一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末重點題型復(fù)習(xí)（16題型）解析版-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版選擇性必修第二冊）

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末重點題型復(fù)習(xí)

(16題型)

題|型|大|集|合f

題型1導(dǎo)數(shù)定義中的極限運算題型9函數(shù)極值與最值概念

題里2導(dǎo)數(shù)的基本運算題型10用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

題型3利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線題型11由函數(shù)的極值求參數(shù)

題型4根據(jù)切線條數(shù)求參數(shù)題型12用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

題型5曲線的公切線問題題型13由函數(shù)的最值求參數(shù)

題型6導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象題型14構(gòu)造法解函數(shù)不等式

題型7用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性題型15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點綜合

題型8由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)題型16導(dǎo)數(shù)與不等式綜合

題|型|大|過|即

題型一導(dǎo)數(shù)定義中的極限運算

I.(23-24高二上?江蘇南京?期末)若lim當(dāng)土竽匕?=6,則/⑵=()

-02Ax

3

A.-B.6C.3D.-3

2

【答案】B

【解析】由題意可知，lim"2+2')_/(2)=/,⑵=6,故選：B

-2Ax

2.(23-24高二下?四川涼山?期中)設(shè)函數(shù)/(0在苫=/處可導(dǎo),且滿足11111心±止^[='，則/'(%)=

—。2Ax2

()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】B

/(Xo+Ar)-〃Xo)/小+⑼一/伉)=2x'=l.故選：B.

【解析】r(x0)=iim=2lim

AxAr-?02Ax2

TVTT

/(-+AX)-/()

3.(23-24高二下?江蘇南通?月考)已知函數(shù)/(x)=cos2x,則7

lim66

Ax—>0Ax

【答案】Y

【解析】由函數(shù)/(無)=COs2x,可得廣(x)=-2sin2x,

又由螞「^=嗎=-2嗚=-行

故答案為：?

4.(23-24高二下?陜西渭南?期中)已知函數(shù)/(x)在(-哂+8)上存在導(dǎo)數(shù)，且八。)=4,則

/(a+2Ax)-/(a-2Ax)

lim

Ar->0Ax

【答案】16

f{a+2Ax)-/(a-2Ax)f(a+2Ax)-/(a-2Ax)

【解析】因為B米=4lim=”'(〃)，

AxAxf04Ax

/(a+2Ax)-/("2Ax)i6,

又八。)=4,所以［%

Ax

故答案為：16.

題型二導(dǎo)數(shù)的基本運算

1.(24-25高二上?江西豐城?期中)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且"x+l)=2〃x)/(x)>0,

則r品(5)

)

A.4B.8C.16D.32

【答案】D

仆+i)

【解析】/(x+l)=2/(x)兩邊對x求導(dǎo),得r(x+l〉(x+，=2/(x),即=2,

/(無)

/⑴r(2)f(5}

所以湍=2,湍=2,…，溫=2,累乘可得=25=32.故選：D.

/'⑼

2.(23-24高二上?天津?期末)若函數(shù)=(-l)/_2x+l,則/'(-1)=

【答案】-1

【解析】因為/■(x)=g/'(一l)--2x+l,所以/=

得到了'(-1)=,解得/'(一1)=-1,

故答案為：-L

3.(24-25高二上?浙江寧波?期中)(多選)下列選項正確的是()

A.y=~~ty'=~~~rB.y=2X,y'=21ln2

%X

C.y=lwc,y=—D.y=cos2x,y'=-sin2x

x

【答案】ABC

【解析】對于A,y=-,則"=-!，故A正確；

%X

對于B,則V=2"n2,故B正確；

對于C,y=1nx,則故c正確；

X

對于D,y=cos2x,Jj{l|j/=(-sin2x)x2=-2sin2x,故D錯誤.故選：ABC.

