四邊形中的證明與計(jì)算問(wèn)題（4類(lèi)題型）-2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

專(zhuān)題09四邊形中的證明與計(jì)算問(wèn)題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.............................................................................................1

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算....................................................1

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算..........................................................5

題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.........................................................10

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.......................................................15

中考練場(chǎng).................................................................................................21

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述________________________________________

以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊的核心內(nèi)容之一，它依托平行四邊形獨(dú)特的

性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解與運(yùn)用，常與三角形等知識(shí)融合，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)平行四邊形性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分）的熟練運(yùn)用，以及基于這

些性質(zhì)進(jìn)行幾何證明和邊角計(jì)算，同時(shí)考查能否結(jié)合其他幾何圖形知識(shí)解決綜合問(wèn)題。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個(gè)四邊形是平行四邊形；利用平行四邊形性質(zhì)證明線段相等、角相等或直線平行；已

知平行四邊形部分邊角條件，計(jì)算其他邊角的大??；在平行四邊形與三角形等組合圖形中，進(jìn)行邊角關(guān)系的推理與計(jì)

算。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在平行四邊形的判定定理（如兩組對(duì)邊分別平行、兩組對(duì)邊分別相等、一組對(duì)邊平行且相等、

兩組對(duì)角分別相等、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）的應(yīng)用，平行四邊形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及

平行四邊形與三角形全等、相似等知識(shí)的綜合考查。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠依據(jù)已知條件合理選擇平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)

算；擁有良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中識(shí)別出平行四邊形及相關(guān)幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的幾何運(yùn)算能力，準(zhǔn)確求

解邊角數(shù)值。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定平行四邊形時(shí)條件使用不充分或錯(cuò)誤；在運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)時(shí)，對(duì)邊、角、對(duì)角線關(guān)系

混淆；在綜合圖形中，不能有效整合平行四邊形與其他圖形的性質(zhì)，導(dǎo)致證明和計(jì)算出錯(cuò)；計(jì)算過(guò)程中粗心大意，出

現(xiàn)數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

L平行四邊形的性質(zhì):―――

①邊的性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行且相等。

②角的性質(zhì)：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。

③對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線相互平分。即對(duì)角線交點(diǎn)是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)。

④對(duì)稱(chēng)性：平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，繞對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°與原圖形重合。

⑤面積計(jì)算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個(gè)平行四邊形的面積相等。

2.平行四邊形的判定：

①一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：：AB〃DC,AB=DC,.?.四邊行ABCD是平行四邊形

②兩組對(duì)邊分別相等（兩組對(duì)邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：：AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,二四邊行ABCD是平行四邊形.

③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：VZABC=ZADC,ZDAB=ZDCB,二四邊行ABCD是平行四邊形

④對(duì)角線相互平行的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：0OA=OC,OB=OD,回四邊行ABCD是平行四邊形

【典例分析】

例1.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)O,。4=OC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件

使四邊形45co是平行四邊形.

例2.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，ABCD的對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AC=4.若ABCD

的周長(zhǎng)為12,則COE的周長(zhǎng)為（）

AD

a

A.4B.5C.6D.8

例3.（2024?浙江?中考真題）如圖，在中，AC,8。相交于點(diǎn)O,AC=2,BD=273.過(guò)點(diǎn)A作AEL8C的垂

線交BC于點(diǎn)E,記班長(zhǎng)為x,8c長(zhǎng)為y.當(dāng)尤，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

例4.（2024?黑龍江大慶.中考真題）如圖，平行四邊形ABC。中，AE.CF分別是一54。，/BCD的平分線，且￡、

廠分別在邊BC,AD上.

⑴求證：四邊形MCF是平行四邊形；

⑵若NADC=60。，DF=2AF=2,求「.GO尸的面積.

例5.（2024?山東青島?中考真題）如圖，在四邊形438中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，ZABD=NCDB,BEYAC

于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,且龐;=￡>F.

（1）求證：四邊形ABC。是平行四邊形;

⑵若AB=BO,當(dāng)-43E等于多少度時(shí)，四邊形ABCD是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫(xiě)出此時(shí)大的值.

