實(shí)數(shù)（6考點(diǎn)+21題型）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（廣東專用）

第一章數(shù)與式

第01講實(shí)數(shù)（3~6分）

A題型06化簡多重符合

A題型07相反數(shù)的應(yīng)用

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航A題型08求一個(gè)數(shù)的絕對值

A題型09化簡絕對值

A題型10絕對值非負(fù)性的應(yīng)用

02知識導(dǎo)圖?思維引航A題型11乘方運(yùn)算

A題型12乘方的應(yīng)用

考點(diǎn)突破考法探究

03?命題點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)

考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類（高頻考點(diǎn)）A題型01用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)

A題型02求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)

考點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念（高頻考點(diǎn)）

考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點(diǎn)）

命題點(diǎn)四平方根、算術(shù)平方根、立方根

考點(diǎn)四實(shí)數(shù)比較大小A題型01求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

A題型02利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

考點(diǎn)五平方根、算術(shù)平方根、立方根A題型03求估算算術(shù)平方根的取值范圍

A題型04已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)

考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算（高頻考點(diǎn)）

A題型05求一個(gè)數(shù)的立方根

命題點(diǎn)五實(shí)數(shù)的運(yùn)算

04題型精研?考向洞悉

A題型01實(shí)數(shù)的運(yùn)算

命題點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類

A題型01實(shí)數(shù)的分類05分層訓(xùn)練鞏固提升

A題型02無理數(shù)估值

A題型03相反意義的量

基礎(chǔ)鞏固

命題點(diǎn)二實(shí)數(shù)的分類能力提升

A題型01用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

A題型02數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)的距離

A題型03根據(jù)點(diǎn)數(shù)軸的位置判斷正負(fù)問題

A題型04數(shù)軸上的動點(diǎn)問題

A題型05判斷是否為相反數(shù)

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

d

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考直頻次命題預(yù)測

理解有理數(shù)、無理數(shù)的概念，知道10年7考實(shí)數(shù)這一考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中

實(shí)數(shù)的分類

實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的屬于較為簡單的一類考點(diǎn)，在

可以借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值近10年連續(xù)考查中考，實(shí)數(shù)的分類及相關(guān)概念

實(shí)數(shù)的相關(guān)概的意義，會求實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對主要以選擇題或填空題形式

念值、倒數(shù)，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)考查，比較簡單;科學(xué)記數(shù)法、

----對應(yīng)近似數(shù)多以選擇題或填空題

利用科學(xué)記數(shù)法簡化表示非常大或10年8考形式考查，有大數(shù)和小數(shù)兩種

科學(xué)記數(shù)法、

非常小的數(shù)，了解近似數(shù)，會按問形式，有時(shí)帶“億”“萬”“千萬”

近似數(shù)

題的要求進(jìn)行簡單的近似計(jì)算等單位，做題時(shí)要仔細(xì)審題，

切忽略單位；實(shí)數(shù)的大小比較

實(shí)數(shù)比較大小靈活運(yùn)用多種方法比較實(shí)數(shù)大小10年考

常以選擇題形式出現(xiàn)，常與數(shù)

平方根、算術(shù)了解平方根、算術(shù)平方根、立方根10年10考

軸結(jié)合考查；實(shí)數(shù)的運(yùn)算考查

平方根、立方的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、

形式多樣，多數(shù)以解答題形式

根算術(shù)平方根、立方根

出現(xiàn)，結(jié)合絕對值、銳角三函

10年10考

掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘數(shù)、二次根式、平方根、立方

方及簡單的混合運(yùn)算（以三步以內(nèi)根等知識考查.對于實(shí)數(shù)的復(fù)

實(shí)數(shù)的相關(guān)計(jì)

為主）；能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握實(shí)數(shù)相

算

單的問題，知道有理數(shù)的運(yùn)算律在關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用、實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.運(yùn)算法則和順序等考點(diǎn).

