上海七年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平行線二（十二大題型）

上海七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)：08平行線（第2課時(shí)）（12大題型）

思維導(dǎo)圖:

11.同位角相等，兩直線平行

-2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

I3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

題型1：證明同位角相等，兩直線平行

題型2:同位角相等，兩直線平行的辨析與應(yīng)用

題型3:證明同位角相等，兩直線平行（與平行公理結(jié)合）

題型4:證明內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

題型5:證明內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（與角平分線結(jié)合）

題型6:結(jié)合同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等來判定兩直線平行

題型7:內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的辨析與應(yīng)用

:題型8:證明同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

I題型9:平行線的判定綜合辨析

I題型10:添加一個(gè)條件，使兩直線平行

I題型11:平行線的判定的綜合應(yīng)用

I題型12:證明平行線的判定（綜合）

知識(shí)清單：

知識(shí)點(diǎn)01：平行線的判定一同位角相等，兩直線平行

前面畫平行線（圖16-2-3）時(shí)，將直尺的邊看成截線，只要同位角N1與N2相等，畫出的直線a、b就是平行

線.我們把這個(gè)基本事實(shí)作為判定兩條直線平行的公理.

公理兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

圖16-2-3

注意：公理通俗的講就是大家都認(rèn)可的定理，所以這個(gè)判定定理不作證明.

1

知識(shí)點(diǎn)02:平行線的判定一內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

利用同位角相等可以判定兩條直線平行，那么是否也可以由內(nèi)錯(cuò)角相等來判定兩條直線平行呢?結(jié)論是肯定

的，由此得到平行線的另一種判定方法.

定理兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.

簡(jiǎn)單地說：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

如圖16212⑴,已知：直線a、b被直線I所截,z1=z2.求證：a//b.

分析我們已經(jīng)知道"同位角相等，兩直線平行"，為了證明a//b

從N1=N2出發(fā)，找出一對(duì)相等的同位角.

證明如圖16-2-12(2),Wz1的對(duì)頂角記作N3.

因?yàn)閷?duì)頂角相等，所以N1=N3.

又已知N1=N2,從而有N2=N3.

根據(jù)"同位角相等，兩直線平行"彳導(dǎo)a〃b.

知識(shí)點(diǎn)03:平行線的判定一同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

定理兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.

簡(jiǎn)單地說：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

如圖16216,已知：直線a、b被直線I所截，z1+z2=180°.

分析從0、N2出發(fā)，去尋找一對(duì)相等的同位角或一對(duì)相等的內(nèi)錯(cuò)角.

證明如圖16-2-16,將與0相鄰的一個(gè)補(bǔ)角記作N3,

則N1+N3=180°.

".z1+z2=180°,

，N2=N3.

.■.a//b(同位角相等，兩直線平行).

2

課前習(xí)題：

1、下列圖形中，能由/1=/2得至U/B〃CD的是（）

DCDC

【答案】D

2、如圖，已知直線/分別與直線。，6相交，Zl+Z2=180°,那么“與6的位置關(guān)系是

【答案】a，b

3、如圖，添加一個(gè)條件能得到78〃。的是

【答案】Z5=Z5（答案不唯一）

4、已知：如圖，四邊形/BCD中，NC平分ZB/。，Z1=Z2,N5與CD平行嗎？為什么?

答：AB//CD.理由如下：rNC平分N8/。，（）.\Z1=Z3（）

??-Z1=Z2（）:.N2=N3（）:.AB//CD（）

【答案】見解析

【解析】?.2C平分NA4D,（已知）

:.N1=N3（角平分線的定義）

?.-Z1=Z2（已知）

,/2=/3（等量代換）

AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

3

5、已知，如圖，AB//CD,G8是相交于直線E下的直線，且/1+/2=180。，

求證：CD//EF.

【答案】證明見解析

【解析】證明：=Zl+Z2=180°,.-.Z3+Z2=180°,:.AB//EF,1：ABHCD、：.CD」/EF.

典型例題：

題型1：證明同位角相等，兩直線平行

【典例1].已知：如圖，Z1=Z2.求證：ABIICD.