4.(23-24高二下?海南?？?期中)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(l)y=lx1+lnx+cosx；

(2)y=x3ex；

(3)y=ln(3x-l)；

(4)y=2X+sin—cos-

cosx

(5)7=-------

【答案】(l)4x+L-sinx；(2)(x3+3x2)el；(3)-^—(4)2Aln2+|cosx；⑸一sinx

%3x-l2x

【解析】(1)/=4x+--sinx

x

(2)y=(x3)V+x3(ex/=3x2ex+x3ex=(x3+3x2)ex

，—3

(3)y-

3x-l

xx11

(4)y=2x+sin—cos—=2X+—sinx,貝!J;/=2Xln2+—cosx

,-xsinx-cosxxsinx+cosx

(5)V=----------z--------=------------z-------

題型三利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線

1.(23-24高二上?天津?期末)曲線/(耳=/+1!?在點(1,1)處的切線方程為.

【答案】4x-y-3=0

【解析】因為〃x)=d+瞋，則/，(月=3/+；,所以，/'(1)=4,

所以，曲線〃x)=d+1nx在點。,1)處的切線方程為尸1=4(>1),即4x-y-3=0.

故答案為：4x-y-3=0.

2.設(shè)函數(shù)/(尤)滿足/(e)=x+x2,則曲線y=/(x)在點(ej(e))處的切線斜率為.

3

【答案】-

e

【解析】令e*=t,則x=l*/?(f)=lnf+(lnf)2,則〃x)=lnx+(lnx)2,

所以r(x)=匕&吧，所以曲線V=/(x)在點(e,7(e))處的切線斜率為r(e)=-.

xe

3

故答案為：-

e

14

3.(23-24高二上?云南昆明?期末)過點?2)且與曲線y=相切的直線斜率為()

11

A.-B.-C.1D.4

94

【答案】C

1414

【解析】設(shè)過點(。，2)與曲線y=相切的切點坐標(biāo)為修§/+7,

1414

由-=求導(dǎo)得:y=x2,則切線方程為尸(丁+p=/(xT),

于是2-(53+§=〃(07),整理得戶=一1,解得

所以所求切線的斜率為1.故選：C

4.(23-24高二下?安徽?期中)己知函數(shù)〃x)=2xlnx+—+1在x=l處的切線方程過點(0,3),則加的值

X

為.

【答案】2

【解析】根據(jù)題意知，/'(x)=21nx+2-p-,

因為/(1)=m+1,/'⑴=2-加，

根據(jù)點斜式可以寫出x=1切線方程為y-(m+l)=(2-m)(x-1),

因為切線方程過點(0,3),代入到y(tǒng)-(加+1)=(2-加)(x-1),

=3-(加+1)=(2-〃7)(0-1),解之可得〃=2.

故答案為：2

題型四根據(jù)切線條數(shù)求參數(shù)

1.(23-24高三上?江蘇徐州?月考)已知過點工(。,0)作曲線y=(l-x)e”的切線有且僅有1條，則。=()

A.-3B.3C.-3或1D.3或1

【答案】C

【解析】設(shè)切點為(％,(1-%)記)，

由已知得y'=-xe',則切線斜率左=-x()eM,切線方程為y-(l-Xo)e'。(x-x。)

直線過點0),貝卜(l-x())e陽(a-%),化簡得x；-(a+l)x0+1=0

切線有且僅有1條，即A=(a+l)2-4=0,

化簡得力+2a-3=0,即(a+3)(a-l)=0,解得。=一3或1故選：C

n—Y

2.(23-24高二上?江蘇連云港?期末)已知曲線歹=一存在過坐標(biāo)原點的切線，則實數(shù)〃的取值范圍是

e

()

A.H，0]B.(-8,-4]u[0,+a?)