知識導(dǎo)圖?思維引航

題型01實(shí)數(shù)的分類

考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類題型02越數(shù)估值

題型03相反意義的量

題型01用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

題型02數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)的距離

題型03根據(jù)點(diǎn)數(shù)軸的位置判斷正負(fù)問題

題型04數(shù)軸上的動點(diǎn)問題

題型05判斷是否為相反數(shù)子主題

題型06化簡多重符合

考點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

題型07相反數(shù)的應(yīng)用

題型08求一個(gè)數(shù)的絕對值

題型09化簡絕對值

題型10絕對值非負(fù)性的應(yīng)用

題型11乘方運(yùn)算

題型12乘方的應(yīng)用

題型01用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)

考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)

題型02求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)

數(shù)軸比較法

類別比較法

作差比較法

考點(diǎn)四實(shí)數(shù)比較大小方法

平方比較;去

倒數(shù)比輸去

作商比較法

題型01求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

題型02利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

考點(diǎn)五平方根、算術(shù)平方根、立方根

題型03求估算算術(shù)平方根的取值范圍

題型04已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)

題型05求一個(gè)數(shù)的立方根

考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算題型。1實(shí)數(shù)的運(yùn)算

考點(diǎn)突破?考法探究

考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類（高頻考點(diǎn)）

1、正負(fù)數(shù)的概念：大于0的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)前面加上符號的數(shù)叫負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)前面的負(fù)號“「不能省略.0既

不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).

2、正負(fù)數(shù)的意義：表示具有相反意義的量.在一對具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另

一個(gè)就用負(fù)表示.

3、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（本質(zhì)：能夠化為分?jǐn)?shù)的形式）.無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)

統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

4、實(shí)數(shù)的分類：

1）按定義分類：2）按性質(zhì)分類：

1.有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù),因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).（例：0.53（分?jǐn)?shù)形式:

—）、1.333333...（分?jǐn)?shù)形式：-）等）.

1003

2.無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù),因此無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).（例如:71,三（不是分?jǐn)?shù)）等）.

,a

3.帶根號的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).

4.對非負(fù)整數(shù)、非正整數(shù)、非負(fù)數(shù)、非正數(shù)分類時(shí)遺漏0.

針對訓(xùn)練

1.（2022?廣東東莞?三模）在-6,12,-（-5）,-|-3|,一『，。這六個(gè)數(shù)中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【分析】先利用相反數(shù)、絕對值和乘方的意義計(jì)算出-（-5）=5,-|-3|=-3,然后根據(jù)實(shí)數(shù)的分

類求解.

【詳解】解：-（-5）=5,-|-3|=-3,-12=-1，

所以這六個(gè)數(shù)中，負(fù)數(shù)為-6,-|-3|,-12.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，有理數(shù)乘方：求〃個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方.也考查了絕對值和

相反數(shù)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?廣東惠州?二模）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”.意思為今有兩數(shù)若其意

義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù).如果溫度上升3℃,記作+3℃,那么溫度下降7c記作（）

A.-3℃B.-7℃C.+3℃D.+7℃

【答案】B

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就

用負(fù)表示.

【詳解】解：如果溫度上升3℃,記作+3℃,那么溫度下降7c記作-7℃,

故選：B.

3.（2022?廣東珠海?三模）下列各數(shù)中屬于無理數(shù)的是（）

22

A.3.14B.4C.為D.亍

【答案】C

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)

與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).

【詳解】解：A、3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、"=2是整數(shù)，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、游是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

D、學(xué)22是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選C.

考點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念（高頻考點(diǎn)）

相關(guān)概念概念補(bǔ)充與拓展

數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系.

將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示

的數(shù)大.

數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、

在數(shù)軸上距原點(diǎn)n個(gè)單位長度的點(diǎn)有2個(gè).

單位長度的直線叫做

數(shù)軸中點(diǎn)公式：數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B分別表示的數(shù)為x,y,若C是A、

數(shù)軸.