分析：如圖，欲證N8//CD,只要證4=.

證明：VZ1=Z2,(已知)又/3=/2,().'.Zl=.()

:.ABHCD.（,）

【答案】N3;對(duì)頂角相等；Z3;等量代換；同位角相等，兩直線平行.

【解析】分析：如圖，欲證AB//CD,只要證Z1=Z3.證明：vZ1=Z2,（已知）又/3=N2,（對(duì)頂角相等）

AZ1=Z3.（等量代換）〃C0.（同位角相等，兩直線平行）

【變式1-1].如圖，因?yàn)镹B=ND,N1=ND（已知）.所以NB=N1（）.所以，一.（)

【答案】等量代換；AB;CD;同位角相等，兩直線平行

【解析】由等量代換，得NB=/1,又同位角相等，兩直線平行「.ABIICD

4

【變式1-2].如圖，4=120°,ZBCD=600,證明2。與8c平行.

【解析】iNl+N2=180°,HZl=120°,Z2=60^vZ.BCD-60°,:"BCD=22.

■.ADHBC（同位角相等，兩直線平行）.

【變式1-3].如圖,已知AC_LAE,BD±BF,=/2,求證：AEllBF.

【答案】見解析

【解析】-ACA.AE,BDlBF,：zEAC=aFBD=9G°,X/z1=z2,：.^EAG=^FBG,：.AE\\BF.

題型2:同位角相等，兩直線平行的辨析與應(yīng)用

【典例2].如圖，直線NAC。被直線跖所截，4=55。，下列條件中能判定43〃CD的是（）

E

A———B

c7——口

F

A./2=35。B.Z2=45°C.Z2=55°D./2=125°

【答案】C

【解析】解：如圖，

?:/1=55。，:/3=55。，.?.當(dāng)/2=/3=55。時(shí)，AB//CD,故選C.

5

【變式2-1].如圖，在探索直線平行的條件時(shí)，將木條a,c固定，使4=60。，轉(zhuǎn)動(dòng)木條6,當(dāng)N2=_。時(shí)，木

條a與木條。平行.

【解析】如圖，木條轉(zhuǎn)動(dòng)到4=/2時(shí).木條a與木條3平行.

當(dāng)/2=/1=60。時(shí)，a//b.即/2=60。時(shí)，木條a與6平行.故答案為：60.

【變式2-2].如圖，木工師傅用圖中的角尺畫平行線的依據(jù)是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.同位角相等，兩直線平行

C.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行

D.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

【答案】B

【解析】解：木工師傅用圖中的角尺畫平行線的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行.故選：B

【變式2-3].小明按如圖所示的方法畫出了兩條平行線，依據(jù)是

【答案】同位角相等，兩直線平行

【解析】如圖，；Zl=N2AB//CD（同位角相等，兩直線平行）,

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

6

題型3:證明同位角相等，兩直線平行（且與平行公理結(jié)合）

【典例3].如圖，已知N1=N3,CD//EF,求證/3〃跖.

【答案】見解析

【解析】證明：?,?N1=N3,N3=N2,.=N1=N2,點(diǎn)CD,-：CD//EF,:.AB//EF.

【變式3-1].如圖，已知，a〃c,Nl+N3=180。,請(qǐng)說明6〃c.

【答案】理由見解析.

【解析】?.?/1+/3=180。,/1+/2=180。（已知）,-.Z3=Z2（同位角補(bǔ)角相等），二?！?（同位角相等，兩直線平

行），又（已知）（平行于同一直線的兩直線平行）

【變式3-2].如圖，已知直線a,b,c,d,e,且/1=/2,/3=/4,則a與c平行嗎？為什么？

解：a與c平行.理由：因?yàn)镹1=N2所以?！?（）.

因?yàn)?3=/4（）,所以b〃c（）.所以a〃c（）.

【答案】已知；同位角相等，兩直線平行；已知；同位角相等，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行

【解析】解：a與C平行.

理由：因?yàn)镹l=N2（已知），所以?！?（同位角相等，兩直線平行）.因?yàn)?3=/4（已知），

所以b〃c（同位角相等，兩直線平行）.所以?！╟（平行于同一條直線的兩條直線平行）.

