上海七年級(jí)數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí)：平行線（一）（12大題型）解析版

上海七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)：07平行線（1）（12大題型）

思維導(dǎo)圖：

1.平行公理

知識(shí)點(diǎn)

2.“三線八角"

r題型1：畫過直線外一點(diǎn)的平行線

（題型2:判斷過直線外一點(diǎn)的平行線的作圖步驟

:題型3:平行線、平行公理及其應(yīng)用

題型4:平行線、平行公理的有關(guān)概念綜合辨析

二題型5:平行公理等數(shù)學(xué)語言判斷（"II或）

「題型6:平行公理的拓展

題型

一題型7:三線八角構(gòu)建的有關(guān)概念（如判斷第三條直線等）

:題型8:同位角

（題型9:內(nèi)錯(cuò)角

1題型10：同旁內(nèi)角

,題型11：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的綜合判斷

'題型12:同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的有關(guān)規(guī)律題

知識(shí)清單：

知識(shí)點(diǎn)1：平行公理

L平行線

定義在同一平面上不相交的兩條直線叫作平行線.

平行用符號(hào)"II"表示.如果直線a和直線b是平行線，那么也稱它們互相平行，記作"a〃b",讀作"a平行于b"

2.畫平行線

如圖16-2-2,已知直線a和直線a外一點(diǎn)P.利直尺和三角尺畫一條經(jīng)過點(diǎn)P且平行于a的直線.

圖16-2-2圖16-2-3

畫法（1）將三角尺的一邊AB緊靠直線a,將直尺緊靠三角尺的另一邊AC,如圖1623（1）所示；

（2）沿直尺推動(dòng)三角尺，使三角尺緊靠直線a的一邊（邊AB）經(jīng)過點(diǎn)P,如圖16-2-3⑵所示；

（3）沿三角尺的這條經(jīng)過點(diǎn)P的邊，畫直線b,如圖16-2-3（3）所示.直線b就是所要畫的直線，如圖16-2-3（4）所示.

要點(diǎn)：經(jīng)過點(diǎn)P可以畫出一條、且只能畫出一條與已知直線a平行的直線.我們把這個(gè)基本事實(shí)作為公理。

1

3.平行公理

平行公理經(jīng)過直線外的一點(diǎn)，有且只有一條直線與該直線平行.

從平行公理可以推出

定理在同一平面上，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

這個(gè)定理稱為平行的傳遞性.由此，三條直線a、b、c互相平行，可表示為"a〃b〃c"

4.反證法.

如圖已知：直線、、在同一平面上，求證：

16-2-4,abca〃c,b〃c.a//bo

圖16-2-4

證明如圖16-2-4,假設(shè)a與b不平行，且相交于點(diǎn)P,那么過點(diǎn)P就有兩條直線a、b都和直線c平行，這與平行公

理矛盾。這說明上述假設(shè)是錯(cuò)誤的，所以上面這樣的證明方式，稱為反證法.在本章開頭證明"兩條直線相交,

a//b0

只有一個(gè)交點(diǎn)"時(shí)就已經(jīng)用過.

反證法的步驟是：

(1)先假設(shè)求證的結(jié)論是錯(cuò)誤的；

(2)由此推導(dǎo)出與已知定義、公理、定理或條件等相矛盾的結(jié)果；

(3)從而否定開始的假設(shè)，肯定先前求證的結(jié)論的正確性。

知識(shí)點(diǎn)2:“三線八角”

L模型構(gòu)建背景：由于直線是向兩邊無限延伸的，而我們所能看到的實(shí)際上只是直線的一部分，因此要用"不相

交"去判定兩條直線平行是十分困難的。于是考慮借助第三條直線，利用它與這兩條直線相交所成的角的大小，來

判定兩條直線是否平行。

2."三線八角”

如圖16-2-5,在同一平面上，直線a、b與直線I分別相交(也可以說：直線a、b被直線I所截)，構(gòu)成如圖所示

的八個(gè)角.如N1與22,它們分別在直線a、b的相同的一側(cè)，并且在截線I的同側(cè),這樣的一對(duì)角叫作同位角。N3

與N4、N5與N6、N7與N8也分別是同位角。

圖16-2-5

而像n1與N6在直線a、b的內(nèi)側(cè)，且交錯(cuò)在截線I的兩旁，像這樣的一對(duì)角叫作內(nèi)錯(cuò)角.z3與N8也是內(nèi)錯(cuò)角.

zl與28在直線a、b的內(nèi)側(cè)，且都在截線I的同旁，像這樣的一對(duì)角叫作同旁內(nèi)角23與26也是同旁內(nèi)角.