B兩點(diǎn)的中點(diǎn)，C所表示的數(shù)為c,則有：2c=x+y.

數(shù)軸兩點(diǎn)距離=數(shù)軸上右側(cè)的點(diǎn)所表示的數(shù)-左側(cè)的點(diǎn)表示的數(shù)

（簡稱大數(shù)-小數(shù)）.

若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）.

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的的距離相等且

位于原點(diǎn)的兩側(cè).

只有符號不同的兩個(gè)

正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是。.相反數(shù)

相反數(shù)數(shù)稱為互為相反數(shù).

是本身的數(shù)是0.

（a+b）的相反數(shù)是-（a+b）,（a-b）的相反數(shù)是-（a-b）或b-a.

多重符號化簡口訣：數(shù)負(fù)號個(gè)數(shù)，奇負(fù)偶正.

絕對值在數(shù)軸上表示數(shù)a的兩個(gè)正數(shù)比較，絕對值大數(shù)越大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小.

點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做正數(shù)的絕對值是它本身；0絕對值是0;負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)

a的絕對值，記為|a|.若|a|二a（或間-a=0）,貝!JaK）,若|a|二-a（或|a|+a=0）,則agO.

若a=b或a=-b,則|a|=|b|（反之亦成立）.

若|a|+|b|=O,則a=0且b=0（a、b可以是多項(xiàng)式）.

幾何意義補(bǔ)充：|x|=|x-0|,數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

|x-l|,數(shù)軸上表示X的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離

|x+2|,數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示-2的點(diǎn)之間的距離

0沒有倒數(shù).

1除以一個(gè)不等于零

若a、b互為倒數(shù)，則ab=l

倒數(shù)的實(shí)數(shù)所得的商，叫

互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)）.

做這個(gè)數(shù)的倒數(shù).

倒數(shù)是本身的只有1和-1.

n個(gè)相同的因數(shù)a相負(fù)數(shù)的奇次基是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù)

乘記作an,其中a為正數(shù)的任何次事都是正數(shù).

乘方

底數(shù)，n為指數(shù)，

規(guī)定：a°=l（aM）

乘方的結(jié)果叫做鬲.

易混易錯(cuò)

1.0的相反數(shù)是0,0的絕對值是0.絕對值最小的數(shù)是。.最小的自然數(shù)是0.0是最小的非負(fù)數(shù).

2.任何一個(gè)數(shù)都有且只有一個(gè)相反數(shù).任何一個(gè)數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0（或非負(fù)數(shù)）.

3.到已知點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，注意分類討論.此外，運(yùn)用數(shù)軸可以將絕對值化為幾何問題，代數(shù)式|x-a|

的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與a所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，代數(shù)式|x+a|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的

點(diǎn)與一a所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，不可將兩者混淆.

針對訓(xùn)練

1.（2024?廣東廣州?三模）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（）

-2-1012

A.a=bB.a-b>0C.a2<b2D.|o|>\b\

【答案】C

【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，判斷式子的符號即可.

【詳解】解：由圖可知：

/.a^b,a-b<0,\c^<\b\,cr<b2,

故正確的是C選項(xiàng)，

故選c.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）有理數(shù)大小比較的歷史可以追溯到古希臘和古印度時(shí)期.下列各組有理數(shù)大小比

較，正確的是（）

1Qq

A.1<—1B.—（—0.3）<――C.——<――D.—（—5）<0

【答案】B

【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，先化簡各個(gè)數(shù)字，再比較大小即可.

【詳解】原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B.一（-0.3）=0.3,-1=1,貝卜（一0.3）<一,說法正確；

83Rq

C.--<-y,則-原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D.-（-5）=5>0,原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.2和—2B.一和一（—|C.—二和一D.2和一

3V3；332

【答案】A

【分析】本題考查了相反數(shù)和絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義.根據(jù)相反數(shù)的定義即可解答.