【變式演練】

1.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在，ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，AB=AE,AD=DE,若N3=70。，則NCDE

的度數(shù)為.

2.（2025?河南焦作?一模）如圖，在ABCD中，NA=80。，點(diǎn)E是C。邊上一點(diǎn)，且3。平分若NCBE=20。,

BE=a,EC=b,貝UABCD的周長(zhǎng)為（）

A.5a-bB.4a+2bC.3a+3bD.6a-3b

3.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AC與3D相交于點(diǎn)。，且AO=C。，點(diǎn)E在8D上，滿(mǎn)足AE//CD.

⑴判斷四邊形AECD的形狀，并證明；

（2）若AB=3C,CD=5,AC=8,求四邊形AEC。的面積.

4.（2024?廣東揭陽(yáng)?一模）如圖，在四邊形ABCD中，/A=/C=90。，AD=CD,點(diǎn)、E,尸分別是AB,BC上的點(diǎn),

連接DE,DF,EF,且ZADF=/CDE.

c

（1）求證：AED"CFD；

（2）若DE=2AE=4,DEBC,求BC的長(zhǎng).

5.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）已知在VABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC上，以AZXAE為腰作等腰三角形ADE,且

ZADE=ZABC.連接CE,過(guò)E作交C4延長(zhǎng)線于連接3M.

（2）求四邊形MBDE的形狀，并加以證明.

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述________________________________________

以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對(duì)特殊平行四邊形深入研究的重要內(nèi)容，依托矩

形特有的性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的掌握與運(yùn)用能力，常與三角形等知識(shí)融合,在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)矩形性質(zhì)（四個(gè)角是直角、對(duì)角線相等且互相平分）的透徹理解與靈活運(yùn)用，基于這些性質(zhì)

開(kāi)展幾何證明，以及結(jié)合勾股定理、相似三角形等知識(shí)進(jìn)行邊角的精確計(jì)算，并關(guān)注與其他幾何圖形性質(zhì)的關(guān)聯(lián)運(yùn)用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個(gè)四邊形是矩形；利用矩形性質(zhì)證明線段相等、角相等、直線垂直；已知矩形的邊長(zhǎng)、

對(duì)角線等部分條件，計(jì)算內(nèi)角大小、對(duì)角線夾角、面積等邊角及圖形相關(guān)數(shù)值；在矩形與三角形、其他四邊形構(gòu)成的

復(fù)雜圖形中，推導(dǎo)并計(jì)算復(fù)雜的邊角關(guān)系。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在矩形判定定理（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形、三

個(gè)角是直角的四邊形是矩形）的準(zhǔn)確應(yīng)用，矩形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及矩形與直角三角形（由矩形內(nèi)角為

直角產(chǎn)生）、等腰三角形（對(duì)角線相等產(chǎn)生）相關(guān)知識(shí)的綜合考查，例如運(yùn)用勾股定理求邊長(zhǎng)、借助相似三角形求線段

比例。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選用矩形的判定和性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)密證明；擁有

良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中識(shí)別出矩形及其蘊(yùn)含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的運(yùn)算能力，尤其是勾股定理、

相似三角形等知識(shí)在矩形邊角計(jì)算中的應(yīng)用。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定矩形時(shí)條件使用錯(cuò)誤或不完整，比如僅依據(jù)對(duì)角線相等就判定四邊形是矩形；在運(yùn)用矩形

性質(zhì)時(shí)，混淆對(duì)角線與邊、角之間的關(guān)系，致使證明出錯(cuò)；在計(jì)算邊角時(shí)，因?qū)匦沃刑厥馊切危ㄖ苯侨切巍⒌?/p>

腰三角形）的性質(zhì)理解不深，運(yùn)用勾股定理、相似三角形知識(shí)出現(xiàn)偏差；在綜合圖形中，不能有效整合矩形與其他圖

形性質(zhì)，導(dǎo)致思路中斷。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.矩形的性質(zhì):

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

②矩形的四個(gè)角都是直角。

③矩形的對(duì)角線相等。

④矩形既是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心，過(guò)一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線是矩形的

對(duì)稱(chēng)。

⑤由矩形的對(duì)角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

2.矩形的判定：

（1）直接判定：

有三個(gè)角（四個(gè)角）都是直角的四邊形是矩形。

（2）利用平行四邊形判定：

①定義：有一個(gè)角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。

②對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

【典例分析】

例1.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與30交于點(diǎn)0,DE人AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DE與交

于點(diǎn)尸.若AB=3,BC=4,則點(diǎn)尸到的距離為.

