備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)(新高考專用)搶分秘籍?dāng)?shù)列求和(五大題型)(學(xué)生版+解析)

/數(shù)列求和目錄【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】利用公式法求和【題型二】奇偶并項(xiàng)（分組）求和【題型三】列項(xiàng)相消求和【題型四】錯(cuò)位相減法求和【題型五】數(shù)列新定義【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：求和時(shí)項(xiàng)數(shù)，化簡易錯(cuò)：以選擇題和填空題為主，偶爾出現(xiàn)在解答題中，難度中等偏上．通項(xiàng)主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，常結(jié)合遞推關(guān)系求解通項(xiàng)。求和重點(diǎn)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，以及錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等求和方法．：熟練掌握數(shù)列求和的幾種常規(guī)方法，等差等比數(shù)列混合的時(shí)候弄清楚等差與等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；數(shù)列與新定義結(jié)合的時(shí)候深刻理解新定義的定義是什么以及考察的知識(shí)點(diǎn)【題型一】利用公式法求和【例1】已知數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)若等差數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．【例2】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列都是遞增數(shù)列，且，，.(1)求，的通項(xiàng)公式：(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）常用公式：=1\*GB3①平方和公式：；=2\*GB3②立方和公式：．（4）如果一個(gè)數(shù)列通過適當(dāng)分組可寫成的形式，而數(shù)列，可利用公式求和或可轉(zhuǎn)化能夠求和的數(shù)列，進(jìn)而分別求和，再將其合并從而得出原數(shù)列的和．【變式1】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則的最大值為（

）A．16 B．18 C．23 D．25【變式2】已知等比數(shù)列的公比，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【變式3】已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差．(1)若，證明：是等比數(shù)列；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最小值．(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【題型二】奇偶并項(xiàng)（分組）求和【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（

）A．360 B．480 C．960 D．1280【例2】已知數(shù)列滿足，記．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列．(2)求的通項(xiàng)公式．(3)求的前20項(xiàng)和．1、常見類型（1）通項(xiàng)含有或或或；（2）型；（3）型；（4）．2、注意事項(xiàng)：①奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”；②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇.若通項(xiàng)公式確定，則求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng);若通項(xiàng)公式不確定，則按照求偶的方式求奇即可；③并項(xiàng)后要注意新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．【變式1】已知數(shù)列滿足，且，該數(shù)列前20項(xiàng)和．【變式2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【變式3】已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，的前項(xiàng)和為，且、、成等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型三】列項(xiàng)相消求和【例1】已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.【例2】已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為且公比大于的等比數(shù)列，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）【變式1】記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型四】錯(cuò)位相減法求和【例1】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．【變式1】已知數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【變式2】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【題型五】數(shù)列新定義【例1】已知函數(shù)．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)．以后各項(xiàng)按如下方式取定：記曲線在處的切線為，若，則記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【例2】若數(shù)列滿足，則稱為“對(duì)奇數(shù)列”．已知為“對(duì)奇數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．【變式1】若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，都有，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”，則下列說法正確的是（

）A．若，則數(shù)列具有“性質(zhì)”B．若，則數(shù)列具有“性質(zhì)”C．具有“性質(zhì)”的數(shù)列的前項(xiàng)和為D．具有“性質(zhì)”的數(shù)列的前項(xiàng)和為【變式2】對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)滿足，則稱為“上界數(shù)列”，為的“上界”，并把最小的值叫做“上界臨界值”，記為．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)判斷是否為“上界數(shù)列”，并說明理由；(2)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的“上界臨界值”；(3)若，數(shù)列的“上界臨界值”為，證明：．易錯(cuò)點(diǎn)：等差等比項(xiàng)數(shù)混淆解題技巧：熟練掌握等差等比項(xiàng)數(shù)統(tǒng)計(jì)方法例1．在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.變式1．已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，則，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．變式2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前和為，，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;(2)若對(duì)數(shù)列，，在與之間插入個(gè)2（），組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和.