【詳解】解：A中、2和-2互為相反數(shù)，符合題意；

B中、一［一］=3,不是互為相反數(shù)，故不符合題意；

C中、-；=：，不是互為相反數(shù)，故不符合題意；

D中、2和;不是互為相反數(shù)，不符合題意;

故選：A.

考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點(diǎn)）

相關(guān)概念概念補(bǔ)充與拓展

用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，確定a,n的值是關(guān)鍵

當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時(shí)，寫成axlO11的形式，其中上間<10,

等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為n1

科學(xué)記數(shù)

axion的形式,其中l(wèi)w|a|V當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時(shí)，寫成axl（yn的形式，其中上同<10,

法

10,n為整數(shù).n等于原數(shù)左邊第一個(gè)非零的數(shù)字前的所有零的個(gè)數(shù)（包括小

數(shù)點(diǎn)前面的零）.

小技巧：1萬=1。4,1億=1萬*1萬=1。8

近似數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的末位數(shù)是0的，不能去掉0

近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程

度通常用精確度來表示，近一個(gè)近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有

近似數(shù)似數(shù)一般由四舍五入取得，的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字

四舍五入到哪位，就說這

個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.一個(gè)近似數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，就稱這個(gè)近似數(shù)保留幾個(gè)有效數(shù)

字

易混易錯(cuò)

1.含有萬、億等單位的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，要先還原成原數(shù)，再用科學(xué)記數(shù)法表示，最后按要求取近

似值.

2.科學(xué)記數(shù)法的表示的數(shù)axle?還成成原數(shù)時(shí)，n>0時(shí)，小數(shù)點(diǎn)就向右移動n位得到原數(shù)；

n<0時(shí)，小數(shù)點(diǎn)則向左移動|n|位得到原數(shù).

3.對于較大的數(shù)取近似數(shù)時(shí)，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示.例如：356000（精確到萬位）的結(jié)果是3.6x105.

4.用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號前面的數(shù)字.例如：4.0x104的有效數(shù)字是4,0.

針對訓(xùn)練

1.（2024.廣東?中考真題）2024年6月6日，嫦娥六號在距離地球約384000千米外上演“太空牽手”，完成

月球軌道的交會對接.數(shù)據(jù)384000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3.84xlO4B.3.84xlO5C.3.84xlO6D.38.4xl05

【答案】B

【分析】本題考查了絕對值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定。，〃的值.

根據(jù)絕對值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為ax10",其中〃的值為整數(shù)位數(shù)少1.

【詳解】解：384000大于1,用科學(xué)記數(shù)法表示為axlO”，其中。=3.84,n=5,

：.384000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.84x105,

故選：B.

2.（2023?廣東深圳?中考真題）深中通道是世界級“橋、島、隧、水下互通”跨海集群工程，總計(jì)用了320000

萬噸鋼材，320000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.32xlO6B.3.2xlO5C.3.2xlO9D.32xlO8

【答案】B

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法求解即可.

【詳解】320000=3.2xl05.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中14時(shí)＜10,w為整數(shù).解

題關(guān)鍵是正確確定a的值以及n的值.

3.（2023?廣東?中考真題）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功，

C919可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.186xl05B.1.86xlO5C.18.6xlO4D.186xl03

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1＜同＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于或等于10時(shí)，

〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時(shí)，w是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.86xlO'；

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)四實(shí)數(shù)比較大小

.夯基-必備基礎(chǔ)知識推理

實(shí)數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法:

1,數(shù)軸比較法：將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.

2.類別比較法：正數(shù)大于零；負(fù)數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.