要點(diǎn)：“三線八角”是指上面四個(gè)角中的一個(gè)角與下面四個(gè)角中的一個(gè)角之間的關(guān)系，顯然是沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)

角。

2

課前習(xí)題：

1、過點(diǎn)Q畫直線MN,EF,分別使初V〃OA,EF//OBo

【解析】：MN、匕即為所求作的直線，如圖所示：

2、過如圖，在平面內(nèi)過點(diǎn)Z作直線機(jī)〃/,可作平行線的條數(shù)（）

?A

A.0條B.1條

C.0條或1條D.無數(shù)條

【答案】：B

【解析】：解：1?在平面內(nèi)過點(diǎn)力作直線相〃/，可作平行線的條數(shù)為1條（過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線已知直

線平行\(zhòng)故選：Bo

3、過下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.在同一平面內(nèi)，不相交的直線互相平行B.在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的線段平行

C.平行于同一條直線的兩條直線平行D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

【答案】：B

【解析】：解：A、在同一平面內(nèi)，不相交的直線互相平行，說法正確，該選項(xiàng)不符合題意；

B、在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的線段平行，根據(jù)平行線定義，是直線而不是線段，說法錯(cuò)誤，該選項(xiàng)符合題意；

C、平行于同一條直線的兩條直線平行，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，說法正確，該選項(xiàng)不符合題意；

D、經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，根據(jù)平行公理，說法正確，該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

3

4、過對(duì)于同一平面內(nèi)的三條直線a,b,c,下列命題中不正確的是（）

A.若?！╞,貝?。荨Ｊ?。B.若a_Lc,則Z?±c

C.若,aj_c,貝（J6_LCD.若a_Lb,a_Lc,貝心尸。

【答案】：B

【解析】：A.由在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩直線平行，可判斷A正確，不符合題意；

B.由在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，可判斷B錯(cuò)誤，符合題意；

C.由在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩平行線中的任意一條，則這條直線必垂直于另一條，可判斷C正確，

不符合題意；

D.由在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，D正確，不符合題意；

故選：B.

【答案】：B

【解析】：A、N1與N2不是內(nèi)錯(cuò)角，則此項(xiàng)不符合題意；B、4與N2是內(nèi)錯(cuò)角，則此項(xiàng)符合題意；

C、/I與N2不是內(nèi)錯(cuò)角,則此項(xiàng)不符合題意；D、4與N2不是內(nèi)錯(cuò)角，則此項(xiàng)不符合題意；故選：B.

典型例題：

題型1：畫過直線外一點(diǎn)的平行線

【典例1】.如圖所示，在NAO8內(nèi)有一點(diǎn)P.

⑴過夕畫人〃。4；

（2）過。畫4〃OB.

4

【解析】：(1)如圖，直線4即為所求；(2)如圖，直線4即為所求;

【變式1-1],如圖，在6x4的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A、B、C均為小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻

⑴過點(diǎn)A作的平行線.

(2)過點(diǎn)C作的平行線，與(1)中的平行線交于點(diǎn)。.

【解析】：

(1)過A作水平線AE，如圖1,AE//BC,AE即為所作；

(2)如圖2,格點(diǎn)C向上2個(gè)格點(diǎn)，向左2個(gè)格點(diǎn)為。，連接，CD//AB,點(diǎn)。即為所作；

【變式1-2].如圖，/是直線A3外一點(diǎn)，過點(diǎn)”的直線MN與A3交于點(diǎn)N，過點(diǎn)M畫直線C。，使得CD〃AB.

【解析】：如圖所示，直線8即為所求.

5

【變式1-3].如圖，在三角形ABC外求作一點(diǎn)。，使AC,且AD的長(zhǎng)最短。

【解析】：如圖，點(diǎn)D即為所求.

題型2:判斷過直線外一點(diǎn)的平行線的作圖步驟

【典例2].如圖，利用三角尺和直尺可以準(zhǔn)確的畫出直線4B〃CD,請(qǐng)將下面弄亂的操作步驟按正確的順序排列好

①沿直尺下移三角尺；②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③沿三角尺的邊作出直線CD；④作直線4B,并用三角尺

的一條邊貼住直線力B.