數(shù)列求和目錄【解密高考】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】利用公式法求和【題型二】奇偶并項(xiàng)（分組）求和【題型三】列項(xiàng)相消求和【題型四】錯(cuò)位相減法求和【題型五】數(shù)列新定義【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：求和時(shí)項(xiàng)數(shù)，化簡易錯(cuò)：以選擇題和填空題為主，偶爾出現(xiàn)在解答題中，難度中等偏上．通項(xiàng)主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，常結(jié)合遞推關(guān)系求解通項(xiàng)。求和重點(diǎn)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，以及錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等求和方法．：熟練掌握數(shù)列求和的幾種常規(guī)方法，等差等比數(shù)列混合的時(shí)候弄清楚等差與等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；數(shù)列與新定義結(jié)合的時(shí)候深刻理解新定義的定義是什么以及考察的知識(shí)點(diǎn)【題型一】利用公式法求和【例1】已知數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)若等差數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先證明數(shù)列是等比數(shù)列，再寫出通項(xiàng)即可計(jì)算求解；（2）先求出的通項(xiàng)公式，再應(yīng)用等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】（1）數(shù)列中，因?yàn)?，故，故，所以?shù)列是等比數(shù)列，公比是2，又因?yàn)?，所以．所以；?）等差數(shù)列滿足，設(shè)等差數(shù)列公差為，所以，所以,所以的前n項(xiàng)和．【例2】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列都是遞增數(shù)列，且，，.(1)求，的通項(xiàng)公式：(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題中條件求出公差公比，即可求，通項(xiàng)公式（2）分別利用等差等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列和數(shù)列的公差公比分別為d，q，，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，.，，，，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）為等比數(shù)列，數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）常用公式：=1\*GB3①平方和公式：；=2\*GB3②立方和公式：．（4）如果一個(gè)數(shù)列通過適當(dāng)分組可寫成的形式，而數(shù)列，可利用公式求和或可轉(zhuǎn)化能夠求和的數(shù)列，進(jìn)而分別求和，再將其合并從而得出原數(shù)列的和．【變式1】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則的最大值為（

）A．16 B．18 C．23 D．25【答案】D【分析】設(shè)出公差，根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而確定當(dāng)時(shí)，取得最大值，求出答案.【詳解】設(shè)公差為，則，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：D【變式2】已知等比數(shù)列的公比，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）列出關(guān)于公比的方程，代入計(jì)算，即可得到公比，從而得到通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡，再由等差數(shù)列的求和公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，且，即，即，化簡可得，解得或，又，所以，則.（2）由（1）可知，，則，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則.【變式3】已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差．(1)若，證明：是等比數(shù)列；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最小值．(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【答案】(1)證明見詳解(2)13(3)【分析】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，結(jié)合等比數(shù)列定義分析證明；（2）由題意可得，利用裂項(xiàng)相消法求和；（3）由題意可得以及數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)的符號(hào)去絕對(duì)值求和.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以.對(duì)于，且，所以是等比數(shù)列.（2）由（1）可知：，可得，令，解得，所以滿足的的最小值為13.（3）由（1）可知：，則，可知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；綜上所述：.【題型二】奇偶并項(xiàng)（分組）求和【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（

）A．360 B．480 C．960 D．1280【答案】D【分析】根據(jù)給定的遞推公式可得，再求出數(shù)列的前40項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)的和及偶數(shù)項(xiàng)的和即可.【詳解】當(dāng)n為奇數(shù)，，，當(dāng)n為偶數(shù)，，，因此，的奇數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以.故選：D【例2】已知數(shù)列滿足，記．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列．(2)求的通項(xiàng)公式．(3)求的前20項(xiàng)和．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證明即可；（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（3）利用分組求和法求解即可.【詳解】（1），故，故，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2）且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故（3）故所以的前20項(xiàng)和：.1、常見類型（1）通項(xiàng)含有或或或；（2）型；（3）型；（4）．2、注意事項(xiàng)：①奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”；②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇.若通項(xiàng)公式確定，則求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng);若通項(xiàng)公式不確定，則按照求偶的方式求奇即可；③并項(xiàng)后要注意新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．【變式1】已知數(shù)列滿足，且，該數(shù)列前20項(xiàng)和．【答案】1078【分析】由遞推公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此計(jì)算出數(shù)列的.【詳解】∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，∴，∴.故答案為：1078.【變式2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系求出，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，可得答案；（2）由分組求和，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋詴r(shí).當(dāng)時(shí)，，所以，，滿足，所以，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.【變式3】已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，的前項(xiàng)和為，且、、成等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，結(jié)合數(shù)列為遞減數(shù)列可求得、的值，即可得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；推導(dǎo)出，結(jié)合可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，化簡的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法結(jié)合分組求和法可求得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，則，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，解得，所以，，因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，則，所以，，故.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，則，所以，，兩個(gè)等式作差可得，化簡得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，則，故.【題型三】列項(xiàng)相消求和【例1】已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）通過等式左右兩側(cè)取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證明結(jié)論.（2）根據(jù)（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此可得結(jié)果.（3）利用裂項(xiàng)相消法可求得，分析性質(zhì)可證明結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，即，∴是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，，∴.（3）由（2）得，，∴，∵，∴，且隨著的增大而減小，∴，當(dāng)時(shí)，，∴.【例2】已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為且公比大于的等比數(shù)列，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，根據(jù)題意求出、的值，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和最值可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，因?yàn)?，，可得，解得，故?shù)列的通項(xiàng)公式為，因?yàn)?，，即，解得故?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題得：，所以，，因?yàn)?，故?shù)列單調(diào)遞增，所以，，且，因此，對(duì)任意的，.1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）【變式1】記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，得到，即可求解；（2）由（1）可得，從而有，再利用裂項(xiàng)相消法，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，①則，②②①得，所以.因?yàn)?，又，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，所以，滿足，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由（1）可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，則，所以.【題型四】錯(cuò)位相減法求和【例1】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由與的關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由，得，兩式相減，得：，，即，，，.（2）