3.作差比較法：若a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則

@a-b>O?a>b；②a-b=06a=b；③a-b<O0a<b

4.平方比較法：①對任意正實(shí)數(shù)a,b,若a2>b2?a>b

②對任意負(fù)實(shí)數(shù)a,b,若a?>b2ga<b

5.倒數(shù)比較法：若l/a>l/b,ab>0,則a<b

6.作商比較法：1）任意實(shí)數(shù)a,b,a/b=l?a=b

2）任意正實(shí)數(shù)a,b,a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3）任意負(fù)實(shí)數(shù)a,b,a/b>l<=>a<b,a/b<l<=>a>b

考點(diǎn)五平方根、算術(shù)平方根、立方根

夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

相關(guān)概

概念補(bǔ)充與拓展

念

如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于a,即x2=a,那

算術(shù)平正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平

么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.記為Ya,

方根方根為0;負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根

a叫做被開方數(shù).

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù).

平方根做a的平方根或二次方根，即如果x2=a,那

么x叫做a的平方根.0的算術(shù)平方根為0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；。的立方根是0；負(fù)數(shù)

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,即x3=a,那么x只有一個(gè)負(fù)的立方根.

立方根

叫做a的立方根或二次方根

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)

常見實(shí)數(shù)的平方根與立方根:

1八22八23八24八25八26八27八28八29八210八2

149162536496481100

常見數(shù)的11八212八213八214八215八216八217八218八219八220八2

平方

121144169196225256289324361400

25八230八235八240八2

62590012251600

AA

常見數(shù)的132八33八34八35八36八37八38八39八3103

立方

1827641252163435127291000

實(shí)數(shù)的非負(fù)性及性質(zhì):

1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù).

2.非負(fù)數(shù)有三種形式：①任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù)，即同對；

2

②任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，§Pa>0;

③任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即皆出

3.非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)有最小值零；②非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

③幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0

考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算（高頻考點(diǎn)）

.夯基-必備基礎(chǔ)聊凝理

常見的實(shí)數(shù)運(yùn)算:

運(yùn)算法則特殊計(jì)算

乘方①(-a)n=ann為偶數(shù)①（T）y1n為偶數(shù)

②(-a)n=-ann為奇數(shù)②（T）n=_in為奇數(shù)

零次幕a0=l(aWO)

負(fù)整數(shù)的指數(shù)a”毛（aWO,n為正整數(shù)）a'1-(a#0)

ana

鬲

去括號①-(a-b)=-a+b或b-a

②+(a-b)=a-b

去絕對值符號①|(zhì)a-b|=a-b,a>b

②Ia-b|=0,a=b

③Ia-b|二b-a,a<b

三角函數(shù)30°45°60°

j_V2V3

sina

~2~2~

J_

cosa

2~2~~2

V3

tanc亨1V3

實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算:

1.實(shí)數(shù)的加法法則：

1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時(shí)，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.

2.實(shí)數(shù)的減法法則：

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

3.實(shí)數(shù)的乘方法則：

1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘;

2）任何數(shù)同0相乘，都得0.

4.實(shí)數(shù)的除法法則：

1）除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；

2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0.

5.運(yùn)算順序：加和減屬于運(yùn)算中的第一級運(yùn)算，級別是最低的，通常放在最后面計(jì)算；乘和除屬于運(yùn)算中

的第二級運(yùn)算，級別中等，運(yùn)算順序高于加和減；而乘方和開方則屬于第三級運(yùn)算，級別較高，通常是最

優(yōu)先計(jì)算的（如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運(yùn)算中，要從左至右進(jìn)行運(yùn)算，無論

何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算）.

易混易錯(cuò)

1.有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換

律、乘法結(jié)合律、乘法分配律.

2.在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：

①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號.

題型精研?考向洞悉

命題點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類

A題型01實(shí)數(shù)的分類

1.（2024?廣東湛江?一模）下列四個(gè)數(shù)中，負(fù)整數(shù)是（）

A.2024B.-3.14C.0D.-3

【答案】D

【分析】此題考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的分類進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：在2024、-3.14、0、-3中，2024是正整數(shù)，-3.14是負(fù)分?jǐn)?shù)，0是整數(shù)，-3是負(fù)整數(shù).

故選：D.