A.④①②③B.④②①③C.④②③①D.④③①②

【答案】：B

【解析】：根據(jù)同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是④②③①，故選：

Bo

【變式2-1].如圖，利用三角尺和直尺可以準(zhǔn)確的畫出直線ABIICD,下面是某位同學(xué)弄亂了順序的操作步驟：

①沿三角尺的邊作出直線CD;②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；

③作直線AB,并用三角尺的一條邊貼住直線AB;④沿直尺下移三角尺；

正確的操作順序應(yīng)是：.

【答案】：③②④①

【解析】：根據(jù)同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是③②④①，故答案：③②④①.

6

題型3:平行線、平行公理及其應(yīng)用

【典例3].經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有條直線與已知直線平行.

【答案】：-/I

【解析】：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；故答案為：一。

【變式3-1】在木條轉(zhuǎn)動(dòng)過程中存在一條直線a與直線6不相交的情形這時(shí)我們說直線a與b互相記

作"ab".在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做.

注意：平行線的定義包含三層意思：

(1)"在同一"是前提條件；

(2)"不相交"就是說兩條直線沒有；

(3)平行線指的是“兩條"而不是兩條射線或兩條線段.

【答案】：平行II平行線平面內(nèi)交點(diǎn)直線

【變式3-2].如圖是利用直尺移動(dòng)三角板過直線/外一點(diǎn)尸作直線/的平行線的方法，小明經(jīng)過多次實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)只

能作一條平行線，這反映了.

【答案】：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【解析】：由圖可得，過直線/外一點(diǎn)，能且只能畫出一條平行線，這反映了：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已

知直線平行。故答案為：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

【變式3-3]0.如圖，已知直線至〃/,AC〃/，則z,8,C三點(diǎn)在同一直線上，理由是.

BAC

【答案】：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

【解析】：解：1.直線AC〃/,AB,AC都過點(diǎn)，，且〃/,又,.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直

線平行,--A,B,C三點(diǎn)在同一直線上。故答案為：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

7

題型4:平行線、平行公理的有關(guān)概念綜合辨析

【典例4].下列說法中正確的是()

A.畫已知直線的垂線只有一條B.畫已知直線的平行線只能有一條

C.與已知直線垂直的直線必經(jīng)過已知點(diǎn)D.在平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】：D

【解析】：A.在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線只有一條，原說法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線有且只有一條，原說法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.與已知直線垂直的直線不一定經(jīng)過已知點(diǎn)，原說法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.在平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，說法正確，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D。

【變式4-1].下列說法不正確的是()

A.同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行B.經(jīng)過一點(diǎn)能作一條直線與已知直線平行

C.平行于同一條直線的兩條直線平行D.同一平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線垂直

【答案】：B

【解析】：解：A.同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行，所以A選項(xiàng)正確，不符合題意；

B.經(jīng)過直線夕一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C.平行于同一條直線的兩條直線平行，所以C選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.同一平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線垂直，所以D選項(xiàng)正確，不符合題意。故選：B。

【變式4-2].下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為()

(1)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線平行(2)如果?！╞,a//c，那么。尸。

(3)如果兩線段不相交，那么它們就平行(4)如果兩直線不相交，那么它們就平行

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】：A

【解析】：(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故錯(cuò)誤；(2)根據(jù)平行公理的推論，正確；

(3)線段的長(zhǎng)度是有限的，不相交也不一定平行，故錯(cuò)誤；(4)應(yīng)該是"在同一平面內(nèi)"，故錯(cuò)誤.

正確的只有一個(gè)，故選A。

8

【變式4-3].下列說法中：①如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；②直線外一點(diǎn)到

這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離；③過一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線；④過一點(diǎn)有且只有一條直線

垂直于已知直線；其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】：A

【解析】：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，故①正確；直線外一點(diǎn)到這條直線的

垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離，故②不正確；過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于已知直線，故③不正確；

在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，故④不正確；所以正確的有①，共1個(gè).故選：A.