C.(-4,0)D.(-co,-4)U(0,+oo)

【答案】B

..a-x.，-1-a+x

【解析】???》=—^,???V=---，

ee

設(shè)切點為(％,%),則為=/，切線斜率左=T；：+%,

切線方程為

?..切線過原點，

整理得：xl-ax0-a=Q,

:存在過坐標(biāo)原點的切線,

...△=/+4。20,解得。4-4或。20,

實數(shù)。的取值范圍是(-8,-4］口［0,+8).故選：B.

3.(23-24高三上?山東?開學(xué)考試)已知曲線丁=》小過點(3,0)作該曲線的兩條切線，切點分別為

(士,%),(%2，%),則%+工2=()

A.-3B.-V3C.V3D.3

【答案】D

【解析】由函數(shù)y=xe)可得y'=(x+l)e"

設(shè)切點坐標(biāo)為卜。,天廣)，所以川『=(x°+l)e'。，

i0

所以切線方程為了-//。=(x0+l)e(x-x0),

xXo

所以-xoe0=(xo+l)e(3-xo),即(-x；+3x0+3)e眼=0,

因為過點(3,0)作該曲線的兩條切線，

所以關(guān)于％的方程(-x；+3x0+3)e"=。有兩個不同的解匹,

即關(guān)于天的方程-呼+3/+3=0有兩個不同的解尤”尤2，所以玉+尤2=3.故選：D.

4.(23-24高二上?江西?月考)(多選)若過點尸(I")可作3條直線與函數(shù)/(x)=(x-l)er的圖象相切,

則實數(shù)幾可能是()

4213

A.—B.—C.—D.—

eeee

【答案】BCD

【解析】設(shè)切點為(％,(x。-l)e』)，

Xl,

因為/'(x)=xe",f'(xo)=xoe,

所以切線方程為了-(/-1聲。=x°」(x-xo),又切線過尸(I"),

x

則A—(x0—l)e'°=xoe'°l(x—x0),整理得4=-e°(x；-2x0+1),

所以令g(x)=-e*-2x+1),貝I］g,(jc)=-ex(x2-l),

令g'(x)=0得x=±l,

所以當(dāng)x<-l或x>l時，g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)-1<X<1時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

故當(dāng)x=-l時，g(x)取極小值g(-l)=-3,當(dāng)x=l時，g(x)取極大值g⑴=0,

由8(X)=-/，-2工+1)=-/卜-1>可知當(dāng)工彳±1時g(x)<0,

所以函數(shù)g(x)的圖象大致如圖，

4

由圖可知，當(dāng)--<2<0時，直線y=x與函數(shù)y=g(x)的圖象有3個交點,

e

此時過點尸(14)可作3條直線與函數(shù)/(力=(工-1)砂的圖象相切，

由此可知，BCD符合題意，故選：BCD

題型五曲線的公切線問題

1.(23-24高二下?河北?期末)若直線/是曲線y=lnx-1與y=ln(x-l)的公切線，則直線/的方程為()

A.y=x-2B.y=x

C.y=x+lD.y=ex

【答案】A

【解析】由了=1皿-1,得了=!，由y=ln(x-l),得/‘二工.

Xx-1

設(shè)直線/與曲線了=瓜—1相切于點(否,1叫-1),

與曲線了=ln(x-l)相切于點(z」n(x2-l)),

=物x-X-1”--1)-(1叫T)_1

貝U1,敵再一/1.乂一，

國迎一1x2~再再

解得占=1戶2=2,所以直線/過點(1,-1),斜率為1,

即直線/的方程為y=x-2.故選：A

2.(23-24高二下?湖北武漢?期中)已知直線了=h+方是曲線/(x)=ei與g(x)=e'+2023-2024的公切線，則

k=.

【答案】1

【解析】設(shè)直線y=kx+b與/(X)的圖象相切于點爪西,必)

與g(x)的圖象相切于點￡(%,%),

又r(x)=eT-1,g,(x)=e'+2023,且必=eM,%=e*+23一2024.