2.（2023?廣東深圳?二模）下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.0B.——C.%D.5

3

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；

B、-g是負(fù)數(shù)，本選項(xiàng)符合題意；

C、兀是正數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；

D、5是正數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的分類.熟練掌握有理數(shù)的分類，是解題的關(guān)鍵.

3.（2024.山東濱州?模擬預(yù)測）在有理數(shù)-3,卜3|,（-3））斤斤中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查化簡絕對值，有理數(shù)的乘方和算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)的判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn).

首先化簡絕對值，有理數(shù)的乘方和算術(shù)平方根，然后根據(jù)負(fù)數(shù)的概念求解即可.

【詳解】解：卜3|=3,（一3）2=9,盧7=3,

...負(fù)數(shù)有-3,共1個(gè).

故選：A.

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測）-1,乃，卜4|中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)與無理數(shù)的定義.

根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得.

【詳解】解：（正丫=2,|T=4,

根據(jù)題意可得有理數(shù)有-1,卜4|,（0丫，為無理數(shù)，

所以有理數(shù)有3個(gè),

故選：C.

A題型02無理數(shù)估值

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）大自然是美的設(shè)計(jì)師，校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分害『’的美.如圖,

>/5-1避匚這個(gè)無理數(shù)約是（）

22

C.0.707D.0.828

【分析】本題考查了黃金分割的意義，無理數(shù)的估算.先估算得出2.2〈君<2.3,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：；2.2〈有<2.3,

???1.2<君-1<1.3，

/.0.6<<0.65，

2

觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)B符合題意；

故選：B.

2.（2024?廣東云浮?一模）若用<后<”，且“3〃是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，則機(jī)+〃的值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵是找到與7相鄰的兩個(gè)為平方數(shù)的整數(shù).由〃〈近〈次可

求相，幾的值，再計(jì)算加+〃的值.

【詳解】解：???4v7V9,

二〃<g（的，

，2<近<3，

m<V?<n

:?m=2,〃=3,

m+n=5,

故選c

3.（2024.廣東深圳?一模）估算而xJ15+l的結(jié)果（）

A.在6和7之間B.在7和8之間C.在8和9之間D.在9和10之間

【答案】D

【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先進(jìn)行乘法計(jì)算，再進(jìn)行無理數(shù)的估算即可得出結(jié)果.

【詳解】解：76x715+1=76x16=A/96,

TH<7%<Two，

，9〈族<10；

故選D.

A題型03相反意義的量

1.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）劉徽在《九章算術(shù)注》中有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之.”可翻譯為“今

有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù).”如果氣溫為“零上20℃”記作+20℃,那么氣溫為“零下10℃”

應(yīng)表示為（）

A.20℃B.10℃C.-1O℃D.-20℃

【答案】C

【分析】此題主要用正負(fù)數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：零上溫度記作“+”，零下溫度記作“一”，由此

求解.

【詳解】解：氣溫為“零上20℃”記作+20℃,那么氣溫為“零下10℃”應(yīng)表示為-10℃,

故選：C.

2.（2024?遼寧大連?二模）隨著商業(yè)的發(fā)展和技術(shù)的進(jìn)步，手機(jī)支付已經(jīng)成為常見的支付方式，若手機(jī)錢包

收入100元記作+100元，則T5元表示（）

A.支出15元B,收入15元C.支出115元D.收入115元

【答案】A

【分析】本題考查了運(yùn)用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示兩個(gè)相反意義的量，正確理解正、負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.收

入和支出相反，如果收入為正，那么負(fù)為支出，即可解決.

【詳解】：收入10。元記作+100元，

，-15元表示支出15元，

故選：A.

3.（2024?廣東.模擬預(yù)測）點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置如圖所示，則點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是（）

-2-1~01『

1

A.2B.-2C.-D.-1

2

【答案】B

【分析】本題考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)、相反數(shù)，由數(shù)軸可得，點(diǎn)A所表示的數(shù)為2,再由相反數(shù)

的定義即可得出答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可得，點(diǎn)A所表示的數(shù)為2,

???點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是-2,

故選：B.