例2.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，瓦/是邊2C上兩點(diǎn)，S.BE=EF=FC,連接

與AF相交于點(diǎn)G,連接2G.若AB=4,BC=6,貝Usin/GB/的值為（）

101033

例3.（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，在VABC中，AB=AC,。是8C的中點(diǎn)，CE//AD,AEYAD,EF1AC.

⑴求證：四邊形ADCE是矩形；

（2）若8C=4,CE=3,求取的長(zhǎng).

例4.（2024?湖北武漢?中考真題）問(wèn)題背景：如圖（1）,在矩形A2CD中，點(diǎn)E,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，連接8D,

EF,求證：△BCD^AFBE.

問(wèn)題探究：如圖（2）,在四邊形ABCD中，AD//BC,/3CD=90。，點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊3c上，AD=2CF,

EF與BD交于點(diǎn)G,求證：BG=FG.

FG

問(wèn)題拓展：如圖⑶，在“問(wèn)題探究'’的條件下，連接AG,XD,AG=FG'直接寫(xiě)出談的值.

例5.（2024.湖北武漢.中考真題）問(wèn)題背景：如圖（1）,在矩形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是AB,8C的中點(diǎn)，連接2D,

EF,求證：△BC/AFBE.

問(wèn)題探究：如圖（2）,在四邊形ABC。中，AD//BC,/BCD=90。，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)下在邊BC上，AD=2CF,

EF與BD交于點(diǎn)G,求證：BG=FG.

問(wèn)題拓展：如圖⑶，在“問(wèn)題探究”的條件下‘連接AG,AD3AG^FG,直接寫(xiě)出專(zhuān)的值.

【變式演練】

1.（2025?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=6,對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。，AELBD,垂足為點(diǎn)E,

且AE平分/BAO,則A8的長(zhǎng)為（）

C.2A/3D.3G

2.（2024?湖南長(zhǎng)沙.模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABC。的對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)。，SLOC=OD.

BC

⑴證明四邊形ABC。為矩形；

⑵若/Q4D=30。，BC=6,求△03C的面積；

⑶點(diǎn)E,歹分別是線段。2,上的點(diǎn)，若AE=M,AB=5,AF=1,BE=3,求跳'的長(zhǎng).

3.（2024?湖北.模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題情境

在矩形ABC。中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)。，AD=.以。8為邊作正方形OBFE,OE與DC父子點(diǎn)、P,如圖1

所示.

圖1圖2圖3

（1）求ND5尸的大??；

實(shí)踐探究

（2）將正方形芯繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形03'尸E,OE與矩形的邊BC交于點(diǎn)。,

①如圖2,當(dāng)。時(shí)，直接寫(xiě)出NOQP的大小；

②如圖3,當(dāng)O夕與BC不垂直時(shí)，連接尸。，試探究N。。尸的大??；

結(jié)論運(yùn)用

（3）在（2）的條件下，若BQ=3,求引尸的長(zhǎng).

4.（2024?貴州遵義三模）已知四邊形ABC。是矩形，E是A8邊上的一點(diǎn)，連接DE,CE,點(diǎn)P是EC上一動(dòng)點(diǎn)（不與

E、C重合），連接尸3,過(guò)點(diǎn)尸作尸交DC于點(diǎn)、F.

【問(wèn)題感知】

（1）如圖（1）,當(dāng)AD=3,EC=OC=5時(shí)，貝IJAE=

【探究發(fā)現(xiàn)】

(2)在(1)的條件下，如圖(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到EC的中點(diǎn)時(shí)，求PF的長(zhǎng).