故答案為：已知；同位角相等，兩直線平行；已知；同位角相等，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行.

7

題型4:證明內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【典例4].如圖，已知NBLBC,CDVBC,Zl=Z2,BE與CF平行嗎?

【答案】BE//CF,理由見解析

【解析】解：BE//CF,理由如下，

證明，-：AB1BC,CD1BC,ZABC=ZBCD=90°,-/Z1=Z2,ZEBC=ZBCF,:.BE//CF.

【變式4-1].已知如圖，AB交N。于/,CD交4D于D,EF交4D于。,Zl=Z2,N3=N4,試判斷AS和Q?

的位置關(guān)系，并說明為什么.

【答案】AB//CD,理由見解析.

【解析】解：AB//CD,理由：?.?N1=N2,N3=N4,^2=^3,，-.Zl=Z4,;.AB//CD.

【變式4-2].如圖，Zl=Z2,4c平分/D4B,求證：DC//AB.

【答案】證明見解析

【解析】證明：./C平分/OA8,=,:4=N2,:.N2=NBAC,:.DC〃4B.

8

題型5:證明內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（與角平分線結(jié)合）

【典例5].已知如圖所示，NB=/C,點(diǎn)B、A、E在同一條直線上，NEAC=NB+NC,且4D平分/E/C,證

明：AD//BC.

【答案】證明見解析

【解析】證明：=NE4C=NB+NC,;.NEAC=2NC,-：AD^^ZEAC,:.ZEAC=2Zl,/.Z1=ZC,

:.AD//BC.

【變式5-1].完成下面證明：

如圖，C5平分乙4C￡>,Zl=Z3.求證48〃CD.

證明：「CB平分=(_)-.-Z1=Z3./.Z2=Z_.(_):.AB//CD(J.

【答案】角平分線的定義，3,等量代換，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行

【解析】證明：:CB平分//CO.=（角平分線的定義）■.21=/3.;./2=/3.（等量代換）

：.AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）.故答案為：角平分線的定義，3,等量代換，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行.

【變式5-2].如圖，點(diǎn)G在CD上，已知4/G+/4GZ）=180。，4E平分NR4G,尸G平分N/GC,請(qǐng)說明/￡〃GF

的理由.

9

解：■：ZBAG+ZAGD=1^0°(已知)，4GC+//GD=180°()ZBAG=ZAGC().

HE平分NB4G,=；(),「G尸平分N/GC,Z2=1,彳導(dǎo)N1=N2(),

AE//GF().

【答案】鄰補(bǔ)角的定義；同角的補(bǔ)角相等；/BAG;角平分線的定義；AAGC-等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平

行；理由見解析

【解析】解：./"G+ZXGZ)=180。(已知),4GC+4GD=180。(鄰補(bǔ)角的定義)，

:.ZBAG=ZAGC(同角的補(bǔ)角相等).?./平分NB4G,.?/=；乙&4G(角平分線的定義).「FG平分N/GC,

/.Z2=1z^GC,.-.Z1=Z2(等量代換)，.?.N￡〃Gb(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).故答案為：鄰補(bǔ)角的定義；同

角的補(bǔ)角相等；/BAG;角平分線的定義；ZAGC;等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

題型6:綜合同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等來判定兩直線平行

【典例6].已知ZMCE=NE,ZF=ZCBA.求證：AB//MN.

M-------------5T------------N

【答案】見解析

【分析】先分別證明MN\\EF,AB//EF,然后根據(jù)平行線的傳遞性可證〃跖V成立.

【解析】證明：??,/MC￡=/￡,.?.M2VIIE/?.,ZF=NCB/,.?./5〃所，

【變式6-1].如圖，已知點(diǎn)E、D、C、廠在一條直線上，ZADE+NBCF=180。,BE平分N4BC,ZABC=2/E.

(1)ND與3c平行嗎？請(qǐng)說明理由；(2)與跖的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說明理由.

解：(1)AD//BC,理由如下：???44/陽+44。尸=180。(_),ZADE+/BCF=18。。(已知)，乙4。尸=/_.