題型5：平行公理等數(shù)學(xué)語言判斷（"II或上"）

【典例5].下面推理正確的是（)

A.'：a//b,b//c,\c//dB.-.-a/Zc,b\\d,\c//d

C.-：a//b,a//c,\b//cD.a//b,c//dz:.a//c

【答案】：C

【解析】：解：A、a,c都和匕平行，應(yīng)該推出的是。〃c，而非c〃"，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、c,d與不同的

直線平行，無法推出兩者也平行，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、6,c都和。平行，根據(jù)"如果兩條直線都與第三條直

線平行，那么這兩條直線也互相平行"可推出是6〃c,故正確，符合題意；D、"，c與不同的直線平行，無法推

出兩者也平行，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：Co

【變式5-1].下列推理正確的是)

A.因?yàn)??！╠,bPc,所以c〃dB.因?yàn)?Pc,b//d,所以c〃d

C.因?yàn)?。必，aPc,所以bPcD.因?yàn)閍IIb,d//c,所以a尸c

【答案】：C

【解析】：A、由。〃d,6尸。，不能推出?！?,所以本選項(xiàng)推理錯(cuò)誤，不符合題意；B、由"Pc,b//d,不能推

出。〃d,所以本選項(xiàng)推理錯(cuò)誤，不符合題意；C、由a"b,aPc，能推出bPc,所以本選項(xiàng)推理正確，符合題

意；D、由aIIb,d〃c,不能推出。尸。，所以本選項(xiàng)推理錯(cuò)誤，不符合題意。故選：Co

【變式5-2].a、b、c是直線，下列說法正確的是（）

A.若aJ_b,b//c,貝(JaPcB.若a_Lhb_Lc,則a_Lc

C,若a〃b,b±c,貝［jbPcb.若a//b,6〃c,貝(］。尸。

【答案】：D

9

【變式5-3].下列說法正確的是（）

A.a、b、c是直線，若2〃c,則a〃c;B.a、b、c是直線，若。，仇"c,則

C.a、b、c是直線，若，貝！]a〃c；D.a、b、c是直線，若。〃&6〃c,則a〃c

【答案】：D

【解析】：解：A.當(dāng)時(shí),alc，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.在同一平面內(nèi)，當(dāng)△瓦―。時(shí)，a〃c,

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.當(dāng)時(shí)，,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.當(dāng)a〃6,6〃c時(shí)，a〃c,

故選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D.

題型6:平行公理的拓展

【典例6】.在同一平面內(nèi)有四條直線/6、c、d,已知：a〃d,6〃c,6〃d,則a和c的位置關(guān)系是.

【答案】：aUc

【解析】：：a//d,b//d,a//b,又???b//c,二a//c,故答案為：a//c.

【變式6-1].規(guī)律探究：同一平面內(nèi)有直線的、％、%，…，^100，若％//。2,a2a3,a311cl4,a4a5,…，

按此規(guī)律，為與陽。的位置關(guān)系是.

【答案】：互相垂直.

【解析】：解：vaj/Zaj,a2±a3,a3//a4,/.a1司，按此規(guī)律，a51a8，又?』兒,…，."a',

以此類推,為la4n-.-100=4x25,,故答案為互相垂直.

題型7:三線八角構(gòu)建的有關(guān)概念（如判斷第三條直線等）

【典例7】.如圖，直線上有一點(diǎn)CN1和/ABC是直線A8,CE被直線所截形成的角；/2和

NBAC是直線CE和A3被直線所截形成的角；N3和一ABC是直線和被直線

【答案】：DB同位AC內(nèi)錯(cuò)ABACCB同旁內(nèi)

【解析】：解:直線3。上有一點(diǎn)CN1和NABC是直線A8CE被直線所截形成的同位角；N2和/ft4c是直線CE

和AB被直線AC所截形成的內(nèi)錯(cuò)角；/3和NABC是直線A3和AC被直線CB所截形成的同旁內(nèi)角。

故答案為：DB,同位；AC,內(nèi)錯(cuò);AB,AC,CB,同旁內(nèi)。

10

【變式7-1].如圖，

(2)z2和/mC是直線CE、Z8被直線所截得的角；

(3)/3和416c是直線、被直線所截得的角；

(4)NZ8C和/I。是直線、被直線所截得的角；

(5)416c和Z6CF是直線、被直線所截得的角.

【答案】：BD(BC)同位ZC內(nèi)錯(cuò)ABACBC同旁內(nèi)ABAC

BC同位ABCEBC同旁內(nèi)

【解析】：(1)N1和416c是直線AB,(石被直線BD(BC)所截得的同位角；

(2)z2和2必C是直線CE、Z8被直線ZC所截得的內(nèi)錯(cuò)角；

(3)z3和216c是直線力民ZC被直線6「所截得的同旁內(nèi)角；

(4)21歌和小。是直線AB、ZC被直線8c所截得的同位角;

(5)416c和Z6W是直線AB.6被直線6c所截得的同旁內(nèi)角.