曲線y=/Q)在點片(七,％)處的切線方程為了一爐7=/「?-網(wǎng)),

+20232023

曲線產(chǎn)g(“在點￡(%,外)處的切線方程為)；-e^+2024=e^(x-x2).

e$-1_QX2+2023

，解得占一%2=2024,

=e*+2°23-%$+2°23-2024

必.為_ewTe"2+2023+2024

故人==1

X]-x22024

故答案為：1

3.(23-24高二下?廣東東莞?期末)若直線＞是曲線y=eX-2的切線，也是曲的切線，則

m=.

【答案】-2In2

【解析】了=6'-2和了=61分布求導(dǎo)，得到了=e，和j/=ei.

設(shè)直線＞=狂+以與j=e*-2和y=e*T的切點分別為(士,/1-2),小川一)，

1x1

則切線方程分別為，”(e*-2)=/?-網(wǎng))，y-e^=e-(x-x2),

xx

化簡得,y^e'x-+e＞-2,y=e*2Tx-+e*2T.

依題意上述兩直線與、=米+"是同一條直線，

e%i_e%—]

所以，〈xxcX-1X-1-解得X=ln2,

X2

,一再6皆+e$-2=-x2ei+e*2?

所以俏=_占爐+eX1-2=-ln2eta2+eln2-2=-21n2

故答案為：-21n2.

4.(23-24高二下?湖南株洲?期末)已知函數(shù)/(x)=x3-x,g(x)=/+a,曲線y=/(x)在點(-1J(-l))處的切

線也是曲線y=g(x)的切線.則。的值是

【答案】3

【解析】由題意知,/(-I)=-1-(-1)=o,/XX)=3X2-1,八-1)=3-1=2,

則y=/(x)在點(TO)處的切線方程為v=2(x+l),

即y=2x+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(/心(％)),

其中g(shù)'(x)=2x,則g〈Xo)=2xo=2,解得％=1,

將％=1代入切線方程，得y=2xl+2=4,

貝l]g(l)=l+a=4,解得。=3；

故答案為：3

題型六導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象

1.函數(shù)/'（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)為r（%）,且ro）的圖象如圖所示，則/（X）的圖象可能是（）

【解析】觀察導(dǎo)函數(shù)圖象可知（（X）在區(qū)間（-雙。）先正后負(fù)，在區(qū)間（0,+8）先負(fù)后正，

故函數(shù)1（X）在區(qū)間（一叫0）內(nèi)先遞增后遞減，在區(qū)間（0,+8）內(nèi)先遞減后遞增，

結(jié)合4個選項的圖象，可排除A,D；

由導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值是變化的，即函數(shù)f（x）在遞減區(qū)間的斜率也是變化的，排除C,故選：B.

2.（23-24高二下?福建泉州?期末）設(shè)函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)為r（x）,已知函數(shù)尸（久）的圖象如圖所示，則/'（x）

【解析】由導(dǎo)函數(shù)/的圖象可知當(dāng)X<-1或0<x<l時/''(x)<o,

當(dāng)-l<x<0或x>l時/。)>0,

所以/(x)在(-叫-1),(0/)上單調(diào)遞減，在(TO),(1,+8)上單調(diào)遞增，

且/''(X)的圖象關(guān)于原點對稱，即/'(X)為奇函數(shù)，

設(shè)g(x)為偶函數(shù)，即g(-x)=g(x),所以-g'(-x)=g/x),所以g'(x)為奇函數(shù),

即偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)函數(shù)存在)為奇函數(shù)，

A、B、D三個圖象均關(guān)于V軸對稱，即為偶函數(shù)，滿足導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意;

C選項的圖象對應(yīng)的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C

3.(23-24高二下?河北邢臺?期末)(多選)己知r(x)是函數(shù)川卜3+92樂2的導(dǎo)函數(shù),

且廣(x)的部分圖象如圖所示，則()

B.b>0

C.a+b<0D.在S,+8)上單調(diào)遞減

【答案】ABD

2

【解析】由題意得了'(%)="3_(/+。6卜2+abx=ax^x-a)(^x-.