方法技巧

判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)或無理數(shù)的方法

關(guān)鍵：1.有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，而無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)的形式.

2.判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如46是有理數(shù)，而不是無理數(shù).

常見的無理數(shù)：

①開方開不盡的數(shù)，如：&、V5等.

②有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數(shù)，如5%，3+兀，口等.

③具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）.

④某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.

A題型01用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

1.（2024.廣東佛山.一模）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A,B,C,。表示的數(shù)與互為相反數(shù)的是（）

3

ABCD

__I_____I______I■I■I>

-3101

"T3

A.AB.BC.CD.D

【答案】D

【分析】本題主要考查了相反數(shù)和數(shù)軸.根據(jù)相反數(shù)的定義和數(shù)軸的定義即可得出答案.

【詳解】解：的相反數(shù)是（，

表示的數(shù)與-工互為相反數(shù)的是點(diǎn)D.

3

故選：D.

2.（2023?四川自貢?中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2023,OA=OB,則點(diǎn)8表示的數(shù)是（）

BOA

---1--------1--------1--->

02023

11

A.2023B.-2023C.——D.--------

20232023

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義求解即可.

【詳解】解；：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2023,OA=OB,

：.OB=2023,

.?.點(diǎn)8表示的數(shù)是-2023,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東惠州?模擬預(yù)測）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、3分別表示。、b,且a+6=0,若|。-4=6,

則點(diǎn)A表示的數(shù)為（）

______II,

AB①

A.-3B.0C.3D.-6

【答案】A

【分析】由=6結(jié)合A、2表示的數(shù)互為相反數(shù)，即可得出A,2表示的數(shù)

【詳解】解：'：a+b=G

:.A,3兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)，

b=—a,

V\a-b\=6fa<0

.二|a—Z?|=|。—（——6,

/.—2a=6

解得：a=—3,

???點(diǎn)A表示的數(shù)為-3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，相反數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程-Q-4=6.

4.（2022?廣東潮州?一模）如圖，數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)，A點(diǎn)表示的數(shù)為2,3點(diǎn)表示的數(shù)為J7,且AB=AC,

則點(diǎn)。表示的數(shù)的整數(shù)部分為（）

-----1-------1------------1--------?

CAB

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求出AC=AB=V7-2,進(jìn)而求得點(diǎn)C表示的數(shù)，再利用無理數(shù)的估算求

解即可.

【詳解】解：由題意，得4。=43=近-2,

..?點(diǎn)C表示的數(shù)為2-（6-2）=4-6,

：2<g<3，BP-3<-/l<-2,

二1<4-g<2，

...點(diǎn)C表示的數(shù)的整數(shù)部分為1,

故選：A.

A題型02數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)的距離

1.（2024?廣東河源二模）點(diǎn)。、A、B、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)。為原點(diǎn)，AO=\,CO=2AB,

若點(diǎn)3所表示的數(shù)為b,則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（）

BAOC

~b0決

A.-2b+2B.-2b-2C.2b-2D.2b+2

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)軸，先根據(jù)圖形得到30=-6,表示出AB=30-AO=-6-1,再根據(jù)CO=2AB得

出答案即可，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：點(diǎn)。、A、B、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)O為原點(diǎn)，AO=1,CO=2AB,點(diǎn)3所

表示的數(shù)為b,

/.BO=-b,AB=BO-AO=-b-1,

'：CO=2AB,

：.CO=2（-b-1）=-2b-2,

...點(diǎn)C所表示的數(shù)=-2b-2,

故選：B.

2.（2024?廣東揭陽.一模）一個(gè)光點(diǎn)沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)A向左移動了4個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)3,若點(diǎn)3表示的數(shù)是-2,

則點(diǎn)A所表示的數(shù)是（）

A.-5B.5