【拓展提升】

(3)如圖(3)當(dāng)ZBCE=45。時(shí)，探究線段CF,BC,CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

5.(2024?四川雅安?模擬預(yù)測(cè))將一長(zhǎng)方形紙片Q4BC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在無(wú)軸上，04=9,OC=15.

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,在。4上取一點(diǎn)E,將△EOC沿EC折疊，使點(diǎn)。落在A8邊上的點(diǎn)。，求線段AE.

(2)如圖2,在04,OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)F,將9沿吹折疊，使點(diǎn)。落在邊上的點(diǎn)川處，過(guò)點(diǎn)D作DG

垂直于C。于點(diǎn)G,交MF于點(diǎn)T.

①求證：TG^AM；

②設(shè)T(x,y),求y與x滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，并將y用含x的代數(shù)式表示.

(3)在(2)的條件下，當(dāng)尤=6時(shí)，點(diǎn)P在直線上，問(wèn)：在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)。使以訊Q,尸為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述________________________________________

以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中對(duì)特殊四邊形深入探究的關(guān)鍵內(nèi)容，借助菱形區(qū)

別于一般平行四邊形的特殊性質(zhì)，全面考查學(xué)生的幾何思維與解題能力，常與其他幾何圖形知識(shí)綜合呈現(xiàn)，在中考數(shù)

學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)菱形特殊性質(zhì)（四條邊相等、對(duì)角線互相垂直且平分每組對(duì)角）的深度理解與靈活運(yùn)用，以

此為基礎(chǔ)進(jìn)行各類(lèi)幾何證明，以及結(jié)合三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行邊角的精準(zhǔn)計(jì)算，并注重與其他幾何圖形性質(zhì)的關(guān)聯(lián)應(yīng)用。

2.高頻題型：高頻題型包括證明一個(gè)四邊形是菱形；利用菱形性質(zhì)證明線段垂直、角平分線關(guān)系、線段相等；己知菱

形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)度等部分條件，計(jì)算內(nèi)角大小、對(duì)角線夾角、邊長(zhǎng)與高的關(guān)系等邊角數(shù)值；在菱形與三角形、其

他四邊形組成的復(fù)合圖形中，推理并計(jì)算復(fù)雜的邊角關(guān)系。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在菱形判定定理（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形、四條邊相等的四邊形是菱形、對(duì)角線互

相垂直的平行四邊形是菱形）的準(zhǔn)確應(yīng)用，菱形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及菱形與直角三角形（因?qū)蔷€垂直

產(chǎn)生）、等腰三角形（四條邊相等）相關(guān)知識(shí)的綜合考查，如利用勾股定理計(jì)算邊長(zhǎng)、三角函數(shù)求角度等。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)能力，能依據(jù)已知條件合理選擇菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明；擁有敏

銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中提煉出菱形及其蘊(yùn)含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的運(yùn)算技能，特別是涉及勾股定理、

三角函數(shù)等知識(shí)在菱形邊角計(jì)算中的應(yīng)用。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定菱形時(shí)錯(cuò)用或漏用條件，如僅依據(jù)對(duì)角線垂直就判定四邊形是菱形；在運(yùn)用菱形性質(zhì)時(shí),

混淆對(duì)角線與邊、角之間的特殊關(guān)系，導(dǎo)致證明錯(cuò)誤；在計(jì)算邊角時(shí)，因?qū)α庑沃刑厥馊切危ㄖ苯侨切?、等腰?/p>

角形）的性質(zhì)把握不準(zhǔn)，運(yùn)用勾股定理、三角函數(shù)出錯(cuò)；在綜合圖形中，無(wú)法有效整合菱形與其他圖形性質(zhì)，思路混

亂。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.菱形的性質(zhì):

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

②菱形的四條邊都相等。

③菱形的對(duì)角線相互垂直，且平分每一組對(duì)角。

④菱形既是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)中心為對(duì)角線交點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為對(duì)角線所在直線。

⑤面積計(jì)算：除了用計(jì)算平行四邊形的面積計(jì)算方法面積，還可以用對(duì)角線乘積的一半來(lái)計(jì)算面積。

2.菱形的判定：

（1）直接判定：

四條邊都相等的四邊形是菱形。

符號(hào)語(yǔ)言：：AB=BC=CD=DA,.,.四邊形ABCD是菱形

（2）利用平行四邊形判定:

①定義：一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形是菱形。

②對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形。

【典例分析】

例1.（2024.山東濟(jì)南.中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AEA.CD,垂足為E,C產(chǎn)，AO,垂足為下.