故答案是：BCY,同位；ZC;內(nèi)錯(cuò)；Z8;/C;BC-同旁內(nèi);Z8;ZC;BC;同位;AB\CE：BC;同旁內(nèi).

題型8：同位角

【解析】：A.由圖可知：Zl,N2是同位角，A故不合題意；

B.由圖可知：Zl,N2是同位角，故B不合題意；

C.由圖可知：Zl,N2是同位角，故C不合題意；

D.由圖可知：Zl,N2不是同位角，故D符合題意。

故本題選：Do

11

【變式8-1].下列圖形中，N1和N2不是同位角的是（）

【解析】：解：A、4和N2是同位角，故此選項(xiàng)不合題意；B、N1和N2是同位角，故此選項(xiàng)不合題意；

C、/I和N2不是同位角，故此選項(xiàng)符合題意；D、4和/2是同位角，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C。

題型9：內(nèi)錯(cuò)角

【典例9].如圖，直線AB,被〃所截，則”的內(nèi)錯(cuò)角是

【答案】：ZAOD/ADOA

【分析】利用內(nèi)錯(cuò)角定義進(jìn)行解答即可.

【解析】：解：直線AB、CO被直線AE截，則ZA和ZAOD是內(nèi)錯(cuò)角角，

故答案為：ZAOD.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角，解題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成"Z"形.

【變式9-1].如圖所示，與N1是內(nèi)錯(cuò)角的是（）

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】：B

【解析】：根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，與/I是內(nèi)錯(cuò)角的是N3。故選：B。

12

【變式9-2].如圖當(dāng)中的內(nèi)錯(cuò)角一共有（）對(duì)

A.2B.3C.4D.5

【答案】：C

【解析】：4和N7是內(nèi)錯(cuò)角，/2和N9是內(nèi)錯(cuò)角，N4和/6是內(nèi)錯(cuò)角，N5和N9是內(nèi)錯(cuò)角，，內(nèi)錯(cuò)角一共有4對(duì).

故選：C.

題型10:同旁內(nèi)角

【典例10].如圖，與N6是同旁內(nèi)角有個(gè)

【答案】：3

【解析】：直線BC、2。被直線屬所截，與NDW互為同旁內(nèi)角，直線BC、ZC被直線8F所截，/B與/BAC

互為同旁內(nèi)角，直線/反ZC被直線8。所截,ZB與NC互為同旁內(nèi)角，故答案為：3。

【變式10-1].如圖，平行直線AB,C。與相交直線族,G8相交，圖中的同旁內(nèi)角共有對(duì).

【答案】：16

【解析】：直線AB,C。被取所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線A3,CO被G”所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；

直線C。、所被GH所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線CD、GH被貸所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；

直線GH、EF被CD所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線AB,EF被GH所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；

直線AB、GH被EF所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線EF、GH被AB所載有2對(duì)同旁內(nèi)角.

.洪有16對(duì)同旁內(nèi)角.

故答案為:16.

13

題型11:同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的綜合判斷

【典例11].如圖，下列結(jié)論正確的是（）

A./I與N2互為內(nèi)錯(cuò)角B.N3與N4互為內(nèi)錯(cuò)角

C.N1與N3互為同旁內(nèi)角D.N2與/4互為同位角

【答案】：D

【解析】：A、N1和N2是同位角，故A不符合題意；B、N3與N4不是內(nèi)錯(cuò)角，故B不符合題意；

C、/I與N3不是同旁內(nèi)角，故C不符合題意；D、N2與/4互為同位角，故D符合題意；故選：D。

【變式11-1].下列說法不正確的是（）

A.N1和N5是同旁內(nèi)角B.N1和N4是內(nèi)錯(cuò)角C.N3和N4是同位角D.N1和/2是同旁內(nèi)角

【答案】：D

【解析】：A.N1和/5是同旁內(nèi)角，說法正確，選項(xiàng)不符合題意；B.N1和N4是內(nèi)錯(cuò)角，說法正確，選項(xiàng)不符合題意；

C.N3和/4是同位角，說法正確，選項(xiàng)不符合題意；D./I和/2互為補(bǔ)角，說法錯(cuò)誤，選項(xiàng)符合題意；選：D。

【變式11-2].如圖，直線/截直線a,匕所得的同位角有對(duì);內(nèi)錯(cuò)角有對(duì)，它們是；

同旁內(nèi)角有對(duì)，它們是;對(duì)頂角對(duì)，它們是.