由圖可知/'⑴有3個零點，則4W0,令/。)=0,得x=0或?；?.

當(dāng)Q>0時，b<0<a,若%>〃，貝！J/'(x)=〃x(x—〃)(x-b)〉0,不符合題意.

當(dāng)QVO時，a<O<b,則或0c時，/'(%)>0,

當(dāng)Q<X<0或時，/'(%)<0符合題意，A,B正確.

由圖可知，b>—af得Q+6>0,C錯誤.

因為當(dāng)x〉b時，r(x)<0,所以/(X)在S,+8)上單調(diào)遞減，D正確.故選：ABD

4-⑵3高二下?天津?期中）已知函數(shù)/㈤與八x）的圖象如圖所示,則函數(shù)尸等（）

A.在區(qū)間（T,2）上是減函數(shù)B.在區(qū)間上是減函數(shù)

C.在區(qū)間（0,2）上是減函數(shù)D.在區(qū)間（TD上是減函數(shù)

【答案】B

【解析】因為了='‘（幻二〃X）,

e

3131

由圖象知，一：＜、＜7時，/V）-/?＜0,又e、＞0,所以當(dāng)一時，了＜°，

2222

即）=*1在［U］上單調(diào)遞減，

當(dāng)（＜x＜3時,/V）-/（x）＞0,又e，＞0,所以當(dāng)：＜x＜3時,/＞0,

即了=竽在，,31上單調(diào)遞增，所以選項A、C和D錯誤，選項B正確,

故選：B.

題型七用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

1.（23-24高二下?北京通州?期中）定義在區(qū)間（一兀㈤上的函數(shù)〃x）=xsinx+cosx,則的單調(diào)遞減區(qū)

間是（）

,和卜，一曰“3和

A.B.|

卜利和加

C.|D.

【答案】D

【解析】由/(x)=xsinx+cosx/r(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令/'(')=xcosx<0,

當(dāng)(―兀，°)時，由XCOSXV0可得cosx>0,解得

當(dāng)(0,兀)時，由xcosx<0可得cosx<0,解得xe］,'；

因此可得小)在(-私兀)的單調(diào)遞減區(qū)間是‘宗0卜口［甘］故選：D

2.(23-24高二下?北京東城?期末)設(shè)函數(shù)/(力=前工+「其中aeR.曲線了=/(x)在點(0J(0))處的切線方

程為y=f+6.

(1)求a,6的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)。=6=-2；(2)遞增區(qū)間為(-8，-In2),遞減區(qū)間為(-ln2,+s).

【解析】(1)依題意，f⑼=a=b,又/'(x)=W+l,則/(0)=。+1=-1,解得“=一2,

所以a=6=-2.

(2)由(1)知，/(司=一2二+'的定義域為口，/,(x)=-2eJC+l,

當(dāng)x<-ln2時，/V)>0,函數(shù)〃x)在(F，-ln2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>-ln2時，/V)<0,函數(shù)/(x)在(-ln2,+s)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間為(-叱-In2),遞減區(qū)間為(-In2,+s).

3.(23-24高二下?天津?期中)設(shè)函數(shù)〃x)=(x+2)ln(x+l)-冰,曲線y=〃x)在點(0津(0))處的切線斜率

為1.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(l)a=l；(2)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).

Y+2

【解析】(1)由題意得/(尤)的定義域為(T+8),又/'(x)=ln(x+l)+:-一a,

因為/'(0)=1.所以lnl+2-a=l,解得a=l.

所以實數(shù)。的值為1.