求證：AF=CE.

例2.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在四邊形ABCZ）中，AD//BC,且AD=￡>C=gBC,E是BC的中點(diǎn).下面

是甲、乙兩名同學(xué)得到的結(jié)論：

甲：若連接AE,則四邊形ADCE是菱形;

乙：若連接AC,則ASC是直角三角形.

請(qǐng)選擇一名同學(xué)的結(jié)論給予證明.

例3.（2024?云南?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且A3〃CD,AD//BC,

四邊形￡FGH是矩形.

H

D

BFC

⑴求證：四邊形A5C。是菱形；

（2）若矩形EFGH的周長(zhǎng)為22,四邊形ABC。的面積為10,求AB的長(zhǎng).

例4.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCL（中，點(diǎn)P在邊AD上，AB^AF,連接所，點(diǎn)。為

郎的中點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交邊8C于點(diǎn)E,連接所

⑴求證：四邊形4近尸是菱形：

⑵若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為22,CE=1,ZBAD=120°,求AE的長(zhǎng).

例5.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖1,E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE交于點(diǎn)

連接AG、CH交于點(diǎn)N,將四邊形A0QV稱(chēng)為平行四邊形ABCD的“中頂點(diǎn)四邊形”.

AN

MC

圖1圖2圖3

⑴求證：中頂點(diǎn)四邊形AMCV為平行四邊形；

⑵①如圖2,連接AC、瓦＞交于點(diǎn)。，可得M、N兩點(diǎn)都在上，當(dāng)平行四邊形ABC。滿(mǎn)足時(shí)，中頂點(diǎn)四邊

形⑷0CV是菱形；

②如圖3,已知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點(diǎn)四邊形，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊形.（保留作圖

痕跡，不寫(xiě)作法）

【變式演練】

1.（2025?廣東深圳?一模）如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，對(duì)角線AC的垂直平分線口分別交邊A。，BC于點(diǎn)E,

F，垂足為0.

⑴求證：四邊形AFCE為菱形；

（2）在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G,使CG=OC,連接OG.若b為BC的中點(diǎn)，且NG=15。，AB=8,求二FOG的面積.

2.（2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形45co的對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)O,CD〃OE,直線CE是線段OD的垂直

平分線，CE分別交于點(diǎn)EG,連接。E.

⑴判斷四邊形OCDE的形狀，并說(shuō)明理由；

⑵當(dāng)CD=6時(shí)，求EG的長(zhǎng).

3.（2025?河南鄭州?一模）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,E是的中點(diǎn)，點(diǎn)八G在上，EF±AB,

OGEF.

⑴求證：四邊形OE/G是矩形；

⑵若AD=10,EF=4,求OE和BG的長(zhǎng).

4.（2025?湖南長(zhǎng)沙?一模）如圖，在菱形ABCD中，鉆=6,48=60。，點(diǎn)瓦廠分別是AB,AD上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足他=￡）F,

連接CE,CF,EF,EF與AC交于點(diǎn)G.

.女-----

-z￡--7D

B

⑴求/ECP的度數(shù);

⑵填空：

_AFAE_AFFG_AGAG

①一+—=,②---------=,③一+——=；

CDAC--------------------CDEC--------------------AEAF--------------------

⑶記AAEG的面積為H，AFG的面積為S2，△AEC的面積為S3,AFC的面積為S4.

①若CF?=3AF-FD,求1t的值；

②試判斷［+今的值是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2025?山東青島?模擬預(yù)測(cè))已知：如圖，在菱形ABCD中，AD=10cm,BD=12cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿BD方

向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)￡(出發(fā)，沿D4方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,連接尸。，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(s)

(0<?<10).