【答案】：42N4與N8,/3與/52N4與N5/3與N84N1與N3,/2與N4,

N5與N7,N6與N8

【解析】：直線/截直線a,6所得的同位角有4對(duì)，分別是/6與N4,/5與/I,N7與/3,N8與N2；

內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，它們是N4與N8,N3與N5；同旁內(nèi)角有2對(duì)，它們是/4與N5,N3與N8;

對(duì)頂角有4對(duì)，它們是/I與N3,N2與N4,/5與N7,26與N8.

故答案為：4；2；N4與N8,N3與N5；2；N4與/5,N3與N8;4；4與N3,N2與N4,N5與N7,/6與N8。

14

【變式11-3].如圖，直線a、b、c分別與直線仇e相交，與N1構(gòu)成同位角的角共有個(gè)，和/構(gòu)成內(nèi)

錯(cuò)角的角共有個(gè)，與N1構(gòu)成同旁內(nèi)角的角共有個(gè).

【答案】：：322

【解析】：如圖，與N1是同位角的是：N2,Z3,Z4;與N1是內(nèi)錯(cuò)角的是：z5,z6;與N1是同旁內(nèi)角的是:z7,z

8.

【變式11-4].如圖，在用數(shù)字表示的角中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯(cuò)角？哪些是同旁內(nèi)角？

【答案】：同位角：4和4/5和/6；內(nèi)錯(cuò)角：N1和/6,/2和N4；同旁內(nèi)角：N3和/5,/4和N3,N2和N6,N1和

4

【解析】：同位角：4和N3,N5和/6;內(nèi)錯(cuò)角：N1和/6,N2和/4；同旁內(nèi)角：N3和/5,N4和N3,/2和

Z6,N1和25。

題型12:同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的有關(guān)規(guī)律題

【典例12].（1）如圖：①所示，兩條水平的直線被一條傾斜的直線所截，同位角有對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有一

對(duì)，同旁內(nèi)角有對(duì)；

（2）如圖②所示，三條水平的直線被一條傾斜的直線所截，同位角有對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有對(duì),

同旁內(nèi)角有對(duì)；

（3）根據(jù)以上探究的結(jié)果，〃（力為大于1的整數(shù)）條水平直線被一條傾斜的直線所截，同位角有對(duì)，

內(nèi)錯(cuò)角有對(duì)，同旁內(nèi)角有對(duì)（用含"的式子表示）.

【解析】：（1）如圖1,兩條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì).

故答案為：4,2,2;

15

(2)如圖2,三條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有12對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有6對(duì)，同旁內(nèi)角有6對(duì).

故答案為：12,6,6;

(3)列表如下：

條數(shù)角同位角(對(duì)數(shù))內(nèi)錯(cuò)角(對(duì)數(shù))同旁內(nèi)角(對(duì)數(shù))

2422

31266

4241212

n277(/7-1)77(/7-1)

根據(jù)以上探究的結(jié)果，77(/7為大于1的整數(shù))條水平直線被一條豎直直線所截，同位角有277(/7-1)對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有

對(duì)，同旁內(nèi)角有對(duì)，故答案為:,Z7(n-1),Z7(n-1).

【變式12-1].復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題我們常會(huì)把它分解為基本問題來研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零這是一種常見的數(shù)學(xué)解

題思想.

(1)如圖①，直線/一4被直線所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了對(duì)同旁內(nèi)角.

(2)如圖②，平面內(nèi)三條直線4,12,4兩兩相交，交點(diǎn)分別為A.B.C,圖中一共有對(duì)同旁內(nèi)角.

(3)平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成對(duì)同旁內(nèi)角.

(4)平面內(nèi)〃條直線兩兩相交，最多可以形成對(duì)同旁內(nèi)角.