(2)因為g(x)=r(x)=ln(x+l)+-----1=ln(x+l)+----,XG(-1,+CO),

X+1X+1

則g’(X)=一--------2=7,

人」LX+l(X+1)2(X+1)2

令g'(x)=O,得x=0,

g(x)與g'(x)在區(qū)間(T+oo)上的情況如下:

X(TO)0(0,+動

g'(x)-0+

g(x)遞減極小值遞增

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(T0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+司.

4.(23-24高二下?江蘇南通?期末)已知函數(shù)/(x)=lnx-x,g(x)-ax2-2ax,a>0,

⑴設(shè)曲線了=/&)在(1J(1))處的切線為/,若/與曲線>=g(x)相切，求

(2)設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)+g(x),討論〃(x)的單調(diào)性.

【答案】⑴。=1;(2)答案見解析

【解析】(i)r(x)=1-i,r(i)=i-1=0,且/⑴=—i,

所以曲線y=/(x)在(1,7(1))處的切線為y=-l,

\y=-1

貝”2c，得加—2or+l=0,

[y=ax-2ax

因為直線V=T與曲線g(x)=ax2-lax相切，

所以A=4/_4〃=0,得。=0(舍)，或q=l；

(2)%(x)=/(x)+g(x)=Inx-x+ax2-2ax=Inx+ax2一(2Q+1)X的定義域為(0,+oo),

、1/、2ax2-(2a+l)x+l(2ax-l)(x-l)

/(x)=—+2辦-(2a+1)=-----------』——二------—L,

XXX

因為。>0,令/(x)=0,得X=1或x=3，

2a

當(dāng)0<〃<!時，—>1,

22a

所以當(dāng)久e(0,1)和時，〃(x)>0,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)]時，h，(x)<0,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞減增，

當(dāng)。>《時，，

22a

所以當(dāng)和(1,+8)時，〃(x)>0,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，h\x)<0,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞減增，

當(dāng)。=；時，h'(x)>0,當(dāng)x=l時取等號，函數(shù)h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

綜上所述，0<°<；時，儀町的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),]：，+二|，

單調(diào)減區(qū)間為[,]],

時，h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),沒有減區(qū)間，

a>(時，以尤)的單調(diào)增區(qū)間為(0,；],(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(I』].

2k2aJ\2a)

題型八由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

1.(23-24高二下?廣西玉林?期末)函數(shù)g(尤)=；+尤2一加x在R上是單調(diào)遞增的充分條件是：()

A.m>\B.m<-l

C.mG[-1,1]D.meR

【答案】B

【解析】因為g(x)=t~+x2-機X,所以g'(x)=x2+2x-加.

因為函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，所以g'(x"0恒成立，

則△=2?+4加40,解得根V-1,

3

所以函數(shù)g(x)=]+/一必在R上是單調(diào)遞增的充分條件是(-叫-1]的非空子集.

只有B選項符合.故選：B.

2.(23-24高二下?福建龍巖?期末)若函數(shù)/(x)=f+2辦2+/x在0,2)上單調(diào)遞減，貝匹的最小值為()

A.-6B.-3C.-2D.-1

【答案】B

【解析】由題意可知，/(%)=1+2辦2+/彳在(1,2)上單調(diào)遞減,

所以f\x)=3x2+4"+/W0在(1,2)恒成立,

f(l)=3+4a+a2<0…-3<a<-1

所以/,(2)=12+8a+a2<0'薜得

-6<a<-2'

故實數(shù)。的取值范圍為-3WaW-2,

所以。的最小值為-3.故選：B.

3.(23-24高二下?四川瀘州?期中)若函數(shù)"x)=lnx-；辦2-2x在［1,4］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)。的

取值范圍是

7

【答案】a

16

【解析】函數(shù)〃(％)=1口'一,辦2一2］，則〃'(x)='-"一2,

2x

因為h(%)在［1,4］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以"(x)>0在［1,4］上有解，

1?