(I)延長(zhǎng)0P交2C于點(diǎn)E,若四邊形AQE8是平行四邊形，求才的值;

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到CD的垂直平分線上？

⑶設(shè)四邊形A2P。的面積為S(cn?),求5與/的函數(shù)關(guān)系式.

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述________________________________________

以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊里對(duì)特殊四邊形深度探究的關(guān)鍵內(nèi)容，憑借正方

形集矩形與菱形特性于一身的獨(dú)特性質(zhì)，全面考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用與邏輯思維，常與三角形、其他四邊形

知識(shí)交織，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約4%-8%?

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)正方形性質(zhì)(四條邊相等、四個(gè)角是直角、對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一

組對(duì)角)的深度理解與靈活運(yùn)用，以此為基礎(chǔ)展開(kāi)幾何證明，并結(jié)合勾股定理、全等三角形、相似三角形等知識(shí)進(jìn)行

邊角的精準(zhǔn)計(jì)算，同時(shí)注重與其他幾何圖形性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個(gè)四邊形是正方形；利用正方形性質(zhì)證明線段相等、垂直、角平分線關(guān)系；已知正方

形邊長(zhǎng)、對(duì)角線等部分條件，計(jì)算內(nèi)角大小、對(duì)角線夾角、面積、周長(zhǎng)等邊角及圖形相關(guān)數(shù)值；在正方形與三角形、

其他四邊形組成的復(fù)雜圖形中，推導(dǎo)并計(jì)算復(fù)雜的邊角關(guān)系與圖形面積。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在正方形判定定理（一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形、對(duì)角線互相垂直

且相等的平行四邊形是正方形、有一組鄰邊相等的矩形是正方形、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）的準(zhǔn)確應(yīng)用，正

方形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及正方形與等腰直角三角形（由正方形性質(zhì)產(chǎn)生）、全等三角形、相似三角形相關(guān)

知識(shí)的綜合考查，如運(yùn)用勾股定理求對(duì)角線長(zhǎng)度、借助全等三角形證明線段關(guān)系。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)能力，能依據(jù)已知條件合理選擇正方形的判定和性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明；擁有

敏銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中提煉出正方形及其蘊(yùn)含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的運(yùn)算技能，尤其是勾股定理、

全等與相似三角形知識(shí)在正方形邊角計(jì)算與圖形關(guān)系推導(dǎo)中的應(yīng)用。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定正方形時(shí)條件使用不充分或錯(cuò)誤，如僅依據(jù)四條邊相等就判定四邊形是正方形；在運(yùn)用正

方形性質(zhì)時(shí)，混淆邊、角、對(duì)角線之間的特殊關(guān)系，導(dǎo)致證明錯(cuò)誤；在計(jì)算邊角時(shí)，因?qū)φ叫沃刑厥馊切危ǖ妊?/p>

直角三角形）的性質(zhì)把握不準(zhǔn)，運(yùn)用勾股定理、全等與相似三角形知識(shí)出錯(cuò)；在綜合圖形中，無(wú)法有效整合正方形與

其他圖形性質(zhì)，思路混亂。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.正方形的性質(zhì):

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。

所以正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。對(duì)角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對(duì)角，把正

方形分成了四個(gè)全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)角線所在直線是對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)每一組

對(duì)邊中點(diǎn)的直線也是對(duì)稱(chēng)軸。

2.正方形的判定：

（1）利用平行四邊形判定：

一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）

（2）利用菱形與矩形判定：

①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

②對(duì)角線相等的菱形是正方形。

③鄰邊相等的矩形是正方形。

④對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形。

【典例分析】

例1.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCZ）的對(duì)角線AC與5。相交于點(diǎn)0.E是BC邊

上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn),連接若DEF與.DEC關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)，則廠的周長(zhǎng)是（）

C.4-2aD.V2

例2.（2024.山東東營(yíng)?中考真題）如圖，在正方形ABCZ）中，AC與80交于點(diǎn)。,8為A3延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且明=班）,

連接分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,連接跖，則下列結(jié)論：@—=—；②tan/H=布-1；③BE平分NCBD；

BF2

④2AB2=DEDH.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例3.（2024?江蘇徐州?中考真題）已知：如圖，四邊形ABC。為正方形，點(diǎn)E在8。的延長(zhǎng)線上，連接叢EC.