【答案】：2624n(n-l)(n-2)

【解析】：(1)如圖

其中同旁內(nèi)角有一與,/DAB與NABF，共2對(duì)；故答案是：2；

16

(2)如圖

其中同旁內(nèi)角有N3AC與々6，/BAC與/ABC，/ABC與/BC4，/DAB與NABE，/FBC與NBCI,ZACJ

與/CM，共6對(duì)，6=3x2xl,故答案是：6；

(3)如圖

其中的同位角有一54。與N8C4，/&1C與，ABC，,ABC與N3C4,/CAF與NAFE，/C4/與NACE,ZAFE

與/CEF,/ACE與/CEF/CED與NCDE,/CDE與NCDE,/DCE與NCED/IBC與/BCD/BCD與ZCDJ,

NKDE與NDEP,ZPEF^ZEFM,ZAFN與NFAG/BAG與ZABH,ZBFE與NFBE/FBE與ZBEF,ZDAF

與ZADF,ZAFD與ZADF,ZIBE與ZJEB,ZMFD與/FDK,ZHBM與4BFN,NMD與ZADJ共24對(duì)，

24=4x3x2,故答案是：24;

(4)根據(jù)以上規(guī)律，平面內(nèi)"條直線兩兩相交，最多可以形成〃(〃-1)5-2)對(duì)同旁內(nèi)角，故答案是1)(〃-2).

17

強(qiáng)化訓(xùn)I練：

一、單選題

1,下列四個(gè)圖形中，Z1和Z2是內(nèi)錯(cuò)角的是（）

【答案】：B

【解析】：A、zl與N2不是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)不符合題意；B、zl與N2是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)符合題意；C、zl與N2不是

內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)不符合題意；D、zl和22不是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)不符合題意；故選：B.

2.如圖，直線AB、CD被直線EF所截，則N3的同旁內(nèi)角是（）.

A.zlB.z2C.z4D.z5

【答案】：B

【解析】：根據(jù)同旁內(nèi)角的定義可得N3的內(nèi)錯(cuò)角是N2。故答案選：Bo

3.下列說法：

①已知直線a,b,c,若a與c相交，則a與。相交；②若直線，直線6〃c,那么直線；

③過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種.

其中錯(cuò)誤的有（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】：A

【解析】：①已知直線a,6,c,若a與c相交，則a與6不一定相交，故原說法錯(cuò)誤；

②若直線a，直線8〃c,那么直線。〃C,故原說法正確；

③經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，故原說法錯(cuò)誤；

④在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交兩種，故原說法錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤的有3個(gè)，故選：A.

18

4.如圖，直線AD,力被直線6尸和所截，則N1的同位角和N5的內(nèi)錯(cuò)角分別是（）

A.N4,N2B.N2,N6C.N5,N4D.Z2,Z4

【答案】：B

【解析】：?.直線AD,被直線8尸和力。所截,/.Z1與Z2是同位角，N5與N6是內(nèi)錯(cuò)角，故選：B.

5.L4、4為同一平面內(nèi)的三條直線，若4與4不平行，4與4不平行，那么4與4（）

A.一定不平行B.一定平行C.一定互相垂直D.可能相交或平行

【答案】：D

【解析】：根據(jù)題意可得圖形：

根據(jù)圖形可知：若4與4不平行，4與4不平行，則4與4可能相交或平行，故選：D.

6.如圖，26和。相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.zl與N2互為對(duì)頂角B.N6與N1互為同位角

C.NZ與NC互為內(nèi)錯(cuò)角D.與NC互為同旁內(nèi)角

【答案】：C

【解析】：zl與N2互為對(duì)頂角,故A正確，不符合題意；N8與N1互為同位角，故B正確，不符合題意;

NZ與NC不是內(nèi)錯(cuò)角，故C錯(cuò)誤，符合題意；與NC互為同旁內(nèi)角，故D正確，不符合題意；

故選：C.

19

7.如圖，在N1、22、N3、Z4中,內(nèi)錯(cuò)角是（）

A.N1與N4B.N2與/4C.N1與N3D.N2與23

【答案】：D

【解析】：解：根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，N2與N3是內(nèi)錯(cuò)角，故選:D.

8.如圖，下列判斷正確的是（

A.N3與N6是同旁內(nèi)角B.N2與N4是同位角C./I與/6是對(duì)頂角D./5與N3是內(nèi)錯(cuò)角

【答案】：A

【解析】：解：A、N3與N6是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)符合題意；B、N2與N4不是同位角，故本選項(xiàng)不合題意；

C、4與/6不是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)不合題意；D、N5與N3不是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)不合題意；故選：A.