①②①②，得：1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．【變式1】已知數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）通過等比數(shù)列的概念證明等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用分組求和法與錯(cuò)位相減法求和．【詳解】（1）證明：因?yàn)椋裕裕驗(yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）解：因?yàn)?，所以．其中．令，，兩式相減，得．所以，所以．【變式2】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】【小題1】；【小題2】①；②．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)進(jìn)行求解；（2）①先計(jì)算的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求解；

②代入，得到對(duì)一切恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再求的最小值，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）依題意得，解得，，即．（2）①，，，，所以．．②由（1）易求得，所以不等式對(duì)一切恒成立，即轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立，令，則，又，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以，且，則．所以實(shí)數(shù)的最大值為．【題型五】數(shù)列新定義【例1】已知函數(shù)．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)．以后各項(xiàng)按如下方式取定：記曲線在處的切線為，若，則記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來求出切線，再求出與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可得到數(shù)列的遞推關(guān)系，然后再利用證明的等比數(shù)列后一項(xiàng)，通過遞推代入得到與前一項(xiàng)的關(guān)系，再加以說明非0，即可得證等比數(shù)列；（2）利用第一問即可求得，從而利用錯(cuò)位相減法來求數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）由，得，曲線在處的切線方程為，根據(jù)題意令可得，，由，因?yàn)?，所以，且由得，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）由上式得，，則，①兩邊乘以2可得：，②.由①－②得，，所以．【例2】若數(shù)列滿足，則稱為“對(duì)奇數(shù)列”．已知為“對(duì)奇數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)奇數(shù)列的定義可得，化簡可證明是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式.【詳解】為“對(duì)奇數(shù)列”，則，即，又，故是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，則.故選：C【變式1】若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，都有，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”，則下列說法正確的是（

）A．若，則數(shù)列具有“性質(zhì)”B．若，則數(shù)列具有“性質(zhì)”C．具有“性質(zhì)”的數(shù)列的前項(xiàng)和為D．具有“性質(zhì)”的數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】C【分析】對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法求出，求出和立方和即可判斷C選項(xiàng)，舉出反例即可判斷A、B和D選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋獾?，?dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以，猜想，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，現(xiàn)證明，當(dāng)時(shí)，左邊為，右邊為，成立，當(dāng)時(shí)，左邊為，右邊為，也成立，進(jìn)一步假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，則當(dāng)時(shí)，左邊變?yōu)?，展開整理可得，與右邊一致，故等式對(duì)任意成立，所以時(shí)滿足條件，當(dāng)時(shí)，由遞推關(guān)系代入和得，即，因?yàn)?，所以，所以，前?xiàng)和為，且立方和為，滿足，所以C正確；取，計(jì)算時(shí)，，立方和為，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，立方和為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)和為，與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式2】對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)滿足，則稱為“上界數(shù)列”，為的“上界”，并把最小的值叫做“上界臨界值”，記為．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)判斷是否為“上界數(shù)列”，并說明理由；(2)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的“上界臨界值”；(3)若，數(shù)列的“上界臨界值”為，證明：．【答案】(1)不是“上界數(shù)列”，理由見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）利用的關(guān)系先求通項(xiàng)，再根據(jù)新定義確定即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和得，再利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合新定義計(jì)算即可；（3）利用放縮法將，結(jié)合等比數(shù)列求和公式得，根據(jù)新定義證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，作差得，因?yàn)?，所以，又?dāng)時(shí)，，所以，即是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，由于數(shù)列是無限遞增的，顯然不存在常數(shù)滿足，所以不是“上界數(shù)列”；（2）由上可知，所以，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，且，所以，所以數(shù)列的“上界臨界值”；（3）易知，所以，顯然單調(diào)遞增，且，n越大，該數(shù)值越接近0，故，由于上述不等式取不得等號(hào)，所以數(shù)列的“上界臨界值”.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：準(zhǔn)確理解新定義的概念，利用等比數(shù)列的求和公式、錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法，證明數(shù)列不等式常用到放縮法，注意精度即可.易錯(cuò)點(diǎn)：等差等比項(xiàng)數(shù)混淆解題技巧：熟練掌握等差等比項(xiàng)數(shù)統(tǒng)計(jì)方法例1．在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等