(1)求證：EAB￡ECB；

⑵若NA￡C=45。，求證：DCDE.

例4.（2024?四川南充?中考真題）如圖，正方形ABC。邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，CE=2AE,點(diǎn)尸在48

邊上以lcm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。在BC邊上以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒

（0<r<3）.

⑴求證：AEPsCEQ.

⑵當(dāng)△EPQ是直角三角形時(shí)，求才的值.

（3）連接AQ,當(dāng)tanNA0E=（時(shí)，求△AEQ的面積.

例5.（2024?海南?中考真題）正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），N1=N2,AE=EF,AF

⑵如圖2,石以，詼于點(diǎn)尸，交A￡）于點(diǎn)

①求證：點(diǎn)P在/ABC的平分線上；

②當(dāng)啜=根時(shí)，猜想AP與的數(shù)量關(guān)系，并證明；

DH

③作HN_LAE于點(diǎn)N,連接MN、HE,當(dāng)MN〃/ffi1時(shí)，若AB=6,求BE的值.

【變式演練】

1.(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))己知正方形MC。中，E為CD垂直平分線上一點(diǎn)，E,F關(guān)于直線8。對(duì)稱(chēng)，BF

和EO相交于點(diǎn)G,求證：

(1)AE.LBF；

(2)AG//BD.

2.(2024?福建龍巖?模擬預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)E為正方形ABC。對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。E,過(guò)點(diǎn)E作交射線

BC于點(diǎn)凡以所為鄰邊作矩形DEEG,連接CG.

⑴求證：矩形。EPG是正方形；

(2)若NCDG=30。，求——的值.

EC

3.(2023?吉林松原?模擬預(yù)測(cè))已知正方形A2CZ)邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作射線OE,OF,分

(1汝口圖1,當(dāng)時(shí)，求證：四邊形AEOP是正方形；

(2)如圖2,將射線OE,OF繞著點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，判斷線段OE與。尸的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

②四邊形OEAF的面積為二

(3)如圖3,在四邊形PQWN中，PQ=PN,NQPN=NQMN=90。,連接尸Af.若尸M=9,請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形尸QWN的

面積.

4.(2024.四川南充.模擬預(yù)測(cè))如圖1,正方形ABCL(中，對(duì)角線AC與50相交于點(diǎn)。，在線段A0上任取一點(diǎn)尸(端

點(diǎn)除外)，連接尸口、PB.將線段DP繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在54的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。處.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段A。上的位置發(fā)生變化時(shí)，NDP。的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如圖2,作于點(diǎn)M,作PN人AD于點(diǎn)N,作PELAO交AB于點(diǎn)E,作EFLO8于點(diǎn)R請(qǐng)你寫(xiě)出AQ與0P

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,將(1)中正方形ABCD換成菱形ABC。，且NABC=60。，其他條件不變，試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

5.(2024?江蘇鹽城?三模)【教材呈現(xiàn)】

(1)如圖1,在正方形9CD中，￡'是BC上的一點(diǎn)，ABE經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到△ADF',

①旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)；旋轉(zhuǎn)角最少是度.

②愛(ài)動(dòng)腦筋的小明，在CD邊上取點(diǎn)G,連接AG、EG,使得NG4E=45。，他發(fā)現(xiàn)：GE=BE+DG,他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？

請(qǐng)你判斷并說(shuō)明理由.

【結(jié)論應(yīng)用】

(2)①圖1中，若正方形ABC。的邊長(zhǎng)為。，則CEG的周長(zhǎng)為(用含有。的式子表示).

②如圖2,在四邊形ABCZ)中，ADBC(BC>AD),IB90?,BC=AB=12,E是48的中點(diǎn)，且NDCE=45。，則

￡>E的長(zhǎng)=.

