第10節(jié)　圓錐曲線的切線與光學(xué)性質(zhì) 高二數(shù)學(xué)下學(xué)期

第八章平面解析幾何第10節(jié)圓錐曲線的切線與光學(xué)性質(zhì)INNOVATIVEDESIGN

1.圓錐曲線的切線問題常用方法有: (1)幾何法:比如求圓的切線,常用圓心到直線的距離等于半徑來解決切線問題; (2)代數(shù)法:比如涉及橢圓的切線問題,也常常聯(lián)立直線與橢圓的方程根據(jù)Δ=0來求解;比如涉及拋物線的切線問題,有時(shí)也可以通過求導(dǎo)求解; (3)結(jié)論法(適用于小題):

①圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是x0x+y0y=r2;其外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線切點(diǎn)弦方程是x0x+y0y=r2.知識(shí)拓展

目

錄CONTENTS課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練題型一

切線問題

思維建模求切線的兩種情況(1)在曲線上某點(diǎn)的切線,用幾何法(圓)、聯(lián)立方程組法、導(dǎo)數(shù)法以及結(jié)論法可進(jìn)行求解,其中結(jié)論適用于小題,解答時(shí)需要證明.(2)過曲線上某點(diǎn)的切線,一般用聯(lián)立方程組,判別式法來求斜率,但需討論斜率的存在與否.

x+2y-4=0

(2)過點(diǎn)P(2,2)作拋物線y2=2x的切線l,切線l在y軸上的截距為

.

1

題型二

切點(diǎn)弦問題

思維建模1.圓的切點(diǎn)弦方程可由以圓外點(diǎn)為圓心,切線長(zhǎng)為半徑的圓與該圓方程相減求得.2.切點(diǎn)弦問題常涉及弦方程、弦長(zhǎng)、弦過定點(diǎn)以及最值、范圍問題.

B

D題型三

光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用例3

(1)(2025·南昌質(zhì)檢)如圖所示,橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知曲線C:x2+4y2=4的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P,且|PF1|=1,過點(diǎn)P與直線l垂直的直線l'與橢圓的長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M,則|F1M|∶|F2M|=(

)C

解析

如圖,F1(-5,0),F2(5,0),

思維建模光學(xué)性質(zhì)問題往往與圓錐曲線中的新定義問題或者結(jié)合生活情境問題進(jìn)行考查,教材中將其作為閱讀內(nèi)容,實(shí)際上圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)與切線等問題聯(lián)系密切,是高考熱點(diǎn)問題.

12解析

如圖,由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可得PI是∠F1PF2的平分線,

(2)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的光線,經(jīng)拋物線反射后,得到的是一系列的與拋物線對(duì)稱軸平行(或重合)的光線.若一條平行于x軸的光線從M(3,1)射出,經(jīng)拋物線y2=4x上的點(diǎn)A反射后,再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B反射出,則直線AB的斜率為

.

解析

如圖,由題意知,A,F,B三點(diǎn)共線,

拓展視野橢圓中的蒙日?qǐng)A

A

課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練KESHIDUIDIANJINGLIAN

A

B

C

B5.(2025·溫州調(diào)研)拋物線的光學(xué)性質(zhì):從焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)(不同于頂點(diǎn))反射后,反射光線平行于拋物線的軸,現(xiàn)有拋物線C:y2=2px(p>0),一平行于x軸的光線射向拋物線,經(jīng)拋物線兩次反射之后,又沿著x軸方向射出,若兩平行線間的距離的最小值為8,則拋物線的方程為(

) A.y2=2x

B.y2=4x C.y2=8x

D.y2=16xC解析

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

A

D

C

二、多選題9.(2025·南京調(diào)研)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),現(xiàn)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤,點(diǎn)A,B是它的焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計(jì)),從點(diǎn)A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí),小球經(jīng)過的路程可能是(

) A.2 B.4 C.6

D.8ACD

解析

依題意2a=4,a=2;2c=2,c=1,

當(dāng)小球從A點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過左頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí),小球經(jīng)過的路程是2(a-c)=2,

當(dāng)小球從A點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過右頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí),小球經(jīng)過的路程是2(a+c)=6,

當(dāng)小球從A點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過非左、右頂點(diǎn)的位置,反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí),小球經(jīng)過的路程是4a=8.

AB

ABD

解析

如圖,根據(jù)題意,

13.已知P為直線y