.-,AD//BC(J.

(2)與跖的位置關(guān)系是：(_).請(qǐng)完成說理過程：

F

10

【答案】（1）平角定義；BCF-同位角相等，兩直線平行；（2）平行，理由見解析

【解析】解：（1）AD//BC,理由如下：?.?N/DE+N/D尸=180。（平角定義），ZADE+NBCF=180°（已知），

??N4DF=NBCF，,AD//BC（同位角相等，兩直線平行），

故答案為：平角定義；BCF-同位角相等，兩直線平行；

（2）與所的位置關(guān)系是：（平行），理由如下：1?BE平分//8C,=???乙48c=2/E,

乙4BE=ZE,..AB//EF,故答案為：平行.

題型7:內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的辨析與應(yīng)用

【典例7].如圖，用符號(hào)語言表達(dá)定理"內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的推理形式：；，:《lib.

【答案】Z1=Z4/Z4=Z1

【分析】本題考查了三線八角，以及平行線的判定，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行"解答即可.

【解析】?-21=/4,故答案為：Z1-Z4.

【變式7-1].下列圖形中，由4=/2,能得到/3〃C￡＞的是（）

【答案】D

【解析】解：A、由N1=N2不能得到AB//CD,此選項(xiàng)不符合題意;

B、由/1=/2,得到不能得出43〃。，此選項(xiàng)不符合題意;

C、由N1=N2,不能得到此選項(xiàng)不符合題意;

D、由/1=/2,能得到43〃C。，此選項(xiàng)符合題意；故選D.

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【變式7-2].小澤在課桌上擺放了一副三角板，如圖所示，得到/C〃。尸，依據(jù)是.

【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【解析】由題意知，ZACD=90°=ZFDE,:.AC//DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）,

故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

題型8:證明同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

【典例8].已知：如圖，直線a,b被直線c所截，且/1+/2=180。.求證：a\\b.

【答案】見詳解

【解析】證明：由對(duì)頂角相等可得：Z1=Z3,-.-Zl+Z2=180°,.?.Z3+Z2=180°,:.a//b.

【變式8-1].完成下面的證明：

已知：如圖，Zl=30°,Z5=60°,AB1AC.求證：AD//BC.

證明：：/臺(tái)，/。（）.-.Z=90°（）?.?Nl=30。，ZS=60°（已知）

Z1+ABAC+ZB=即Z+NB=180°AD//BC（）

【答案】已知，BAC,垂直的定義，180。，BAD,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

【解析】證明：???/8L/C（已知），二/A4c=90。（垂直的定義），?.?/1=30。，4=60。（已知）,

Z.\+ABAC+AB=\^°,即/胡。+/8=180。，.-.AD//BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

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【變式8-2].如圖，直線NA跖被直線2。所截，EF與BD交于點(diǎn)C,CG平分/DC尸，N3=50。，ZDCG=65°,

試說明：AB//EF.

【答案】見解析

【解析】證明：,??。6平分/。中，ZDCG=65°,:.ZDCF=2ZDCG=130°,ZBCE=ZDCF=130°,-：ZB=50°,

:.NB+NBCE=180°,：.4B〃EF.

【變式8-3].完成下面的證明.已知：如圖，Zl+Z2=180°,Z3+Z4=180°.求證：AB//EF.

證明：Zl+Z2=180°,//().VZ3+Z4=180°,二//.

AB//EF().

【答案】AB-CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；EF-CD；同平行于一條直線的兩條直線互相平行

【解析】證明：???Nl+N2=180。，/8||C。（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.???N3+N4=180。，二M||CO.

AB//EF（同平行于一條直線的兩條直線互相平行）.

題型9:平行線的判定綜合辨析

【典例9].如圖，下列條件能判定”〃8的是（）

A.Z1=Z5B.Z1=Z4C,Zl+Z3=180°D.Z1=Z2

【答案】A

【解析】解：A、根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得到48〃。；符合題意；B、根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得

到斯〃GH;不符合題意；C、Zl+Z3=180°,Zl=Z2,貝！]:Z2+Z3=180°,故跖〃G”,不符合題意；

D、Zl=Z2,不能得到/8〃CD,不符合題意；故選A.