所以當(dāng)工￡［1,4］時，?<-..有解，

XX

1211

令g(%)=F-一，而當(dāng)XE［1，4］時，令"一,

xxx4

1?

g(x)=―――即為9?)=產(chǎn)9-1,

x%

止匕時。⑺max=。(！)=一止匕時X=4),所以"一】,

41616

7

故答案為：CL<--.

4.(23-24高二下?河南南陽?月考)已知函數(shù)/'(x)=lnx+；x3--x不是單調(diào)函數(shù)，則0的取值范圍

為.

【答案】。<1或”>1

［解析】函數(shù)/'(x)=Inx+三/一一x的定義域為(0,+?)),

求導(dǎo)得f'(x)=-+ax2-ax-l=-MT1,

XX

當(dāng).40時,由/'(x)<0,得x>l,由/'(x)>0,得0<x<l,

函數(shù)〃x)在(1,+⑹上遞減，在(0,1)上遞增,即/(x)不是單調(diào)函數(shù)，因此。40；

當(dāng)0<。<1時，由/'(x)<0,得由/'(x)>0,得0<x<l或x>4，

yjay/a

/■(工)在(1,；)上遞減，在(0,1),(3,+網(wǎng)上遞增，/(X)不是單調(diào)函數(shù)，因此0<a<l；

7a7a

當(dāng)。=1時，r(x)=(xl)"x+l)zo恒成立,/(X)在(0,+?))上遞增，不符合題意；

由尸(x)<0,得;

當(dāng)Q>1時,<x<l,由f\x)>0,得0<x<—j=^X>l,

7a

/■(工)在(；，1)上遞減，在(0,；),(1,+8)上遞增，/(X)不是單調(diào)函數(shù)，因止匕

y/ayja

所以a的取值范圍為。<1或。>1.

故答案為：或。>1

題型九函數(shù)的極值與最值概念

1.(23-24高二下?新疆?月考)若函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=°(x)=/'(x)圖象如圖所示，則()

斗

y=f'(x)A

/3^2no1X

A.-3是函數(shù)/(x)的極小值點

B.-1是函數(shù)y=/(x)的極小值點

C.函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,1)

D.。(幻<0的解集為(-8,-3)

【答案】A

【解析】對于A,由圖可知，當(dāng)xe(-e,-3)時，/-(%)<0；當(dāng)xe(-3,-1)時，((%)>0.

所以x=-3為函數(shù)〃尤)的極小值點，故A正確；

對于B,由圖可知，當(dāng)xe(-3,-1)。(-1,1)時，/1(x)>0,

所以x=-l不是〃x)的極值點，故B錯誤；

對于C,由圖可知，當(dāng)xe(-2,l)時，//(%)>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l,/,(x)=0,

所以/(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增，故C錯誤；

對于D,由圖可知，當(dāng)xe(-咫-3)時，r(x)單調(diào)遞增，所以"(x)>0,故D錯誤.故選：A.

2.(23-24高二下?四川攀枝花?期末)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)廣(約的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.7(x)在》=再處取得最大值

B./(x)在區(qū)間(再,切上單調(diào)遞減

C./(X)在x=x2處取得極大值

D./(尤)在區(qū)間(。力)上有2個極大值點

【答案】C

【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：

(。,々)

Xx2(乙戶3)、3(W，6)

rw+0-0非負(fù)

小)

遞增極大值遞減極小值遞增

故選：C

3.(23-24高二下?江蘇蘇州?月考)(多選)已知定義在R上的函數(shù)丁=/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的圖象如圖所示,

下列說法正確的是()

A.1面/32)一/(-2)<0B.函數(shù)/(x)在(-鞏-1)上單調(diào)遞減

—。Ax

C.函數(shù)“X)在x=l處取得極大值D.函數(shù)“X)有最大值

【答案】ABC

【解析】對A：由圖可知，1汕/(82)〃2)0,故A正確；

A一nA-v.)

