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點(diǎn)，.(1)求的方程；(2)記，的縱坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率；(3)設(shè)為軸上一點(diǎn)，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．某校開(kāi)展科普知識(shí)團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場(chǎng)，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場(chǎng)參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束.已知團(tuán)隊(duì)每位成員闖過(guò)第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.(1)若，用表示團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場(chǎng)闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；(2)記團(tuán)隊(duì)第位成員上場(chǎng)且闖過(guò)第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)，求.

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以，則，故選C.2．【答案】D【詳解】設(shè)，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以，，又，所以，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選D.3．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，在上的投影向量?故選D.4．【答案】D【詳解】將正棱臺(tái)補(bǔ)全為一個(gè)棱錐，為底面中心，如下圖示，所以，則，而棱臺(tái)的高，所以，則該三棱臺(tái)的體積為.故選D.

5．【答案】D【詳解】，，，，，，，，，故選6．【答案】D【詳解】根據(jù)題意：，兩式作差可得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選D．7．【答案】A【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)，則①，對(duì)兩邊求導(dǎo)得，②，在③中，用代替得④，由①②④可得，⑤，聯(lián)立③⑤得，，則化簡(jiǎn)為，，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的最小值為，故，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選A.8．【答案】D【詳解】因?yàn)?，曲線的方程為，曲線的方程為，易知曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，所以，，所以隨著的增大而增大，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，取最小值，無(wú)最大值，AB都錯(cuò)；，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，綜上所述，的最大值為，無(wú)最小值，C錯(cuò)D對(duì).故選D.9．【答案】BC【詳解】A：由數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差，錯(cuò)；B：對(duì)于等差數(shù)列，若正整數(shù)，則，若正整數(shù)，則，又等差數(shù)列的平均數(shù)為，結(jié)合中位數(shù)定義及等差數(shù)列的性質(zhì)，易知中位數(shù)也為，對(duì)；C：由于一組數(shù)據(jù)的方差，且，則，對(duì)；D：若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，錯(cuò).故選BC.10．【答案】ACD【詳解】由題得，，A：與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)為，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，，所以與的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；C：，當(dāng)時(shí)，，令，則，在上恒小于0，所以在上恒大于0，即，即，故C正確；D：令，即，得（無(wú)解）或，解得，又，所以，解得（），所以，即函數(shù)圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選ACD．11．【答案】AC【詳解】A項(xiàng)，如圖，取線段的中點(diǎn)Q，連接AQ、DE.

，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AQ（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；由分別是線段的中點(diǎn)，則與全等，則，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；

B項(xiàng)，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AC（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

由，則又，所以，，因?yàn)椋瑒t，，，因?yàn)榕c所成角銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，如圖，過(guò)作，交于，則為中點(diǎn).延長(zhǎng)至，使，連接.取的中點(diǎn)，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接.

由，且，得四邊形為平行四邊形，則，由，則，則四點(diǎn)共面.由，所以，平面，平面，則平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段MN（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；又平面，故平面，故C正確；D項(xiàng)，如圖，連接.

若，由，可得，，，與C項(xiàng)同理可得，點(diǎn)P在線段NG上運(yùn)動(dòng).連接，同選項(xiàng)B建系，則有，則，，所以，則，故當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】3【詳解】因?yàn)橛么缶G書(shū)APP的用戶存在性別差異，所以，即，所以的最小值為3.13．【答案】【詳解】由，可得，設(shè)，則，，，由，則，即，解得，所以，，，即，解得，所以橢圓的離心率.

14．【答案】151【詳解】法一：要求各位數(shù)字的極差不超過(guò)2的“穩(wěn)定數(shù)”的數(shù)量，可以按照最小值進(jìn)行分類討論，并計(jì)算每個(gè)對(duì)應(yīng)的三位數(shù)的數(shù)量.①當(dāng)時(shí)：允許的數(shù)字范圍是，百位數(shù)不能為0，因此百位只能是1或2，總數(shù)為種，減去不含0的情況（即所有數(shù)字都是1或2）的8種，得到10個(gè)符合條件的數(shù)；②當(dāng)?shù)?時(shí)：允許的數(shù)字范圍是，百位數(shù)可以是中的任何一個(gè)，總數(shù)為種，減去不含的情況（即所有數(shù)字都是或）的8種，得到每個(gè)對(duì)應(yīng)的19個(gè)數(shù)，故共有133個(gè)符合條件的數(shù)；③當(dāng)時(shí)：允許的數(shù)字范圍是8，9，百位數(shù)可以是8或9，總數(shù)為種，減去不含8的情況（即所有數(shù)字都是9）的1種，得到7個(gè)符合條件的數(shù)；④當(dāng)時(shí)：所有數(shù)字都是9，只有1個(gè)數(shù)999.將各個(gè)的情況累加起來(lái)，總數(shù)為：.法二：位數(shù)的極差范圍為0到9，根據(jù)定義，“穩(wěn)定數(shù)”需滿足極差，即.①極差，所有數(shù)字相同，即形如，共9個(gè)（即）.②極差，分兩種情況：最小值含0：數(shù)字范圍為，且百位，此時(shí)十位和個(gè)位可為0或1，但需至少含一個(gè)0，共3個(gè).最小值：數(shù)字范圍為，每位可選或，且至少含和各一次，每位選擇數(shù)有2種（或），扣除全或全的情況，每個(gè)對(duì)應(yīng)6個(gè)數(shù)，共8個(gè)，共個(gè)，小計(jì)：個(gè).③極差，分兩種情況：最小值含0：數(shù)字范圍為，且百位，需至少含0和2各一次，時(shí)，十位和個(gè)位需含0和2，共2個(gè)；時(shí)，十位和個(gè)位需含0，共5個(gè)（），小計(jì)：個(gè).最小值：數(shù)字范圍為，每位可選，且至少含和各一次，由容斥原理有個(gè)，共7個(gè)，共個(gè).小計(jì)：個(gè).三位“穩(wěn)定數(shù)”總數(shù)為個(gè).15．【答案】(1)或；(2)【詳解】（1）圓心到直線的距離，圓的半徑，所以，又為外接圓上一點(diǎn)，所以，解之得，因?yàn)椋曰?；?）由余弦定理得：，即，即，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樽畲筮叄?，與矛盾，所以不成立，舍去，綜上所述，的面積為.16．【答案】(1)(2)和(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意知.若，則，所以.令，得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值等于.（2）因?yàn)?，所以，由，即，解得或，所以在和單調(diào)遞增，由，即，解得，所以在單調(diào)遞減，故的單調(diào)增區(qū)間為和.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知，的極大值等于；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的極大值等于，令，所以，在上在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故，綜上所述，.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦?，，所以，設(shè)三棱錐的高為，又三棱錐的體積為，所以，所以，又側(cè)面是等邊三角形，且，取的中點(diǎn)，連接，可得，從而為三棱錐的高，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，故由（1）可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系，

則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯(lián)立消去，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設(shè)，因?yàn)?因?yàn)椋?所以，