13

【變式9-1].(1)如果4=N3,那么//,根據(jù)()

(2)如果=那么//,根據(jù)()

(3)如果44+48￡=180。，那么//,根據(jù)()

【答案】(1)AD,BE,同位角相等，兩直線平行；(2)BD,CE,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

(3)AD,BE,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

【解析】(1)由圖中可得//和N3是同位角，根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到ND〃3E；

(2)由圖中可得/2和/￡是內(nèi)錯(cuò)角，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到8D〃CE；

(3)由圖中可得/N和//8E是同旁內(nèi)角且乙4+44跖=180。，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到/。//BE.

【變式9-2].如圖，下列推理中正確的有()

①因?yàn)?1=/4,所以3C〃4》；②因?yàn)?2=/3,所以

③因?yàn)?8CD+N/DC=180。，所以④因?yàn)镹1+N2+NC=180。，所以3C7/4D.

【答案】A

【解析】①因?yàn)?1=/4,所以故①錯(cuò)誤；②因?yàn)?2=/3,所以5C〃4D.故②錯(cuò)誤；

③因?yàn)镹BCD+ZADC=180。，所以4D〃3C,故②正確；@S^]Zl+Z2+ZC=180o,所以48〃CD.故④錯(cuò)誤.

故選A.

【變式9-3].如圖所示，下列條件不能判定直線4〃4的是()

A.Z1=Z3B,Z1=Z4C,Z2+Z3=180°D.Z3=Z5

【答案】A

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【解析】解：A、N1和N3不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，所以/1=/3不能判斷4〃4,故A選項(xiàng)符合題意;

B、N1和N4是內(nèi)錯(cuò)角，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，所以4=24能判斷4〃幺故B選項(xiàng)不符合題意;

C、N2和/3是同旁內(nèi)角，所以/2+/3=180。能判斷4〃4,故C選項(xiàng)不符合題意;

D、/3和4是同位角，所以/3=/5能判斷4〃，2,故D選項(xiàng)不符合題意；故選：A.

【變式9-4].如圖，ZDEF=40°,能判定防〃”的條件是（）

NB=40°C./肛＞￡=140°D.ZBDF=40°

【答案】C

000

【解析】解：當(dāng)/瓦兒=140。時(shí)，Z5D￡+ZZ）￡F=140+40=180,則有斯〃；而添加其它條件無法得到所〃/8；

故選：C.

【變式9-5].如圖，給出四個(gè)條件：①/2=/3;@Z1=Z7;@Z1+Z2=Z6+Z7;④N3+N4+N5=180。，其

中能判定43〃。的是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

【解析】①/2=/3,能判定Z尸〃GE,不能判定43〃CD,不符合題意;

②△=",能判定4?〃。。，符合題意;

@Z1+Z2=Z6+Z7,能判定Z尸〃GE,不能判定不符合題意;

@Z3+Z4+Z5=180°,能判定刈〃CD,符合題意，故②④正確.

故選：D.

15

題型10：添加一個(gè)條件，使兩直線平行線

【典例10].如圖，要得到48〃CD,則需要的條件.（填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）

【答案】/8=/。"或/石40=/。或/8+/0。8=18十或/34。+/。=180。（任選一個(gè)即可）

【解析】解：要得到/3〃CD,利用平行線的判定：①同位角相等兩直線平行，可填/8=/Db;

②內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，可填NE4D="；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，可填/8+40。3=18匕

N3/D+N。=180°;故答案為：AB=ZDCFngZEAD=ZDsS,ZB+ZDCB=18（FngZBAD+ZZ>=180°

【變式10-1].如圖，直線/尸分別交直線N8,DE于點(diǎn)A,C,若乙4=80。，增加一個(gè)條件使得〃CD,這個(gè)

條件可以是.（寫出一個(gè)即可）

F

B-----------'A

【答案】ZACD=1W0（答案不唯一）

【解析】根據(jù)平行線的判定,可添加N4CD=100°,?:乙4=80°/.ZACD+ZA=]80。AB//CD.

故答案為：448=100。（答案不唯一）.