【類(lèi)比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABC。中，Z&W=60°,在線段AD上選一點(diǎn)尸(不與點(diǎn)4。重合)，沿3尸折疊，得到AB尸

在線段CD上取點(diǎn)。，沿B。折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)M重合，連接AC,分別交線段BP、3。于點(diǎn)G、H,若AG=6,8=4,

求的長(zhǎng).

03中考練場(chǎng)

一、填空題

1.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，在正方形ABCD中，BC=3,延長(zhǎng)2C至點(diǎn)E,使CE=2,。尸平分/WC交AE于

點(diǎn)、F,則線段OF的長(zhǎng)為

2.（2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，點(diǎn)尸在BC邊上，且班'=連接政交

3,連接CE,若CE=CF,則長(zhǎng)為

在菱形ABCD中，NB=60。，E,X分別為AB,BC的中點(diǎn)，G,尸分別為線段協(xié),

CE的中點(diǎn).若線段A8的長(zhǎng)為8囪，則星的長(zhǎng)為

4.（2025?山西朔州?一模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形AB8的對(duì)角線相交于點(diǎn)。,加為。4上的一點(diǎn)，。0=1,連接.將

繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段MN,點(diǎn)N在邊C。上，過(guò)點(diǎn)N作NPLAC,則DN的長(zhǎng)為

二、解答題

5.（2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC與2。相交于點(diǎn)0,NC4B=NACB,過(guò)點(diǎn)3作BEJ.AB

交AC于點(diǎn)E.

⑴求證：ABgBEO；

（2）若AB=10,AC=16,求OE的長(zhǎng).

6.（2025?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ABCD中，點(diǎn)尸在邊AD上，AB=AF,連接防，。為防的中點(diǎn)，A。的延長(zhǎng)

線交邊BC于點(diǎn)E,連接E尸.求證：四邊形跖是菱形.

7.（2025?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD,E,尸是對(duì)角線80上的點(diǎn)，且BE=DF,連

接AE,CF,AF,CE.求證：四邊形AFCE1是菱形.

8.（2025?云南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在「ABCD中，對(duì)角線AC,8￡＞相交于點(diǎn)0,ADVBD,E是8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作

EF//BD,交BC于點(diǎn)

⑴求證：四邊形吆是矩形；

⑵若AD=8,DC=12,求四邊形OEEB的面積.

9.（2025?貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在?ABCZ）中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,作/BAD和/BCD的平分線，分別交89

于點(diǎn)G,H,延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)C"交AD于點(diǎn)

（2）已知（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫(xiě)序號(hào)），判斷四邊形AECF的形狀，并證明.條件①：BD平分NCDF；

條件②：ZBAE=2ZEAC.

10.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）已知四邊形ABCD+，BC=CD.連接BD,過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E,連接DE.

（I）如圖1，若DCBE,求證：四邊形BCDE是菱形；

（2）如圖2,連接AC,設(shè)3DAC相交于點(diǎn)F,若DE垂直平分線段AC,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與NDEC相等的角（NDEC除

外）.

11.（2025?貴州?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).將直角/MEN的頂點(diǎn)E放在正方形ABC。的對(duì)角線

AC上（點(diǎn)E不與A、C重合），其中直角邊上河與BC交于點(diǎn)R直角邊EN與CD交于點(diǎn)G.

⑴發(fā)現(xiàn)：如圖，當(dāng)所與3c垂直時(shí)，填空：EFEG.（填“>”、"=”或“<”）

（2）探究：如圖，當(dāng)跖與3c不垂直時(shí)，請(qǐng)判斷EF與EG之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不

變，請(qǐng)給出證明；

（3）拓展：當(dāng)族與2C不垂直時(shí)，以EF、EG為鄰邊構(gòu)造矩形EFHG,連接CH,請(qǐng)直接寫(xiě)出/BC"的度數(shù).

12.（2025?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）如圖是一張矩形紙片ABC。，點(diǎn)”是對(duì)角線A