對B：由圖可知，當(dāng)xe(-s,-l)時，/'(x)WO恒成立，

故函數(shù)/(x)在(--T)上單調(diào)遞減，故B正確；

對C：由圖可知，當(dāng)xe(-1,1)時，/V)>0,當(dāng)xe(l,2),/'(x)<0,

故函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值，故C正確；

對D：由圖可知，當(dāng)xe(3,+s)時,/'(x)>0恒成立,

故f(x)在(3,+“)上單調(diào)遞增，無最大值，故D錯誤.故選：ABC.

4.(23-24高二下?廣東廣州?期末)(多選)函數(shù)/'(x)的定義域為(a,b),導(dǎo)函數(shù)r(x)在(。］)內(nèi)的圖象如圖

所示，則()

A.函數(shù)f(x)在(見上只有一個極小值點

B.函數(shù)/(x)在(。力)上有兩個極大值點

C.函數(shù)/(力在(。,6)上可能沒有零點

D.函數(shù)〃x)在(。,為上一定不存在最小值

【答案】ABC

【解析】由題意可知，函數(shù)的單調(diào)性是增函數(shù)“減函數(shù)一增函數(shù)-減函數(shù)，

即》=。，x=e時，函數(shù)取得極大值，在x=d處取得極小值，所以A、B正確;

若極小值是函數(shù)的最小值時，函數(shù)能取得最小值；所以D不正確；

函數(shù)可能沒有零點，所以C正確.故選：ABC.

題型十用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

1.(23-24高二下?廣東梅州?期中)已知函數(shù)/(x)=2x-2e。則()

A./(x)有極小值，且極小值為0B./(x)有極小值，且極小值為-2

C.f(x)有極大值，且極大值為0D./(X)有極大值，且極大值為-2

【答案】D

【解析】由/(x)=2x-2e，，得/(力=2-21,

令/'(x)=2-2e*=Onx=O,

當(dāng)x>0時，/'(x)<0,所以/(x)在(0,+s)單調(diào)遞減，

當(dāng)x<0時，r(x)>0,所以/卜)在(-8,0)單調(diào)遞增，

所以x=0時，函數(shù)/(x)=2x-2e*有極大值為/(0)=-2故選：D

2.(23-24高二下?甘肅定西?月考)函數(shù)/(x)=lnx-5■的極大值為()

A.—z-B.0C.eD.1

e

【答案】D

【解析】因為/''(》)=1-3,令/'(x)>0,得0<x<e。時；令/'(x)<0,得X*,

xe

2

所以當(dāng)X=/時，函數(shù)/(X)取得極大值/(/)=lne2-1r=1.故選：D.

3.(23-24高二下?遼寧大連?期末)設(shè)函數(shù)〃x)=(—+辦+b)e=(a/eR),曲線》=/(x)在點P(OJ(O))處

的切線方程為6x+y+3=0.

(1)求6的值:

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

【答案】⑴。5=-3；(2)極大值為/(-2)=7底,極小值為/⑶=-3e3.

【解析】(1)因為〃x)=(/+ax+6)e",

所以/''(X)=+(a+2)x+tz+6]e”,

/(0)=(02+ax0+Z?)e0=Z?,/,(0)=[02+(a+2)x0+a+/>]e°=a+Z),

??,切線6x+y+3=0過點p,

.?.〃0)=6=-3,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，斜率無=/'(0)=。+6=-6,

a=b=—3.

(2)由(1)知，a=b=-3,可得/(%)=(%2—3%—3)e”,

f(x)=廿一%_6)e"=(x+2)-3)e”,

令/⑺=0,^(x+2)(x-3)ex=0,解得x=—2或x=3,

當(dāng)x<—2或%>3時，-(%)>0,

當(dāng)-2Vx<3時，廣(%)<0,

所以/(無)在(-8,-2)和(3,+8)上單調(diào)遞增，在(—2,3)上單調(diào)遞減，

從而可知x=-2是函數(shù)的極大值點，極大值為