【變式10-2].如圖，要使"直線4〃4”,需要添加的條件是（只填一個(gè)即可）

【答案】4=N3（或N4=N5或N2+N4=180°）

【解析】解：要使直線4〃4,則需要添加的條件可以為4=N3,也可以為Z4=Z5,也可以為Z2+Z4=l80°,

故答案為：Z1=Z3（或N4=N5或N2+N4=180。）.

16

【變式10-3].如圖，￡是線段4D的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件，使則可添加的條件為（寫

出一種情況即可）.

【答案】ZA+ZABC=180°

【解析】解：若乙4+/N8C=180。，貝U3C〃4D；若/。+//。。=180。，貝J3C〃/。；

若NCBD=ZADB,貝115cz610；若NC=NCDE,貝[J5C〃3；

故答案為NA+ZABC=180?；?C+ZADC=180?；騔CBD=ZADB或/C=NCDE.（答案不唯一）

題型11：平行線的判定的綜合應(yīng)用

【典例11].如圖，一條公路的兩個(gè)拐角N/2C和NBCD若//2C=150。，要使公路48和。在同一方向上，需

【答案】150內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【解析】要使公路和C。在同一方向上，即/3〃CD,當(dāng)4。=44g=150。時(shí)/8〃。。，

依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，故答案為：150內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【變式11-1].如下圖，直線c與a、6相交，4=80。，Z2=120°,要使直線a與6平行，直線a繞點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)的度數(shù)最小的度數(shù)是°.

【解析】當(dāng)Nl=/2時(shí)，a//b,?：Zl=80°,Z2=120°,.-.120°-80°=40°

直線a繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)最小的度數(shù)是40。，故答案為：40.

17

【變式11-2].如圖，4=55。，/2=35。，點(diǎn)。在直線a上，^.OALOB,則a與6的位置關(guān)系是一

【解析】..；/2=35°,...N3=180°-90°-35°=55°...21=55°,二/1=/3,

"6.故答案為:平行.

【變式11-3】.把一副三角板(ZS=ZF=90°,4=45。，4=30。)按如圖所示的方式擺放，當(dāng)/I為度

時(shí)，AC//EF.

【答案】150

【解析】解：；NE=30°，二當(dāng)N￡+Z1=180°時(shí)，AC//EF,即當(dāng)N1=180°-30°=150。時(shí)，AC//EF,

故答案為：150

題型12:證明平行線的判定(綜合)

【典例12],請(qǐng)根據(jù)圖形填空：如圖：

@-.-Zl=Z2(已知)//()②?.25=/AB//DC()

【答案】①40；BC-內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②4BC;同位角相等，兩直線平行.

【解析】①??,N1=N2(B^D)：,AD//BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.)@-：Z5=ZABCAB//DC(同位角相等,

兩直線平行.)故答案：①BC;內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②N8C;同位角相等，兩直線平行.

18

【變式12-1].如圖所示，￡是上一點(diǎn).

⑴已知NDEC=NADE,可以判定哪兩條直線平行?為什么？

（2）已知4EC+"CE=180P,可以判定哪兩條直線平行?為什么？

⑶已知ZAED=ZB,可以判定哪兩條直線平行?為什么？

【答案】（1）/Z）〃EC,理由是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；?AB〃DC,理由是：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

⑶BC〃DE,理由是：同位角相等，兩直線平行

【解析】（1）解：,：皿C=/ADE,皿/EC，理由是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

（2）ZAEC+ZDCE=180°,.-.AB//DC,理由是：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

（3）:ZAED=ZB,:.BC//DE,理由是：同位角相等，兩直線平行.

【變式12-2].如圖，如果/1=47。，N2=133。，/。=47。，求證：AB//CD;BC//DE.

觀察下面的解答過程，補(bǔ)充必要的依據(jù)或結(jié)論.