9.中國(guó)滑雪天才少女谷爰凌在2022年北京冬奧會(huì)的賽場(chǎng)上斬獲"自由式滑雪大跳臺(tái)"首金，這是她獲得的首個(gè)

冬奧會(huì)獎(jiǎng)牌，也是中國(guó)運(yùn)動(dòng)員第一次參加冬奧會(huì)大跳臺(tái)的比賽.項(xiàng)目圖標(biāo)如下圖；則在下列判斷中①N1與N2是對(duì)

頂角；②N3與N4是同旁內(nèi)角；③/5與N6是同旁內(nèi)角；④N1與N4是內(nèi)錯(cuò)角，其中正確的有（）個(gè).

【答案】：C

【解析】：解：N1與N2有公共頂點(diǎn)且兩條邊都互為反向延長(zhǎng)線，因此是對(duì)頂角，故①正確；

兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，叫做同旁內(nèi)角，因此N3與N4是同旁內(nèi)角，故

②正確；N5與N6是鄰補(bǔ)角，不是同旁內(nèi)角，故③錯(cuò)誤；兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，

且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫作內(nèi)錯(cuò)角，因此N1與24是內(nèi)錯(cuò)角，故④正確；

綜上，正確的有①②④。故選Co

20

10.若平面上5條直線兩兩相交，且無三線共點(diǎn)，無四線共點(diǎn)，則一共有多少對(duì)同旁內(nèi)角（）

A.59B.60C.61D.62

【答案】：B

【解析】：解：如圖，

???平面上5條直線兩兩相交，且無三線共點(diǎn),無四線共點(diǎn)，，共有5x6=30條線段.又?.?每條線段兩側(cè)各有一對(duì)同

旁內(nèi)角內(nèi)角，，共有同旁內(nèi)角30x2=60對(duì).故選：B

二、填空題

11.如圖，過點(diǎn)A畫直線/的平行線，能畫條，依據(jù)是：

【答案】：1,過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

12.如圖，z2與N3是直線、被第三條直線所截形成的

【答案】：ABZCBD同旁內(nèi)角

13.如圖所示，直線AB,CD是一條河的兩岸，并且ABIICD,點(diǎn)E為直線AB,CD外一點(diǎn)，現(xiàn)想過點(diǎn)E作河岸

CD的平行線，只需過點(diǎn)E作AB的平行線即可，其理由

?E

4B

CD

【答案】：平行于同一條直線的兩條直線平行.

【解析】：解:.ABIICD,點(diǎn)E為直線AB,CD外的一點(diǎn)，.為了過E作河岸CD的平行線,只需作岸AB的平行

線即可。其理由是：平行于同一條直線的兩條直線平行。

21

14.如圖所示的四個(gè)圖形中，/I和/2是同位角的是.（填序號(hào)）

【解析】：解：①N1和N2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角；

②N1和N2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角；

③N1與N2分別是四條直線中的兩對(duì)直線的夾角，不符合同位角的定義，故它們不是同位角；

④N1和N2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角。故答案為：①②④。

15.如圖是一個(gè)風(fēng)車，當(dāng)風(fēng)車的一片葉子Z6旋轉(zhuǎn)到與地面例/V平行時(shí)，葉子。與地面MN（填"平

行“或“不平行”），理由是.

【答案】：不平行經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

【解析】：AB與CD有夾角，根據(jù)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，可得AB不能同時(shí)與地面EF

平行。故答案是：不平行，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

16.如圖所示，在標(biāo)注的6個(gè)角中，同旁內(nèi)角有對(duì)。

【解析】：/I和N2是同旁內(nèi)角，/I和/5是同旁內(nèi)角，/2和N4是同旁內(nèi)角，N4和/5是同旁內(nèi)角，

故在標(biāo)注的6個(gè)角中，同旁內(nèi)角有4對(duì)。故答案為：4。

22

17.如圖，在Nl、N2、N3、N4、Z5中，是同位角的有對(duì)，它們是；是內(nèi)錯(cuò)角的有對(duì)，它

們是_____________；是同旁內(nèi)角的有一對(duì)，它們是.

【答案】：2N1和N4、N3和N52N1與N5、N2與N33N2和N5、N3和N4、N4和N5

【解析】：如圖，由題意可得：同位角有：2對(duì)