證明：?.21=47。（已知），/ABC=/I（）,:"ABC=47。（）,

又?.22=133°（已知），.?.乙48C+/2=（）（等式的性質(zhì)）：.AB//CD（）

X/Z2+ZBCZ）=180o（）,:"BCD=47。（等式的性質(zhì)）；ND=47。（已知），

ZBCD=Z￡>=47°,BC//DE（）

【答案】對(duì)頂角相等；等量代換；180。；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【解析】證明：:/J47°（已知），乙48c=/1（對(duì)頂角相等），.?.N/BC=47。（等量代換），

又?22=133。（已知），.?.//3C+/2=（180。）（等式的性質(zhì)）.'.AB//CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

又122+48=180。（鄰補(bǔ)角互補(bǔ)），二48=47°（等式的性質(zhì)）：ZD=47。（已知）,

.-.ZBCD=ZD=4r,..BC//DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

故答案為：對(duì)頂角相等；等量代換；180。；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

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【變式12-3].⑴我們?cè)靡苿?dòng)三角尺的方法畫出了兩條平行線（如圖1）,請(qǐng)說明依據(jù)的基本事實(shí)為:

（2）基本事實(shí)可作為依據(jù)，用來證明新的結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)以上基本事實(shí)證明平行線的判定方法："同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩

直線平行"

已知：如圖2,N1和N2是直線43、CD被直線跖截出的同旁內(nèi)角，目N1與N2互補(bǔ)，求證：AB//CD.（推理過

程請(qǐng)注明理由）

（3）平行線的判定在實(shí)際生活中有許多應(yīng)用：如圖3,在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條鐵軌必須是互相平行的.將鐵軌和枕

木看成直線（如圖4所示，直線a、6為直軌，6、"為枕木），N2是直角，可以通過度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角的

度數(shù)，來判斷兩條鐵軌是否平行？為什么？

【答案】（1）同位角相等，兩直線平行；（2）見解析；（3）可以通過度量圖中已標(biāo)出N3或N4或N5的度數(shù)，看它

們是否等于90。，來判斷兩條鐵軌平行；見解析

【解析】（1）用移動(dòng)三角尺的方法畫出了兩條平行線，依據(jù)的基本事實(shí)為：同位角相等，兩直線平行；

故答案為：同位角相等，兩直線平行；

（2）證明：如圖2,?21與N2互補(bǔ),即/1+/2=180。（補(bǔ)角的定義），又；/2+/次3=180。（鄰補(bǔ)角的定義），

:.Z1=ZDFN（同角的補(bǔ)角相等），二48〃CD（同位角相等，兩直線平行）；

（3）可以通過度量圖中已標(biāo)出N3或N4或25的度數(shù)，看它們是否等于90。，來判斷兩條鐵軌平行；

理由：,.22是直角，.?./2=90。，

若/3=90。,則N2+N3=180。,由（2）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可知。〃6；

若N4=90。，則/2=/4,根據(jù)同位角相等，兩直線平行可知?！ǚ?；

若N5=90。，由于/4=/5=90。，則N2=/4,根據(jù)同位角相等，兩直線平行可知。〃6.

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強(qiáng)化訓(xùn)練：

一、單選題

1.如圖，直線。，6被第三條直線c所截.由"4=/2",得到的依據(jù)是（）

A.兩直線平行，同位角相等B.同位角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等D.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【答案】D

2.如圖，下列條件中，能判定直線。〃6的是（）

【答案】B

3.如圖，已知/3=135。，要使則需具備的另一個(gè)條件是（）

【答案】D

4.如圖所示，已知/1=/2,那么下列結(jié)論正確的是（）

A.AD//BCB.AB//CDC.ZC=Z￡>D.Z3=Z4

【答案】B

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5.如圖，用兩個(gè)相同的三角板按照如圖方式作平行線，能解釋其中道理的依據(jù)是（）

A.同位角相等，兩直線平行B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D.平行于同一條直線的兩條直線平行

【答案】B

6.如圖，下列推論正確的是（）

A.VZl=Z2,AAD//BCB.???Z4=Z5,AB//CD

C.?.?/3=/4,AB//CDD.??-Z3=Z5,/.AB//CD

【答案】D

7.如圖，下歹U條件：@Z1=Z2,②N3+N4=180。，(3)Z5+Z6=180°,④N2=/3,@Z7=Z2+Z3,⑥

Z7+Z4-Z1=180°中能判斷直線a〃b的有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】C

8.如圖，木條。、b、c通過8、￡兩處螺絲固定在一起，且43M=40。，NBEF=77°,將木條“、木條6、木

條?？醋魇窃谕黄矫鎯?nèi)的三條直線/C、DF、MN,若使直線NC、直線。尸達(dá)到平行的位置關(guān)系，則下列描述

正確的是（）

A.木條6、。固定不動(dòng)，木條“繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)23°

B.木條6、。固定不動(dòng)，木條。繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)103。

C.木條。。固定不動(dòng)，木條6繞點(diǎn)￡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)37°

D.木條〃、c固定不動(dòng)，木條。繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)158。

【答案】C

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9.如圖，下列條件中：①NC=NCAF,②NC=NBDE,③/A4C+NC=180。，④/GDE+N8=180。，能判斷

8尸〃CE的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

10.一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，則兩次拐彎的角度可以是()

A.第一次向右拐40。，第二次向左拐140。B.第一次向左拐40。，第二次向右拐40。

C.第一次向左拐40。，第二次向右拐140。D.第一次向右拐40。，第二次向右拐40。

【答案】B

二、填空題

11.如圖，填空：

(1)若NA=N3,則_II,理由是;

(2)若N2=NE,則_n_,理由是—;

(3)若NA+NABE=180°,則_ll_,理由是_；

⑷若N2=N_,則DAllEB,理由是_;

(5)若NDBC+N=180°,貝UDBllEC,理由是_;

【解析】⑴若NA=N3,!H!l_AD_ll_BE_,理由是；(同位角相等，兩直線平行);(2)若N2=NE,則

理由是(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)；⑶若NA+NABE=180。，則一AD_II_BE_,理由是(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線

平行)；(4)若N2=N_D_,貝UDAllEB,理由是(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)；⑸若NDBC+N_C_=180°,則DBllEC,

理由是(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行);故答案為⑴.AD(2).BE⑶.同位角相等，兩直線平行；(4).BD,⑸CE,⑹

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；(7).AD,(8)BE,(9)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；(10).D(11).內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直

線平行；(12).C,(13)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

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12.如圖，已知直線CD被直線所所截，交點(diǎn)分別為H、G,（請(qǐng)你添加一個(gè)合適的條件）,，貝（］23〃CD.

【答案】NEHB=NEGD（答案不唯一）

13.如圖，兩塊三角板形狀大小完全相同，則邊刈〃CD的依據(jù)是.（寫一個(gè)即可）

【答案】同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）

14.如圖，z1=2x+10o,z2=40°-x,當(dāng)N1=度時(shí)，DEllBC.

【答案】30

15.如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線。上.若0=50°,貝LI當(dāng)N2=—時(shí)，a//b.

【答案】40740度

N/G4=127。，由這些條件，能找到對(duì)平行線.

17.如圖，將三個(gè)相同的三角尺不重疊不留空隙地拼在一起，則線段24、4C、CE、EA、ED、DB中，相互平

行的線段組.

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【答案】3

18.如圖，下列條件能判斷"3//CD的是侈選).

@ZDCA=ZCAF②NC=NEDB③/8/C+NC=180°④/GDE+N8=180°

【答案】①③④

三、解答題

19.已知：如圖，Zl=Z2.求證：AB//CD.

分析：如圖，欲證/8//CD,只要證Nl=.

證明：VZ1=Z2,(已知)又/3=/2,().-.Zl=.()

ABHCD,(,)

【答案】N3;對(duì)頂角相等；Z3;等量代換；同位角相等，兩直線平行.

20.如圖，E是上一點(diǎn)，尸是DC上一點(diǎn)，G是3C延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

AD

BCG

(1)如果4=4>CG,可以判斷哪兩條直線平行？為什么？

(2)如果/D=ZDCG,可以判斷哪兩條直線平行？為什么？

(3)如果/DEE=180。，可以判斷哪兩條直線平行？為什么？

【答案】(1)ABHCD,見解析；(2)AD//BC,見解析；(3)AD//EF,見解析

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21.已知：如圖，直線/8、。被斯所截，Z1=